平面力系-ppt课件

1、2.1 2.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法平面汇交力系合成与平衡的几何法2.2 2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法2.3 2.3 平面力系中力对点之矩的概念及计算平面力系中力对点之矩的概念及计算2.4 2.4 平面力偶平面力偶2 2 平面力系平面力系2.5 2.5 平面恣意力系合成与平衡平面恣意力系合成与平衡 按照力系中各力的作用线能否在同一平按照力系中各力的作用线能否在同一平面来分，力系可分为：面来分，力系可分为：平面力系和空间力系平面力系和空间力系汇交力系、平行力系和恣意力系汇交力系、平行力系和恣意力系 按照力系中各力的作用线能否相交、平按照力系中各力

2、的作用线能否相交、平行来分，力系可分为：行来分，力系可分为： 平面汇交力系：各力的作用线都在同一平面汇交力系：各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点的力系。平面内且汇交于一点的力系。 2.1 2.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法平面汇交力系合成与平衡的几何法一、平面汇交力系合成的几何法一、平面汇交力系合成的几何法 力多边形力多边形可恣意变换各分力矢的次序可恣意变换各分力矢的次序知：平面汇交力系知：平面汇交力系 F1，F2，F3，F4 求：合力求：合力 FRFR2=FR1+F3FR1=F1+F2=F1+F2+F3=F1+F2+F3+F4FR=FR2+F4作力多边形时，不用画出作力多边形时，不用

3、画出 FR1.FR2F3F2F1F4F4F1F2F3F1F2F3F4FRFRFRFR1FR2结论结论:平面汇交力系可简化为一合力平面汇交力系可简化为一合力,其合力的大小与方向其合力的大小与方向等于各分力的矢量和等于各分力的矢量和(几何和几何和),合力的作用线经过汇交点。合力的作用线经过汇交点。 特殊情况：如力系中各力的作用线都沿同不断线，那特殊情况：如力系中各力的作用线都沿同不断线，那么此力系称为共线力系它是平面汇交力系的特殊情况，该么此力系称为共线力系它是平面汇交力系的特殊情况，该力系合力的大小与方向决议于各分力的代数和，即力系合力的大小与方向决议于各分力的代数和，即 2.1 2.1 平面汇

4、交力系合成与平衡的几何法平面汇交力系合成与平衡的几何法nii1FniiRFF1nRFFFF21推行推行:设平面汇交力系包含设平面汇交力系包含n个力个力,以以FR表示合力矢，那么有表示合力矢，那么有 二、平面汇交力系平衡的几何法二、平面汇交力系平衡的几何法平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的合力等于零。即该力系的合力等于零。即 在平衡时，力多边形最后一个力的终点与第一个力的在平衡时，力多边形最后一个力的终点与第一个力的起点重合，此时的力多边形称为封锁的力多边形。起点重合，此时的力多边形称为封锁的力多边形。 于是，平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力

5、系于是，平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的力多边形自行封锁，这是平衡的几何条件。的力多边形自行封锁，这是平衡的几何条件。 2.1 2.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法平面汇交力系合成与平衡的几何法01niiF 例：门式刚架，在例：门式刚架，在B点受一程度力点受一程度力F=20kN，不计刚架，不计刚架自重。求支座自重。求支座 A、D 的约束力。的约束力。解：解：1.取刚架为研讨对象取刚架为研讨对象 2.画受力图画受力图 3.按比例作力三角形按比例作力三角形 4.量得量得 10kN22.5kNDAFF 2.1 2.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法平面汇交力系合成与平衡的几何法abFD

6、Farctan1 226.545 例例PFCFB45 FAFC45 P45 FBFC三铰刚架受力如图示三铰刚架受力如图示 求求:A, B , C:A, B , C处的约束反力处的约束反力解解: :1 1以以ACAC为研讨对象为研讨对象, , 画受力图画受力图(2) (2) 以以CBCB为研讨对象为研讨对象, , 画受力图，画受力图， FA= FC= 0.707PABCPaaaBC AC所以所以 FB = FC = Pcos45o = FB = FC = Pcos45o = 0.707P 0.707P 2.1 2.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法平面汇交力系合成与平衡的几何法3画力多边形画力多

7、边形又：又：NcosFF)2(1)(cos22hRhRRhRRN(2)F RFhRh解：研讨物块解：研讨物块, ,受力如图，受力如图，解力三角形：解力三角形： 2.2 2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法 例例 求当求当F F力到达多大时，球分开地面？知力到达多大时，球分开地面？知P P、R R、h h再研讨球，受力如图：再研讨球，受力如图：作力三角形作力三角形解力三角形：解力三角形：NsinPFRhR sin又NNFF Nsin(2)F RRhPFRhRh)2()(hRhhRFPhRhRhPF)2(时球方能离开地面当hRhRhPF)2( 2.2 2.2 平面汇

8、交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法FNB= 0时时为球分开地为球分开地面面一、力在正交坐标轴系的投影与力的解析表达式一、力在正交坐标轴系的投影与力的解析表达式 coscosFFFFyx力在轴上的投影力在轴上的投影:Fx和和Fy为代数量为代数量 称为力的解析表达式称为力的解析表达式 22yxFFF 2.2 2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法jiFyxFFjFiFyyxxFF如知投影如知投影Fx和和Fy，那么力，那么力F的大小和方向余弦为的大小和方向余弦为力力F沿轴分解沿轴分解:Fx和和Fy 为矢量为矢量 FFFFyx),cos(),cos(j

9、FiF二、平面汇交力系合成的解析法二、平面汇交力系合成的解析法根据合矢量投影定理根据合矢量投影定理 RxFRyF22RyRxRFFFRRxRFF),cos(iFRRyRFF),cos(jF由上节知：由上节知：nxxxFFF21niixF1nyyyFFF21niiyF122)()(iyixFFRixFFRiyFF 2.2 2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法求合力求合力FR。nRFFFF21nii1F知：知：F1，F2，F3，Fn。FR例：例：F1=2kN，F2=3kN，F3=1kN，F4=2.5kN，用解析法求合力。，用解析法求合力。 取坐标系取坐标系Axy。

10、45cos4F41iixRxFFkN29. 141iiyRyFF45sin4FkN12. 122RyRxRFFF2212. 129. 1kN71. 122)()(iyixFFRxRyFFarctan29. 112. 1arctan 41象限）第(合力方向合力方向:合力大小合力大小: : 2.2 2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法解：解：30cos1F60cos2F45cos3F30sin1F60sin2F45sin3FFR三、平面汇交力系平衡的解析法三、平面汇交力系平衡的解析法该力系平衡的必要和充分条件是该力系平衡的必要和充分条件是:0)()(22iyixRF

11、FF欲使上式成立，必需同时满足欲使上式成立，必需同时满足 00iyixFF平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：平面汇交力系平衡的必要和充分条件是： 称为平面汇交力系的平衡方程。称为平面汇交力系的平衡方程。 0ixF 0iyF 各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。 2.2 2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法该力系的合力该力系的合力FR 等于零。等于零。 例：如下图，重物例：如下图，重物P=20kN，用钢丝绳挂在支架的滑轮上，用钢丝绳挂在支架的滑轮上，钢丝绳的另一端缠绕在铰车钢丝绳的另一端缠绕在铰车D上。杆上。杆AB

12、与与BC铰接，并以铰铰接，并以铰链链A、C与墙衔接。如两杆和滑轮的自重不计，并忽略摩擦与墙衔接。如两杆和滑轮的自重不计，并忽略摩擦和滑轮的大小，试求平衡时杆和滑轮的大小，试求平衡时杆AB和和BC所受的力。所受的力。 2.2 2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法1.取滑轮取滑轮B为研讨对象为研讨对象 2.画研讨对象的受力图画研讨对象的受力图3.列平衡方程列平衡方程 0 xF 0yF4.解方程解方程kN321. 7366. 0PFBAkN32.27366. 1PFBC FBC为正值，表示这力的假设方向与实践方向一样，为正值，表示这力的假设方向与实践方向一样，即杆即杆

13、BC受压。受压。 FBA为负值，表示这力的假设方向与实践为负值，表示这力的假设方向与实践方向相反，即杆方向相反，即杆AB也受压力。也受压力。BAF30sin1F60sin2F0BCF30cos1F60cos2F0kN2021PFF 2.2 2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法解：解： 例：如下图的压榨机中，杆例：如下图的压榨机中，杆AB和和BC的长度相等，自重的长度相等，自重不计。不计。A、B、C处为铰链衔接。知活塞处为铰链衔接。知活塞D上遭到油缸内上遭到油缸内的总压力为的总压力为F=3kN，h=200mm，l=1500mm。试求压块。试求压块C对工件与地面的压

14、力，以及对工件与地面的压力，以及AB杆所受的力。杆所受的力。 2.2 2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法解：解： 0 xF 0yFsin2FFFBCBA解得解得再取压块再取压块C为研讨对象为研讨对象 0 xF 0yF解得解得cot2sin2cosFFFCxsinCBCyFF先取活塞杆先取活塞杆DB为研讨对象为研讨对象 cosBAFcosBCF0sinBAFsinBCFF0kN35.11CxFcosCBF0sinCBFCyF0kN25.112hFlkN5 . 12F 2.2 2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法PABC303030

15、FTFABFBCFB303030 例例 知：知：P =20 kN P =20 kN ，不计杆，不计杆重和滑轮尺寸，求：杆重和滑轮尺寸，求：杆ABAB与与BCBC所受的力。所受的力。解：解： 以滑轮为研讨对象以滑轮为研讨对象 画受力图画受力图列平衡方程求解列平衡方程求解0 xF 030sin30cosTBCBAFFF 0yF 030cos30sin1FFFBC 其中其中 PFFTAB54.64kNFBC74.64kNF 解得解得 压压 拉拉 2.2 2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法xy0coscos450ACDRS045sinsin0CDASRP 例例 知知

16、P=2kN P=2kN ，求，求CDCD所受的力和所受的力和A A处的约束反力。处的约束反力。0.41tan1.23EBAB解得：解得：kN 24. 4tg45cos45sin00PSCDkN 16. 3cos45cos0CDASR；解：以解：以AB杆为研讨对象杆为研讨对象画受力图画受力图列平衡方程求解列平衡方程求解 2.2 2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法0 xF 0yF 2.2 2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法DFNA例例 知如图知如图P、Q， 求平衡时求平衡时 =？ 地面的反力地面的反力FND=？解：研讨球，受力如图

17、解：研讨球，受力如图.PQPQ-FQFD360sin2sin-02TN由得由得060212cos2T1TPPFF由得由得0 xF0cos1T2TFF0yF0sinN2TDFQF列平衡方程为列平衡方程为Q1TF2TFxyPFPF2;T2T1而而1 1、普通地，对于只受三个力作用的物体，且角度特、普通地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时用几何法解力三角形比较简便。殊时用几何法解力三角形比较简便。 解题技巧及阐明：解题技巧及阐明：3 3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只需一个未知数。需一个未知数。 2 2、普通对于受多个力作用的物体，都

18、用解析法。、普通对于受多个力作用的物体，都用解析法。 2.2 2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法5 5、解析法解题时，力的方向可以恣意设，假设求出、解析法解题时，力的方向可以恣意设，假设求出 负值，阐明力方向与假设相反。对于二力构件，普负值，阐明力方向与假设相反。对于二力构件，普通先设为拉力，假设求出负值，阐明物体受压力。通先设为拉力，假设求出负值，阐明物体受压力。4 4、对力的方向断定不准的，普通用解析法。、对力的方向断定不准的，普通用解析法。 2.3 2.3 平面力系中力对点之矩的概念及计算平面力系中力对点之矩的概念及计算一、力对点之矩力矩一、力对点之矩力

19、矩 点点O：矩心：矩心 间隔间隔h:力臂力臂 力对点之矩是一个代数量，力对点之矩是一个代数量， 显然，当力的作用线经过矩心，即力臂等于零时，它显然，当力的作用线经过矩心，即力臂等于零时，它对矩心的力矩等于零。对矩心的力矩等于零。 力矩的单位常用力矩的单位常用 Nm 或或 kNm 。 它的绝对值等于力的大小与力它的绝对值等于力的大小与力臂的乘积，臂的乘积， 其正负按下法确定：其正负按下法确定： 力使物体绕矩心逆时针转向时为正，反之为负。力使物体绕矩心逆时针转向时为正，反之为负。 OABOSFhM2)(F力力F 对于点对于点O的矩以的矩以MO(F )表示，即表示，即二、合力矩定理与力矩的解析表达式

20、二、合力矩定理与力矩的解析表达式 合力矩定理：平面汇交力系的合力对于平面内任一点合力矩定理：平面汇交力系的合力对于平面内任一点之矩等于一切各分力对于该点之矩的代数和。之矩等于一切各分力对于该点之矩的代数和。 上式适用于任何有合力存在的力系。上式适用于任何有合力存在的力系。niiOROMM1)()(FF 2.3 2.3 平面力系中力对点之矩的概念及计算平面力系中力对点之矩的概念及计算力矩的解析表达式力矩的解析表达式 cossinyFxF或或上式为平面内力对点的矩的解析表达式。上式为平面内力对点的矩的解析表达式。 )()()(xOyOOMMMFFFxyOyFxFM)(F()ORMF力力F 对坐标原

21、点对坐标原点O之矩之矩 合力合力FR对坐标原点之矩的解析表达式对坐标原点之矩的解析表达式 知力知力F，作用点，作用点Ax,y及夹角及夹角。 1()niyiixiix Fy F 2.3 2.3 平面力系中力对点之矩的概念及计算平面力系中力对点之矩的概念及计算 例：作用于齿轮的啮合力例：作用于齿轮的啮合力Fn=1000N，节圆，节圆直径直径D=160mm，压力角，压力角=20。求啮合力。求啮合力Fn对对于轮心于轮心O之矩。之矩。 1运用力矩计算公式运用力矩计算公式解：解：mN20cos216. 01000mN2 .75ncos2DF 2运用合力矩定理运用合力矩定理 tncosFFrnsinFFn(

22、cos)02DF mN2 .75hnn()OMFF h ntr()()()OOOMMMFFF 2.3 2.3 平面力系中力对点之矩的概念及计算平面力系中力对点之矩的概念及计算 2.4 2.4 平面力偶平面力偶一、力偶与力偶矩一、力偶与力偶矩 力偶：两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成力偶：两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成 的力系。的力系。d 称为力偶臂 力偶所在的平面称为力偶的作用面。力偶所在的平面称为力偶的作用面。 记作记作F，F 1力偶不能合成为一个力，力偶也不能用一个力来平衡。因力偶不能合成为一个力，力偶也不能用一个力来平衡。因此，力和力偶是静力学的两个根本要素此，力和力

23、偶是静力学的两个根本要素 2力偶对作用面内任一点的矩，与矩心的位置无关。力偶对作用面内任一点的矩，与矩心的位置无关。 ()F xdF xFd力偶矩是一个代数量，其绝对值等于力的力偶矩是一个代数量，其绝对值等于力的大小与力偶臂的乘积，正负号表示力偶的大小与力偶臂的乘积，正负号表示力偶的转向：普通以逆时针转向为正，反之为负。转向：普通以逆时针转向为正，反之为负。 FdM力偶矩的单位：力偶矩的单位：Nm。 简记为简记为M。ABCA 2力偶对点力偶对点O的矩为的矩为MoF，F,那那么么ooo(,)()()MMMF FFF记为记为MF，F 2.4 2.4 平面力偶平面力偶 且且与与Fo,Fo等效。等效。

24、 F1,F1 是一对平衡力是一对平衡力可以除去，可以除去， 显然，显然，F1，F1，F2，F2与与Fo,Fo等效。等效。 分别将分别将Fo，Fo移到点移到点A，B。然后分解。然后分解。证明证明:Fo,Fo与与F,F等效等效二、同平面内力偶的等效定理二、同平面内力偶的等效定理 定理：在同平面内的两个力偶，假设力偶矩相等，定理：在同平面内的两个力偶，假设力偶矩相等，那么两力偶彼此等效。那么两力偶彼此等效。 证明：证明： F2,F2组成一新力偶，组成一新力偶，知：知：MFo,Fo=MF,Foo(,)2MACB F FADBFFM-2),(22 2.4 2.4 平面力偶平面力偶由图可见由图可见: AC

25、B和ADB同底等高，面积相等，于是得 由假设知由假设知 因此有因此有于是得于是得 可见力偶可见力偶F2,F2与与F,F完全相等。完全相等。 所以力偶所以力偶F，F与与Fo，Fo等效。等效。 又由于力偶又由于力偶F2,F2 与与Fo,Fo等效，等效， F2,F2和和F,F有有相等的力偶臂相等的力偶臂d和一样的转向和一样的转向 。oo(,)(,)MMF FF F22,FFFF),(),(2200FFMFFM),(),(022FFMFFM 2.4 2.4 平面力偶平面力偶由此可得推论由此可得推论 1任一力偶可以在它的作用面内恣意移转，而不改任一力偶可以在它的作用面内恣意移转，而不改动它对刚体的作用。

26、因此，力偶对刚体的作用与力偶在其动它对刚体的作用。因此，力偶对刚体的作用与力偶在其作用面内的位置无关。作用面内的位置无关。 2只需坚持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以只需坚持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以同时改动力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改动力偶同时改动力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改动力偶对刚体的作用。对刚体的作用。 2.4 2.4 平面力偶平面力偶三、平面力偶系的合成和平衡条件三、平面力偶系的合成和平衡条件 1.平面力偶系的合成平面力偶系的合成 d1dd2dA A BB111dFM 222dFMdFM31dFM4243FFF34FFF=FdM dFF)(43dFdF432

27、1MM F1F1F3F3F2F2F4F4FF由于由于F= -F，构成了与原力偶系等效的合力偶，构成了与原力偶系等效的合力偶F，F,以以M表示合力偶的矩，得表示合力偶的矩，得 2.4 2.4 平面力偶平面力偶niiMM12.平面力偶系的平衡条件平面力偶系的平衡条件01niiM平面力偶系的平衡方程。平面力偶系的平衡方程。假设有两个以上的平面力偶，都可按照上述方法合成。假设有两个以上的平面力偶，都可按照上述方法合成。即在同平面内的恣意个力偶可合成为一个合力偶，合力偶即在同平面内的恣意个力偶可合成为一个合力偶，合力偶矩等于各个力偶矩的代数和。矩等于各个力偶矩的代数和。由合成结果可知，力偶系平衡时，其合

28、力偶的矩等于由合成结果可知，力偶系平衡时，其合力偶的矩等于零。因此，平面力偶系平衡的必要和充分条件是：一切各零。因此，平面力偶系平衡的必要和充分条件是：一切各力偶矩的代数和等于零。力偶矩的代数和等于零。 2.4 2.4 平面力偶平面力偶 例：如下图的工件上作用有四个力偶。各力偶矩的大小为 M1=M2=M3=M4=15Nm。固定螺柱A和B的间隔l=200mm。求两个光滑螺柱所受的铅垂力。 选工件为研讨对象。选工件为研讨对象。 由力偶系的平衡条件知由力偶系的平衡条件知 0MBAFF lFA4321MMMM0lMMMM43212 . 0154N300解：解：FAFB 2.4 2.4 平面力偶平面力偶

29、例：机构自重不计。圆轮上的销子例：机构自重不计。圆轮上的销子A放在摇杆放在摇杆BC上的光上的光滑导槽内。圆轮上作用一力偶，滑导槽内。圆轮上作用一力偶，其力偶矩为其力偶矩为 M1=2kNm，OA= r =0.5m。图示位置时。图示位置时OA与与OB垂直，垂直，=30，且系统平衡。求作用于摇且系统平衡。求作用于摇杆杆BC上力偶的矩上力偶的矩M2及铰及铰链链O，B处的约束力。处的约束力。 2.4 2.4 平面力偶平面力偶先取圆轮为研讨对象先取圆轮为研讨对象 0M0sin1rFMAsin1rMFA解得解得 再取摇杆再取摇杆BC为研讨对象为研讨对象 0M0sin2rFMA其中其中FA=FA。得。得 mk

30、N8412 MMkN85 . 0m5 . 0mkN2sin1rMFFFABOkN85 . 0m5 . 0mkN2解：解： 2.4 2.4 平面力偶平面力偶补充：补充：1.在图示机构中，各构件的自重略去不计。在构件在图示机构中，各构件的自重略去不计。在构件AB上上作用一力偶矩为作用一力偶矩为M的力偶，求支座的力偶，求支座A和和B的约束力。的约束力。2.在图示构造中，各构件的自重略去不计。在构件在图示构造中，各构件的自重略去不计。在构件BC上上作用一力偶矩为作用一力偶矩为M的力偶，求支座的力偶，求支座A的约束力。的约束力。392.5 2.5 平面恣意力系合成与平衡平面恣意力系合成与平衡一、力的平移

31、定理一、力的平移定理 =力偶力偶称为附加力偶称为附加力偶附加力偶的矩为：附加力偶的矩为：BdMFFFFF),(FF)(FBMFdM定理：可以把作用在刚体上点定理：可以把作用在刚体上点A的力的力F平行移到任一平行移到任一点点B，但必需同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等，但必需同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力于原来的力F对新作用点对新作用点B的矩。的矩。 二、平面恣意力系向作用面内一点简化二、平面恣意力系向作用面内一点简化 OM1M2MnMO=点点O- 称为简化中心称为简化中心 i =1，2，n 平面恣意力系平面恣意力系 平面汇交力系平面汇交力系 平面力偶系平面力偶系 一个力偶一个

32、力偶MO(力系的主矩力系的主矩一个力一个力FR(力系的主矢力系的主矢 刚体上作用有刚体上作用有n个力个力F1，F2，Fn组成的平面恣意力系。组成的平面恣意力系。 F2FRFnF1FnF2F1iiFF )(iOiMMF2.5 2.5 平面恣意力系合成与平衡平面恣意力系合成与平衡21nRFFFF2.力系对于简化中心力系对于简化中心O的主矩的主矩 Mo:12onMMMM即主矩即主矩Mo等于各附加力偶矩的代数和，又等于原来各力对等于各附加力偶矩的代数和，又等于原来各力对点点O的矩的代数和。主矩普通与简化中心有关。的矩的代数和。主矩普通与简化中心有关。 nii1F即主矢即主矢FR等于原来各力的矢量和。主

33、矢与简化中心无关。等于原来各力的矢量和。主矢与简化中心无关。1()noiiMF1.力系的主矢力系的主矢FR：2.5 2.5 平面恣意力系合成与平衡平面恣意力系合成与平衡nxxxRxFFFF21nyyyRyFFFF2122)()(iyixRFFF力系对点力系对点O的主矩的解析表达式为的主矩的解析表达式为ixFiyFniixiixiFyFx1)(1()nooiiMMF于是主矢于是主矢FR的大小和方向余弦为的大小和方向余弦为取坐标系取坐标系 Oxy，i，j 为沿为沿 x，y 轴的单位矢量，那么轴的单位矢量，那么),cos(RixRFFiF),cos(RiyRFFjF2.5 2.5 平面恣意力系合成与

34、平衡平面恣意力系合成与平衡固定端插入端支座固定端插入端支座2.5 2.5 平面恣意力系合成与平衡平面恣意力系合成与平衡三、平面恣意力系的简化结果分析三、平面恣意力系的简化结果分析 平面恣意力系向作用面内一点简化的结果，能够有四平面恣意力系向作用面内一点简化的结果，能够有四种情况。种情况。平面恣意力系简化为一个合力偶的情况平面恣意力系简化为一个合力偶的情况那么原力系合成为合力偶。合力偶矩为那么原力系合成为合力偶。合力偶矩为当力系合成为一个合力偶时，主矩与简化中心的选择无关。当力系合成为一个合力偶时，主矩与简化中心的选择无关。2FR0，Mo=0；1FR=0，Mo0；3FR0，Mo0； 4FR= 0

35、，Mo=0。FR=0，Mo0；niiOOFMM1)(2.5 2.5 平面恣意力系合成与平衡平面恣意力系合成与平衡合力矢等于主矢。合力矢等于主矢。 2.平面恣意力系简化为一个合力的情况平面恣意力系简化为一个合力的情况 a主矩等于零，主矢不等于零，即主矩等于零，主矢不等于零，即b主矢和主矩都不等于零，即主矢和主矩都不等于零，即d=oRMF dFR0，Mo=0； FR就是原力系的合力，而合力的作用线恰好过选的简就是原力系的合力，而合力的作用线恰好过选的简化中心化中心O。 FR0，Mo0；RRRFFF力力FR就是原力系的合力。就是原力系的合力。 FRFR2.5 2.5 平面恣意力系合成与平衡平面恣意力

36、系合成与平衡合力作用线到点合力作用线到点O的间隔的间隔d为：为： oRMdFc合力矩定理合力矩定理 而而 所以得证所以得证 平面恣意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同平面恣意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。一点的矩的代数和。.平面恣意力系平衡的情况平面恣意力系平衡的情况 原力系平衡原力系平衡 。下节详细讨论。下节详细讨论。ORROMdFM)(F证明：合力证明：合力FR对点对点O的矩为的矩为)(iOOMMF)()(iOROMMFFFR=0，Mo=0。这就是合力矩定理。这就是合力矩定理。2.5 2.5 平面恣意力系合成与平衡平面恣意力系合成与平衡 例

37、：知：例：知：P1=450kN，P2=200kN，F1=300kN，F2=70kN。求。求力系向点力系向点O简化的结果，合力与简化的结果，合力与OA的交点到点的交点到点O的间隔的间隔x。 解：解：7 .16arctanCBABACB主矢在主矢在x，y轴上的投影为轴上的投影为 kN9 .232cos21FFFFixRxkN1 .670sin221FPPFFiyRy1先将力系向点先将力系向点O简化简化主矢的大小和方向余弦为主矢的大小和方向余弦为 kN4 .709)()(22RyRxRFFF9446. 0),cos(3283. 0),cos(RRyRRRxRFFFFjFiF2.5 2.5 平面恣意力

38、系合成与平衡平面恣意力系合成与平衡力系对点力系对点O的主矩为的主矩为其作用线位置的其作用线位置的x值为值为m514. 384.70sin104 .70910235584.70sin33ROFMxmkN23552合力合力FR的大小和方向与主矢的大小和方向与主矢FR一样。一样。84.160),(jFR84.70),(iFR2119 . 35 . 13)(PPFMMOOFd2.5 2.5 平面恣意力系合成与平衡平面恣意力系合成与平衡例例3-1 3-1 知知F1=150NF1=150N，F2=200N ,F3=300N ,F= FF2=200N ,F3=300N ,F= F =200N =200N 。

39、求力系向点求力系向点O O的简化结果，并求力系合力的大小及其与原的简化结果，并求力系合力的大小及其与原点点O O的间隔。的间隔。100200解解12312cos45105437.6 NxFFFF 12331sin45105161.6 NyFFFF xyO80FF13F211F1F312jijiF161.6437.6R2.5 2.5 平面恣意力系合成与平衡平面恣意力系合成与平衡得力系向点得力系向点O O的简化结果如图的简化结果如图b);b);MOOxy(b)(c)Oxy22R22()()( 437.6)( 161.6)466.5NxyFFF RR466.5NFF合力及其与原点合力及其与原点O O

40、的间隔如的间隔如图图(c) (c) 。o21.44 N mM ORd45.96mmMFd100200 xyO80FF13F211F1F312jiFRFRmN44.2108. 02 . 0511 . 045sin)(301FFFFMMOOq(x)dxF例例3-2 3-2 程度梁程度梁ABAB受按三角形分布的载荷作用，如图示。受按三角形分布的载荷作用，如图示。载荷的最大值为载荷的最大值为q q，梁长，梁长l l，求合力作用线的位置。，求合力作用线的位置。ABlq 解解 在梁上距在梁上距A A端为端为 x x 处的载荷集度为处的载荷集度为 q(x) = qx/l q(x) = qx/l。在此处取的一

41、微段。在此处取的一微段dxdx，梁在微段，梁在微段dx dx 受的力近似为受的力近似为 F(x) = qxdx/lF(x) = qxdx/l。梁由。梁由 x=0 x=0 到到 x=l x=l 的分布载荷合力为的分布载荷合力为0( )2lqlFq x dx设合力作用线到设合力作用线到A A端的间隔为端的间隔为 xC xC ，根据合力矩定理根据合力矩定理22012d323lCqxqlqlxxllFxdxc0q( )lF xx xdxxc假设平面恣意力系的主矢和主矩都等于零，即假设平面恣意力系的主矢和主矩都等于零，即 显然显然 MO=0 汇交力系为平衡力系；汇交力系为平衡力系； 力偶系也是平衡力系。

42、力偶系也是平衡力系。 因此，主矢和主矩都等于零为该力系平衡的充分条件。因此，主矢和主矩都等于零为该力系平衡的充分条件。原力系必为平衡力系。原力系必为平衡力系。假设主矢和主矩有一个不等于零，那么该力系简化为假设主矢和主矩有一个不等于零，那么该力系简化为合力或合力偶，原力系不平衡。合力或合力偶，原力系不平衡。因此，主矢和主矩都等于零为该力系平衡的必要条件。因此，主矢和主矩都等于零为该力系平衡的必要条件。 平面恣意力系平衡的必要和充分条件是：平面恣意力系平衡的必要和充分条件是： 力系的主矢和对任一点的主矩都等于零。力系的主矢和对任一点的主矩都等于零。FR=0，MO=0 FR=02.5 2.5 平面恣

43、意力系合成与平衡平面恣意力系合成与平衡平衡条件用解析式表示为：平衡条件用解析式表示为： 上式称为平面恣意力系的平衡方程。上式称为平面恣意力系的平衡方程。 一切各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别一切各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于恣意一点的矩的代数和也等于零。等于零，以及各力对于恣意一点的矩的代数和也等于零。 平面恣意力系平衡的必要和充分条件是：平面恣意力系平衡的必要和充分条件是： 0iyF 0ixF 0)(FOM2.5 2.5 平面恣意力系合成与平衡平面恣意力系合成与平衡二力矩方式的平衡方程二力矩方式的平衡方程 三力矩方式的平衡方程三力矩方式的平衡方程 平

44、衡方程的其它方式：平衡方程的其它方式：0 xF其中其中x轴不得垂直于轴不得垂直于A，B两两点的连线。点的连线。其中其中A，B，C三点不得共线。三点不得共线。 0)(FAM 0)(FBM 0)(FCM 0)(FAM 0)(FBM2.5 2.5 平面恣意力系合成与平衡平面恣意力系合成与平衡平面平行力系的平衡方程，也可用两个力矩方程的方式，平面平行力系的平衡方程，也可用两个力矩方程的方式，即即平面平行力系是平面恣意力系的一种特殊情形。平面平行力系是平面恣意力系的一种特殊情形。 0yF如选取如选取x轴与各力垂直，那么轴与各力垂直，那么 0 xF于是，平面平行力系的独立平于是，平面平行力系的独立平衡方程

45、只需两个，即衡方程只需两个，即留意：点留意：点A、B的连线不能与力平行。的连线不能与力平行。设物体受平面平行力系设物体受平面平行力系F1，F2，Fn的作用。的作用。 0)(FOM 0)(FBM 0)(FAM2.5 2.5 平面恣意力系合成与平衡平面恣意力系合成与平衡 例：知小车重例：知小车重P=10kN，绳与斜面平行，绳与斜面平行，=30， a=0.75m，b=0.3m，不计摩擦。求钢丝绳的拉力及轨道对于车轮的约束力。，不计摩擦。求钢丝绳的拉力及轨道对于车轮的约束力。 取小车为研讨对象。取小车为研讨对象。 0 xF 0yF解得解得 30sin10sinPFTabaPFB2sincosBAFPF

46、cos0sinPFT0cosPFFBA0sincos2PbPaaFBkN5kN33. 575. 0230sin3 . 030cos75. 01033. 530cos10kN33. 3解：解： 0)(FOM2.5 2.5 平面恣意力系合成与平衡平面恣意力系合成与平衡 例：起重机重例：起重机重P1=10kN，可绕铅直轴，可绕铅直轴AB转动；起重机转动；起重机的挂钩上挂一重为的挂钩上挂一重为P2=40kN的重物。起重机的重心的重物。起重机的重心C到转到转轴的间隔为轴的间隔为1.5m，其他尺寸如下图。求在止推轴承，其他尺寸如下图。求在止推轴承A和轴和轴承承B处的约束力。处的约束力。 2.5 2.5 平

47、面恣意力系合成与平衡平面恣意力系合成与平衡解：取起重机为研讨对象。解：取起重机为研讨对象。 0 xF 0yF05 . 35 . 1521PPFB解得解得 kN5021PPFAykN317 . 03 . 021PPFBkN31BAxFF021PPFAy0BAxFF 0)(FAM2.5 2.5 平面恣意力系合成与平衡平面恣意力系合成与平衡kN122028 . 01628 . 020 例：在程度双伸梁上作用有集中力例：在程度双伸梁上作用有集中力F、矩为、矩为M的力偶和集度为的力偶和集度为q的均布载荷。如知的均布载荷。如知F=20kN，M=16kNm，q=20kN/m，a=0.8m。求支座求支座A、B

48、的约束力。的约束力。 解：取梁为研讨对象。解：取梁为研讨对象。 0 xF 0yF解得解得 0AxFFaMqaFB22kN24BAyFqaFF022aFMqaaaFB0FqaFFBAy0AxF 0)(FAM2.5 2.5 平面恣意力系合成与平衡平面恣意力系合成与平衡例：自重为例：自重为P=100kN的的T字形刚架字形刚架ABD，置于铅垂面内，置于铅垂面内，载荷如下图。其中载荷如下图。其中M=20kNm，F=400kN，q=20kN/m，l =1m。试求固定端。试求固定端A的约束力。的约束力。 2.5 2.5 平面恣意力系合成与平衡平面恣意力系合成与平衡解：取刚架为研讨对象。解：取刚架为研讨对象。

49、 0yF其中其中kN303211lqF解得解得 kN4 .31660sin1FFFAxkN30060cosFPFAymkN118860sin360cos1lFFllFMMA060sin360cos1lFFllFMMA 0 xF060sin1FFFAx060cosFPFAy 0)(FAM2.5 2.5 平面恣意力系合成与平衡平面恣意力系合成与平衡 例：塔式起重机如下图。例：塔式起重机如下图。机架重机架重P1=700kN作用线经过塔架作用线经过塔架的中心。最大起分量的中心。最大起分量P2=200kN，最大悬臂长为最大悬臂长为12m，轨道，轨道AB的间的间距为距为4m。平衡荷重。平衡荷重P3,到机身

50、中到机身中心线间隔为心线间隔为6m。保证起重机在。保证起重机在满载和空载时都不致翻倒，求平满载和空载时都不致翻倒，求平衡荷重衡荷重P3应为多少？应为多少？ 2.5 2.5 平面恣意力系合成与平衡平面恣意力系合成与平衡解：取起重机为研讨对象。解：取起重机为研讨对象。 1满载时：满载时：010428213PFPPA)1028(41213PPPFA为使起重机不绕点为使起重机不绕点B翻倒翻倒,须须FA0 即即kN75)210(81123PPP2空载时：空载时： 024413PFPB)42(4131PPFB为使起重机不绕点为使起重机不绕点A翻倒，须翻倒，须FB0，即，即kN3502113PPkN350k

51、N753 P所以起重机平衡荷重所以起重机平衡荷重P3应为：应为：6m12mP2P1FBFAP3( )0BMF 0)(FAM2.5 2.5 平面恣意力系合成与平衡平面恣意力系合成与平衡物体系：由几个物体组成的系统。物体系：由几个物体组成的系统。 当物体系平衡时，组成该系统的每一个物体都处于平当物体系平衡时，组成该系统的每一个物体都处于平衡形状，因此对于每一个受平面恣意力系作用的物体，均衡形状，因此对于每一个受平面恣意力系作用的物体，均可写出三个平衡方程。如物体系由可写出三个平衡方程。如物体系由n个物体组成，那么共个物体组成，那么共有有3n个独立方程。如系统中有物体受平面汇交力系或平面个独立方程。

52、如系统中有物体受平面汇交力系或平面平行力系作用时，那么系统的平衡方程数目相应减少。平行力系作用时，那么系统的平衡方程数目相应减少。静定和超静定静不定的概念静定和超静定静不定的概念超静定问题超静定问题:独立方程数目独立方程数目未知数数目未知数数目,由平衡方程无法由平衡方程无法求解。求解。静定问题静定问题:独立方程数目独立方程数目未知数数目未知数数目,由平衡方程可解。由平衡方程可解。2.5 2.5 平面恣意力系合成与平衡平面恣意力系合成与平衡2.5 2.5 平面恣意力系合成与平衡平面恣意力系合成与平衡2.5 2.5 平面恣意力系合成与平衡平面恣意力系合成与平衡例：图示静定多跨梁由例：图示静定多跨梁

53、由AB梁和梁和BC梁用中间铰梁用中间铰B衔接而成，支承和衔接而成，支承和载荷情况如下图。知载荷情况如下图。知F=20kN，q=5kN/m，=45。求支座。求支座A、C的的约束力和中间铰约束力和中间铰B处的约束力。处的约束力。解：解： 0 xF 0yFcos2FFCkN1045tan2202cosFFFFCBy0sinCBxFF0cosCByFFF0cos21CFFkN14.1445cos220tan2sinFFFCBxkN10先取先取BC梁为研讨对象。梁为研讨对象。0)(FBM2.5 2.5 平面恣意力系合成与平衡平面恣意力系合成与平衡再取再取AB梁为研讨对象。梁为研讨对象。 0 xF 0yF

54、22ByAFqMBxAxFF2ByAyFqF0212ByAFqM0BxAxFF02ByAyFqFmkN3010252kN10kN201052 0)(FAM2.5 2.5 平面恣意力系合成与平衡平面恣意力系合成与平衡例：图示为曲轴冲床简图，例：图示为曲轴冲床简图，OA=R，AB=l。忽略摩擦和自重，当。忽略摩擦和自重，当OA在程度位置、冲压力为在程度位置、冲压力为F时系统处于平衡形状。求：时系统处于平衡形状。求：1作用作用在轮在轮上的力偶之矩上的力偶之矩M的大小；的大小；2轴承轴承O处的约束力；处的约束力；3连连杆杆AB受的力；受的力；4冲头给导轨的侧压力。冲头给导轨的侧压力。 2.5 2.5

55、平面恣意力系合成与平衡平面恣意力系合成与平衡解：先取冲头为研讨对象。解：先取冲头为研讨对象。 0 xF 0yFcosFFB解得解得 再取轮再取轮为研讨对象。为研讨对象。 0 xF 0yFFRM 22tanRlRFFFN22sinRlRFFFAOxFFFAOycos0sinBNFF0cosBFF0cosMRFA0sinAOxFF0cosAOyFF 0)(FOM2.5 2.5 平面恣意力系合成与平衡平面恣意力系合成与平衡例：一支架如下图，例：一支架如下图，AB=AC=CD=1m，滑轮半径，滑轮半径r=0.3m，重，重物物P=100kN，A、B 处为固定铰链支座，处为固定铰链支座，C 处为铰链衔接。

56、不计绳、处为铰链衔接。不计绳、杆、滑轮分量和摩擦，求杆、滑轮分量和摩擦，求A、B支座的反力。支座的反力。 解：先取整体为研讨对象。解：先取整体为研讨对象。0 xF 0yF03 . 21PFBxkN2303 . 2PFBx0BxAxFFkN230BxAxFF0PFFByAyFAxPFAyFBxFBy0)(FAM2.5 2.5 平面恣意力系合成与平衡平面恣意力系合成与平衡再取杆再取杆BCE为研讨对象。为研讨对象。03 . 011TByBxFFF其中其中 kN100 PFT解得解得kN2003 . 0PFFBxBykN100ByAyFPF 0)(FCM2.5 2.5 平面恣意力系合成与平衡平面恣意力

57、系合成与平衡例：知例：知F=1kN，AC=1.6m，BC=0.9m，CD=EC=1.2m，AD=2m。假设假设AB程度、程度、ED铅垂，求铅垂，求BD杆的内力和支座杆的内力和支座A的反力。的反力。 1.6m0.9m2m1.2m1.2mx先取整体为研讨对象。先取整体为研讨对象。 04 . 22FFAykN2 . 12 . 1FFAy 0 xF0cosFFAxkN8 . 054FFAx再取再取AB杆为研讨对象。杆为研讨对象。0cos9 . 0cos6 . 1sin6 . 1BDAyAxFFFkN067. 1)tan(9 . 06 . 1AyAxBDFFF解：解：54cosFDFAxFAy 0)(F

58、DM 0)(FCM2.5 2.5 平面恣意力系合成与平衡平面恣意力系合成与平衡例：知例：知P1=50kN，P2=10kN。求。求支座支座A，B和和D三处的约束力。三处的约束力。 先取起重机为研讨对象。先取起重机为研讨对象。 051221PPFGkN50GF再取再取CD梁为研讨对象。梁为研讨对象。 最后取整体为研讨对象。最后取整体为研讨对象。 0yF021PPFFFDBAkN33.48AF010612321PPFFDBkN100BF016GDFFkN33. 8DF解：解：FDFBFA 0)(FFM 0)(FAM 0)(FCM2.5 2.5 平面恣意力系合成与平衡平面恣意力系合成与平衡例：图示一构

59、造由例：图示一构造由ABAB、BC BC 与与CE CE 三个构件构成。三个构件构成。E E 处有处有一滑轮，细绳经过该轮悬挂一重为一滑轮，细绳经过该轮悬挂一重为 1.2 kN 1.2 kN 的重物。的重物。尺寸如图，不计杆件与滑轮的分量。求支座尺寸如图，不计杆件与滑轮的分量。求支座A A和和B B处的约处的约束反力，以及杆束反力，以及杆BC BC 的内力的内力FBCFBC。ABCDE1.5m2m2m1.5m解：解：1 1选整体为研讨对象。选整体为研讨对象。0 xF0yF0AxF - F 0AyBF+ F - P 4(1.5)(2)0BF -FrPr( )0AM F PFBFFAxFAy2.5

60、 2.5 平面恣意力系合成与平衡平面恣意力系合成与平衡2 2取取ADBADB杆为研讨对象。杆为研讨对象。ABD322205AyBBCFFF )5(1.5kN3BCAyBFF -F解得解得式中式中r r为轮的半径，细绳拉力为轮的半径，细绳拉力F=PF=P。解得解得1.2kNAxF =0.15kNAyBF= P - F3.51.05kN4BFP( )0DM F FAyFDyFBCFAxFDxFB2.5 2.5 平面恣意力系合成与平衡平面恣意力系合成与平衡ABCDqFq3aaaaM 例：图示构架，由直杆例：图示构架，由直杆BC，CD及直角弯杆及直角弯杆AB组成，组成，各杆自重不计，载荷分步及尺寸如图