函数的单调性和奇偶性 重难点讲解

1、重难点讲解函数的单调性和奇偶性本节重难点 本节的重点和难点都是对函数单调性和奇偶性的理解和应用重难点讲解1基础知识图表2函数的单调性如果对于属于定义域A内某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2，都有f（x1）f（x2），那么就说f（x）在这个区间上是增函数如果对于属于定义域A内某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f（x1）f（x2），那么就说f（x）在这个区间上是减函数如果函数f（x）在某个区间是增函数或减函数，那么就说f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做f（x）的单调区间函数的单调性是针对定义域内的某个区间而言的例如函数y 在（-，0）上

2、是减函数，在（0，+）上也是减函数，但不能说它在整个定义域即（-，0）（0，+）因为当取x1-1，x21时，对应的函数值为f（x1）-1，f（x2）1，显然有x1x2，但f（x1）f（x2），不满足减函数的定义有些函数在整个定义域内具有单调性例如函数yx就是这样有些函数在定义域内某个区间上是增函数，而在另一些区间上是减函数例如函数y=x2在（-，0）是减函数，在，+）上是增函数中学阶段我们所讨论的函数，只要它们在区间的端点有定义，那么在考虑单调区间时，包括端点、不包括端点都可以函数的单调性所刻画的是当自变量变化时其对应的函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，函数图像能直观地显示函数的这个

3、性质在单调区间上的增函数，它的图像是沿x轴正方向逐渐上升的；在单调区间上的减函数，它的图像是沿x轴正方向逐渐下降的求函数的单调区间，必须先求函数的定义域讨论函数yf（x）的单调性时要注意两点：（1）若u（x），yf（u）在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则yf（x）为增函数；（2）若u（x），yf（u）在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则yf（x）为减函数若函数f（x），g（x）在给定的区间上具有单调性，利用增（减）函数的定义容易证得，在这个区间上：（1）函数f（x）与f（x）+C（C为常数）具有相同的单调性（2）C0时，函数f（x）与C·f（x）具有相同的单调性；

4、C0时，函数f（x）与C·f（x）具有相反的单调性（3）若f（x）0，则函数f（x）与 具有相反的单调性（4）若函数f（x），g（x）都是增（减）函数，则f（x）+g（x）仍是增（减）函数（5）若f（x）0，g（x）0，且f（x）与g（x）都是增（减）函数，则f（x）·g（x）也是增（减）函数；若f（x）0，g（x）0，且f（x）与g（x）都是增（减）函数，则f（x）·g（x）是减（增）函数使用上述结论，可以简便地求出一些函数的单调区间例如函数f（x） （x-1）可等价变形为f（x）1- （x-1）由于一次函数1+x是增函数，所以当x-1时，函数 在（-，-1）上

5、是减函数，在（-1，+）上也是减函数于是- 在（-，-1）和（-1，+）上均为增函数故f（x）1- 在（-，-1）和（-1，+）上都是增函数根据定义讨论（或证明）函数增减性的一般步骤是：（1）设x1、x2是给定区间内的任意两个值且x1x2；（2）作差f（x1）-f（x2），并将此差化简、变形；（3）判断f（x1）-f（x2）的正负，从而证得函数的增减性利用函数的单调性可以把函数值的大小比较的问题转化为自变量的大小比较的问题函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论这即是说，函数的单调区间是其定义域的子集3函数的奇偶性如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）-f（x），那么f（x）叫

6、做奇函数如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）f（x），那么f（x）叫做偶函数奇函数的图像关于原点对称；偶函数的图像关于y轴对称如果函数f（x）是奇函数或是偶函数，那么就说函数f（x）具有奇偶性函数按是否具有奇偶性可分为四类：奇函数，偶函数，既奇且偶函数（既是奇函数又是偶函数），非奇非偶函数（既不是奇函数也不是偶函数）函数的奇偶性是针对函数的整个定义域而言，因此奇偶性是函数在定义域上的整体性质由于任意x和-x均要在定义域内，故奇函数或偶函数的定义域一定关于原点对称所以，我们在判定函数的奇偶性时，首先要确定函数的定义域（函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件如果其定

7、义域关于原点不对称，那么它没有奇偶性）然后再判断f（-x）与f（x）的关系，从而确定其奇偶性判断函数的奇偶性有时可用定义域的等价形式f（-x）±f（x）0或 ±1（f（x）0）来代替存在既奇且偶函数，例如f（x） + 当f（-x）与f（x）之间的关系较隐蔽时，容易产生“非奇非偶”的错觉，万万不可草率下结论函数的图像能够直观地反映函数的奇偶性f（x）为奇函数的充要条件是函数f（x）的图像关于原点对称，f（x）为偶函数的充要条件是函数f（x）的图像关于y轴对称奇函数和偶函数还具有以下性质：（1）两个奇函数的和（差）仍是奇函数，两个偶函数的和（差）仍是偶函数（2）奇偶性相同的两个函数的积（商、分母不为零）为偶函数，奇偶性相反的两个函数的积（商、分母不为零）为奇函数（3）奇函数