异面直线所成角的几种求法

1、HS=_Aa (连 AiS, - 2可知 HAS为直角三角形），GS=a （作直线4GP交BC于点P, 连M知四边形 GPDS为立角梯形）。异面直线所成角的几种求法异面直线所成角的大小，是由空间一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的。因此，通常我们要求异面直线所成的角会要求学生通过平移直线，形成角，然后在某个三角形中求出角的方法来得到异面直线所成角的大小。在这一方法中，平移直线是求异面直线所成角的关键，而如何平移直线要求学生有良好的空间观和作图能力。一、向量法求异面直线所成的角例1:如图，在正方体ABCD-AiBiGDi中，E、F分别是相邻两侧面BCCB及CDDiG的中心。求AE和

2、BF所成的角的大小。解法一：（作图法）作图关键是平移直线，可平移其中一条直线，也可平移两条直线到某个点上。作法：连结BiE,取BE中点G及AiBi中点连结GH,有GHAiE。过F作CD的平行线分别交CG、DDi于点R、S,连结SH,连结由BiHGDiFS,BiH=FS,可RS得BiF/SHo'在ZxGHS中，设正方体边长为a。GH=-a（作直线GQBC交BBi于点4连QH,可知GQH为直角三角形），则点Ai的坐标为（0,2,2）,点E的坐标为（i,0,i）,点B的坐标为（0,0,2），点F的坐标为BBi为z轴，设BC长度为2。Cos/GHS=o6所以直线AiE与直线BiF所成的角的余弦

3、值为解法二：（向量法）分析：因为给出的立体图形是一个正方体，所以可以在空间建立直角坐标系，从而可以利用点的坐标表示出空间中每一个向量，从而可以用向量的方法来求出两条直线间的夹角。以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，(2,i,i)；所以向量E4的坐标为（-1,2,D,向量BF的坐标为（2,1,-1）,所以这两个向量的夹角e满足EAi BiF coso =(1)221 1 (1)|EAi| IBiF |,（1产（2g （1产，（2产2 (1产61所以直线AiE与直线BF所成的角的余弦值为一6小结：上述解法中，解法一要求有良好的作图能力，且能够在作图完毕后能够看清楚图形中的各个三角形，然后在所需要的

4、三角形中计算出各条线段的长度，从而完成解三角形得到角的大小。而解法二不需要学生作图，只需建立空间直角坐标系，标出相应的点的坐标，从而得到所需向量的坐标，求出两个向量的夹角，即所求的两条直线所成的角。当然，如果题中给出的是一可以建立坐标系的空间图形，比如刚才的正方体，或者说是长方体，或者说空间图形中拥有三条直线两两垂直的性质，我们就可以建立空间直角坐标系，从而利用向量的坐标表示来求两个向量的夹角。如果没有这样的性质，我们也可以利用空间向量基本定理，寻找空间的一组基底（即三个不共面的向量，且这三个向量两两之间的夹角是己知的）空间中任何一个向量都可以用这三个向量的线性组合表示出来，因而也可以运用向量

5、的数乘来求出空间中任意二个向量间的夹角。例2:已知空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a,的中点，设AM和CN所成的角为a,求COSa的值。解：由已知得，空间向量AB,AC,AD不共面,且两两之间的夹角均为60°o由向量的加法可以得到1-AM=-(AB+AC),NC=AD+AC22所以向量AM与向量NC的夹角0（即角a或者a的补角）-1-AMNC.,其中l|NC|一1AlMCFWC-nqAEWAC)(221/=(212=a2(21-AR-211AD+ABAC+1-AD+AC)21-ADAAC112+1)=一a2：42IB1(AB+AC)=一(1+1+1423ai

6、2=41AD+AC)=J_+11a2=Aa2242所以COSa=1COSOgo3例3:已知空间四边形ABCD中，AB=CD=3,E、F分别是BC、AD上的点,且BE:EC=AF:FD=1:2,EF=,7,求AB和CD所成的角的大小。解：取AC上点G,使AG:GC=1:2o连结EG、FG,可知EG/AB,FG/CD,3EG=2AB,3FG=CD。-21-由向量的知识可知EF=EG+GF=BA+CD,33设向量BA和CD的夹角为0。2 121则由|EF(=(BA+CD)(一BA+CD)=4+1+4cos0=7,3 3331WCOSO=-,所以AB和CD所成的角为60°。2二、利用模型求异

7、面直线所成的角引理：己知平面a的一条斜线a与平面a所成的角为01,平面a内的一条直线COS0=COS01COSb与斜线a所成的角为0，与它的射影a'所成的角为02。求证:证明：设PA是a的斜线，OA是PA在a上的射影,OB/b,如图所示。则/PAO=01,ZPAB=0,ZOAB=过点。在平面a内作OB_LAB,垂足为B,连结PB。可知PB±ABoOAAB所以COS01COS0=，COS02=PAPA所以COS0=COS01COS02oABOA02。1叫做线面这一问题中，直线a和b可以是相交直线，也可以是异面直线。我们不妨把0角，0叫做线线角，02叫做线影角。很明显，线线角是这

8、三个角中最大的一个角。我们可以利用这个模型来求两条异面直线a和b所成的角，即引理中的角0。从引理中可以看出，我们需要过a的一个平面a,以及该平面的一条斜线b以及b在a内的射影。例4:如图，MA_L平面ABCD,四边形MB既9髓嬴且MA=AB=a,试求异而直线解：由图可知，直线MB在平面ABCD内的射影为直线MB与平面ABCD所成的角为45°,直线AC与直线MB的射影AB所成的角为45所以直线AC与直MB所成的角为0,满足1cos°COS45一，=cos4502所以直线AC与MB所成的角为60°。例5:如图，在立体图形P-ABCD中，底面ABCD是一个直角梯AD/BC,AB=BC=a,AD=2a,且PA，底面ABCD,PD与底面成30°角，AE_LPD于D。求形，/BAD=90异面直线AE与CD所成的角的大小。解：过E作的平行线EF交AD于F,由PA_L底面ABCD可知，直线AE在平面ABCD内的射影为AD,直线AE与平面ABCD所成的角为/DAE,其大小为60°,射影AD与直线CD所成的角为/CDA,其大小为45°,所以直线与直线所成