正方形基础专题练习

1、19.3.2 正方形的判定与性质一选择题（共5 小题）1下列说法错误的是（）A 有一个角为直角的菱形是C 对角线相等的菱形是B有一组邻边相等的矩形是正方形D对角线相等且互相垂直的四边形是正方形2在正方形形的有（ABCD ）的边 AB 、 BC、 CD 、DA 上分别任意取点E、 F、 G、H 这样得到的四边形A1 个B2 个C4 个D无穷多个EFGH中，是正方3如图， 四边形 ABCD 中，AD=DC ， ADC= ABC=90面积为 16，则 DE 的长为（）A 3B2C 4°，DE AB ，若四边形D 8ABCD4ABC 中， C=90°，点 O 为 ABC 三条角平分

2、线的交点，OD BC 于D，OE AC于 E， OF AB 于 F，且 AB=10cm ， BC=8cm ，AC=6cm ，则点 O 到三边 AB 、 AC 、BC 的距离为（）A 2cm， 2cm， 2cm B 3cm， 3cm， 3cmC 4cm， 4cm， 4cm D 2cm， 3cm， 5cm5如图，在一个大正方形内，放入三个面积相等的小正方形纸片，这三张纸片盖住的总面积是 24 平方厘米，且未盖住的面积比小正方形面积的四分之一还少3 平方厘米，则大正方形的面积是（单位：平方厘米） （） A40B 25 C 26D 36二填空题（共4 小题）6现有一张边长等于 a（ a 16）的正方形

3、纸片，从距离正方形的四个顶点8cm 处，沿 45°角画线，将正方形纸片分成 5 部分，则阴影部分是_（填写图形的形状） （如图），它的一边长是_ 7如图，正方形ABCD 的对角线交于点O，以 AD 为边向外作Rt ADE ， AED=90 °，连接 OE，DE=6 ，OE=8，则另一直角边 AE的长为 _ 8如图，在四边形ABCD 中， ADC= ABC=90 °，AD=CD ， DP AB 于四边形 ABCD 的面积是则 DP 的长是P若18，_9四边形ABCD 的对角线AC 和 BD 相交于点O，设有下列条件： AB=AD 矩形 ABCD ； 菱形 ABCD

4、， 正方形 ABCD ，则在下列推理不成立的是A、? ；B、? ；C、 ? ；D、? 三解答题（共11 小题）； DAB=90 _°；AO=CO ，BO=DO ；10如图，已知点E、 F、G、 H 分别在正方形ABCD的各边上，且AE=BF=CG=DH，AF、BG、 CH 、 DE 分别相交于点A 、 B 、 C、D 求证：四边形A BCD是正方形11如图， 在正方形 ABCD 中，点 M 在边 AB 上，点 N 在边 AD 的延长线上， 且 BM=DN 点 E 为 MN 的中点， DE 的延长线与 AC 相交于点 F试猜想线段 DF 与线段 AC 的关系，并证你的猜想12如图，正方

5、形ABCD且 AH=2 ，连接 CF边长为6菱形EFGH的三个顶点E、 G、H分别在正方形ABCD的边AB 、CD、DA上，.（ 1）当 DG=2 时，求证：菱形 EFGH 为正方形；（ 2）设 DG=x ，试用含 x 的代数式表示 FCG 的面积13如图，正方形ABCD ，动点 E 在 AC 上， AF AC ，垂足为 A ， AF=AE （ 1）求证： BF=DE ；（ 2）当点 E 运动到 AC 中点时（其他条件都保持不变） ，问四边形 AFBE 是什么特殊四边形？说明理由14已知，如图，矩形 ABCD 中， AD=6 ， DC=7 ，菱形 EFGH 的三个顶点 E， G， H 分别在矩

6、形 ABCD 的边 AB ，CD， DA 上， AH=2 ，连接 CF（ 1）若 DG=2 ，求证四边形 EFGH 为正方形；（ 2）若 DG=6 ，求 FCG 的面积；（ 3）当 DG 为何值时， FCG 的面积最小15如图，正方形ABCD 中， AC 是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B ，直角顶点P 在射线 AC上移动，另一边交DC于Q（ 1）如图 1，当点 Q 在 DC 边上时，猜想并写出PB 与 PQ 所满足的数量关系；并加以证明；（ 2）如图 2，当点 Q 落在 DC 的延长线上时，猜想并写出PB 与 PQ 满足的数量关系，请证明你的猜想16如图，已知四边形 ABCD

7、是正方形，分别过 A 、 C 两点作 l1 l2，作 BM l1 于 M ， DN l 1 于 N ，直线 MB 、 ND 分别交 l2 于 Q、 P求证：四边形 PQMN 是正方形;.17在正方形 ABCD 各边上一次截取AE=BF=CG=DH ，连接 EF，FG，GH ，HE试问四边形EFGH 是否是正方形？18如图，四边形 ABCD 是正方形，点 P 是 BC 上任意一点， DE AP 于点 E， BF AP 于点 F，CH DE 于点 H， BF 的延长线交 CH 于点 G（ 1）求证： AF BF=EF ；（ 2）四边形 EFGH 是什么四边形？并证明；（ 3）若 AB=2 ， BP

8、=1，求四边形 EFGH 的面积19如图， ABC 中， C=90 °， BAC 、 ABC 的平分线相交于点 D，DE BC ，DF AC ，垂足分别为 E、F问四边形 CFDE 是正方形吗？请说明理由20如图，在 ABC 中， BAC=90 °，AB=AC ，点 D 是 BC 的中点， DE AB ，DF AC 垂足分别为E，F求证：四边形 DEAF 是正方形;.19.3.2 正方形的判定与性质参考答案与试题解析一选择题（共5 小题）1下列说法错误的是（）A 有一个角为直角的菱形是正方形B有一组邻边相等的矩形是正方形C对角线相等的菱形是正方形D对角线相等且互相垂直的四边

9、形是正方形考点：正方形的判定分析：正方形：四个角都是直角，四条边都相等，对角线相等，且互相垂直平分的平行四边形；菱形：四条边都相等，对角线互相垂直平分的平行四边形；矩形：四个角都相等，对角线相等的平行四边形解答：解：A 、有一个角为直角的菱形的特征是：四条边都相等， 四个角都是直角， 则该菱形是正方形故本选项说法正确；B、有一组邻边相等的矩形的特征是：四条边都相等，四个角都是直角则该矩形为正方形故本选项说法正确；C、对角线相等的菱形的特征是：四条边都相等，对角线相等的平行四边形，即该菱形为正方形故本选项说法正确；D、对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形故本选项说法错误；故选 D点评：本题考

10、查了正方形的判定正方形集矩形、菱形的性质于一身，是特殊的平行四边形2在正方形 ABCD 的边 AB 、 BC、 CD 、DA 上分别任意取点E、 F、 G、H 这样得到的四边形EFGH 中，是正方形的有（）A 1个B2 个C4 个D无穷多个考点：正方形的判定与性质；全等三角形的判定专题：计算题分析：在正方形四边上任意取点E、 F、 G、 H，若能证明四边形 EFGH 为正方形，则说明可以得到无穷个正方形解答：解：无穷多个如图正方形ABCD ：AH=DG=CF=BE ， HD=CG=FB=EA ， A= B= C= D，有 AEH DHG CGF BFE ，则 EH=HG=GF=FE ，另外很容

11、易得四个角均为90°则四边形 EHGF 为正方形故选 D;.点评：本题考查了正方形的判定与性质，难度适中，利用三角形全等的判定证明EH=HG=GF=FE 3如图，四边形ABCD 中， AD=DC ， ADC= ABC=90 °，DE AB ，若四边形ABCD 面积为 16，则 DE 的长为（）A3B2C4D8考点：正方形的判定与性质专题：证明题分析：如图，过点 D 作 BC 的垂线，交 BC 的延长线于F，利用互余关系可得A= FCD ，又 AED= F=90°，AD=DC ，利用 AAS 可以判断 ADE CDF， DE=DF ， S 四边形 ABCD =S 正

12、方形 DEBF=16 ， DE=4 解答：解：过点 D 作 BC 的垂线，交BC 的延长线于F， ADC= ABC=90 °， CDF+ EDC=90 °， A=FCD ，又 AED= F=90°， AD=DC ， ADE CDF ， DE=DF ，S 四边形 ABCD =S 正方形 DEBF=16 ， DE=4 故选 C点评：本题运用割补法，或者旋转法将四边形ABCD 转化为正方形，根据面积保持不变，来求正方形的边长4 ABC 中， C=90 °，点 O 为 ABC 三条角平分线的交点，OD BC 于 D ， OEAC 于 E， OF AB 于 F，且

13、AB=10cm ， BC=8cm ， AC=6cm ，则点 O 到三边 AB 、 AC 、 BC 的距离为（）A 2cm， 2cm， 2cmB 3cm， 3cm， 3cmC4cm， 4cm， 4cmD 2cm，3cm， 5cm考点：正方形的判定与性质分析：连接 OA ， OB， OC，利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知BDO BFO ， CDO CEO ， AEO AFO ， BD=BF ，CD=CE ，AE=AF ，又因为点 O 到三边 AB 、AC 、BC 的距离是 CD ， AB=8 CD+6 CD=10 ，解得 CD=2 ，所以点 O 到三边 AB 、 AC 、BC 的距离为

14、 2解答：解：连接 OA ， OB ， OC，则 BDO BFO ， CDO CEO， AEO AFO ， BD=BF ， CD=CE ， AE=AF ，又 C=90， OD BC 于 D， OE AC 于 E，且 O 为 ABC 三条角平分线的交点四边形 OECD 是正方形，则点 O 到三边 AB、 AC、BC 的距离 =CD， AB=8 CD+6 CD= 2CD+14 ，又根据勾股定理可得：AB=10 ，即 2CD+14=10 CD=2 ，;.即点 O 到三边 AB 、 AC 、 BC 的距离为2cm故选 A点评：本题主要考查垂直平分线上的点到线段两段的距离相等的性质和边的和差关系5如图，

15、在一个大正方形内，放入三个面积相等的小正方形纸片，这三张纸片盖住的总面积是24 平方厘米，且未盖住的面积比小正方形面积的四分之一还少3 平方厘米，则大正方形的面积是（单位：平方厘米）（）A 40B25C26D36考点：正方形的判定与性质专题：计算题分析：设小正方形的边长为 a，大正方形的边长为 b，由正方形的面积公式，根据题意列出方程组解方程组得出大正方形的边长，则可求出面积解答：解：设小正方形的边长为a，大正方形的边长为 b，由这三张纸片盖住的总面积是24 平方厘米，可得ab+a（ ba） =24 ，由未盖住的面积比小正方形面积的四分之一还少3 平方厘米，可得（22b a） =a 3，将 联

16、立解方程组可得：a=4， b=5，大正方形的边长为 5，面积是 25故选 B点评：本题考查了正方形的性质及面积公式，难度较大，关键根据题意列出方程二填空题（共4 小题）6现有一张边长等于a（ a 16）的正方形纸片，从距离正方形的四个顶点8cm 处，沿 45°角画线，将正方形纸片分成 5 部分，则阴影部分是正方形（填写图形的形状） （如图），它的一边长是cm;.考点：正方形的判定与性质专题：压轴题分析：延长小正方形的一边交大正方形于一点，连接此点与距大正方形顶点8cm 处的点， 构造直角边长为8 的等腰直角三角形，将小正方形的边长转化为等腰直角三角形的斜边长来求解即可解答：解：如图，

17、作AB 平行于小正方形的一边，延长小正方形的另一边与大正方形的一边交于B 点， ABC 为直角边长为8cm 的等腰直角三角形， AB=AC=8，阴影正方形的边长=AB=8cm故答案为：正方形，cm点评：本题考查了正方形的性质与勾股定理的知识，题目同时也渗透了转化思想7如图， 正方形 ABCD 的对角线交于点 O，以 AD 为边向外作 Rt ADE ， AED=90 °，连接 OE，DE=6 ，OE=8 ，则另一直角边 AE 的长为 10 考点：正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理分析：首先过点 O 作 OM AE 于点 M ，作 ONDE ，交 ED 的延长线于点N，

18、易得四边形EMON 是正方形，点 A ，O， D，E 共圆，则可得 OEN 是等腰直角三角形，求得 EN 的长，继而证得 RtAOM Rt DON ，得到 AM=DN ，继而求得答案;.解答：解：过点 O 作 OM AE 于点 M ，作 ON DE ，交 ED 的延长线于点N， AED=90 °，四边形 EMON 是矩形，正方形 ABCD 的对角线交于点O， AOD=90 °， OA=OD ， AOD+ AED=180 °，点 A ，O，D ，E 共圆， = ， AEO= DEO=AED=45 °， OM=ON ，四边形 EMON 是正方形， EM=EN

19、=ON ， OEN 是等腰直角三角形， OE=8， EN=8 ， EM=EN=8 ，在 Rt AOM 和 Rt DON 中， Rt AOM Rt DON （ HL ）， AM=DN=EN ED=8 6=2， AE=AM+EM=2+8=10 故答案为： 10点评：此题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形性质此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用8如图，在四边形ABCD 中， ADC= ABC=90 °， AD=CD ， DP AB 于 P若四边形 ABCD 的面积是18，则DP 的长是 3考点：正方形的判定与性质；全等三角形的判定与

20、性质分析：过点 D 作 DE DP 交 BC 的延长线于E，先判断出四边形DPBE 是矩形 ，再根据等角的余角相等求出 ADP= CDE ，再利用 “角角边 ”证明 ADP 和 CDE 全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=DP ，然后判断出四边形 DPBE 是正方形，再根据正方形的面积公式解答即可;.解答：解：如图，过点D 作 DE DP 交 BC 的延长线于E， ADC= ABC=90 °，四边形 DPBE 是矩形， CDE+ CDP=90 °， ADC=90 °， ADP+ CDP=90 °， ADP= CDE ， DPAB ， APD=90 &

21、#176;， APD= E=90 °，在ADP 和 CDE 中， ADP CDE （AAS ）， DE=DP ，四边形 ABCD 的面积 =四边形 DPBE 的面积 =18，矩形 DPBE 是正方形，DP=3故答案为： 3点评：本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形和正方形是解题的关键9四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O，设有下列条件： AB=AD； DAB=90 °； AO=CO ，BO=DO ； 矩形 ABCD ； 菱形 ABCD ， 正方形 ABCD ，则在下列推理不成立的是CA、 ? ；B、

22、? ；C、 ? ；D、 ? 考点：正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质专题：证明题分析：根据矩形、菱形、正方形的判定定理，对角线互相平分的四边形为平行四边形，再由邻边相等，得出是菱形，和一个角为直角得出是正方形，根据已知对各个选项进行分析从而得到最后的答案解答：解： A 、由 得，一组邻边相等的矩形是正方形，故正确；B、由 得，四边形是平行四边形，再由 ，一组邻边相等的平 行四边形是菱形，故正确；C、由 不能判断四边形是正方形；D、由 得，四边形是平行四边形，再由 ，一个角是直角的平行四边形是矩形，故正确故选 C点评：此题用到的知识点是：矩形、菱形、正

23、方形的判定定理，如：一组邻边相等的矩形是正方形；对角线互相平分且一组邻边相等的四边形是菱形；对角线互相平分且一个角是直角的四边形是矩形灵活掌 握这些判定定理是解本题的关键三解答题（共11 小题）10如图，已知点E、 F、G、 H 分别在正方形ABCD 的各边上，且AE=BF=CG=DH ， AF 、 BG 、CH 、 DE 分别相交于点 A 、B 、 C、 D求证：四边形A BCD是正方形;.考点：正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质专题：证明题分析：依据三角形的内角和定理可以判定四边形A BCD的三个角是直角，则四边形是矩形，然后证明一组邻边相等，可以证得四边形是正方形解答：证明：在正

24、方形ABCD 中，在 ABF 和 BCG 中， ABF BCG （SAS） BAF= GBC ， BAF+ AFB=90 °， GBC+ AFB=90 °， BB F=90°， A BC=90 °同理可得 B CD= CDA=90 °，四边形 A BCD是矩形在 AB B 和BCC 中， AB B BCC（ AAS ）， AB =BC 在 AA E 和BB F中， AA E BB F（ AAS ）， AA =BB A B=B C矩形 A BCD是正方形点评：本题考查了正方形的判定，判定的方法是证明是矩形同时是菱形;.11如图，在正方形 ABCD

25、 中，点 M 在边 AB 上，点 N 在边 AD 的延长线上，且 BM=DN 点 E 为 MN 的中点， DE 的延长线与 AC 相交于点 F试猜想线段 DF 与线段 AC 的关系，并证你的猜想考点：正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质专题：探究型分析：猜想： 线段 DF 垂直平分线段AC ，且 DF=AC ，过点 M 作 MG AD ，与 DF 的延长线相交于点 G，作 GH BC，垂足为 H，连接 AG 、 CG 根据正方形的性质和全等三角形的证明方法证明AMG CHG 即可解答：猜想：线段 DF 垂直平分线段AC ，且 DF=AC ，证明：过点 M 作 MG

26、AD ，与 DF 的延长线相交于点 G则 EMG= N， BMG= BAD ， MEG= NED ， ME=NE ， MEG NED ， MG=DN BM=DN ， MG=BM 作 GH BC，垂足为 H，连接 AG 、 CG四边形 ABCD 是正方形， AB=BC=CD=DA ， BAD= B= ADC=90 °， GMB= B= GHB=90 °，四边形 MBHG 是矩形 MG=MB ，四边形MBHG 是正方形， MG=GH=BH=MB ， AMG= CHG=90 °， AM=CH ， AMG CHG GA=GC 又 DA=DC ， DG 是线段 AC 的垂直

27、平分线 ADC=90 °， DA=DC ， DF= AC即线段 DF 垂直平分线段AC ，且 DF=AC ;.点评：本题综合考查了矩形的判定和性质、正方形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，全等三角形的性质和判定等知识点，此题综合性比较强，难度较大，但题型较好，训练了学生分析问题和解决问题以及敢于猜想的能力12如图，正方形ABCD 边长为 6菱形 EFGH 的三个顶点E、 G、H 分别在正方形ABCD 的边 AB 、CD、DA 上，且 AH=2 ，连接 CF（ 1）当 DG=2 时，求证：菱形 EFGH 为正方形；（ 2）设 DG=x ，试用含 x 的代数式表示 FCG 的面积考点

28、：正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质分析：（1）由于四边形ABCD 为正方形，四边形 HEFG 为菱形，那么 D= A=90 °，HG=HE ，而 AH=DG=2 ，易证 AHE DGH ，从而有 DHG= HEA ，等量代换可得 AHE+ DHG=90 °，易证四边形 HEFG 为正方形；（ 2）欲求 FCG 的面积，由已知得 CG 的长易求，只需求出 GC 边的高，通过证明 AHE MFG 可得解答：（1）证明：在 HDG 和 AEH 中，四边形 ABCD 是正方形，D= A=90 °，四边形 EFGH 是菱形， HG=HE ， DG=AH

29、=2 ， Rt HDG AEH ， DHG= AEH ， DHG+ AHE=90 ° GHE=90 °，菱形 EFGH 为正方形；（ 2）解：过F 作 FM CD ，垂足为M ，连接 GE CD AB ， AEG= MGE ， GF HE ， HEG= FGE， AEH= FGM ，在 Rt AHE 和 Rt GFM 中， Rt AHE Rt GFM ， MF=2 ， DG=x ，;. CG=6 x SFCG= CG?FM=6 x点评：本题考查了正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是作辅助线：过F作 FM DC，交 DC 延长线于M ，连接 GE，构

30、造全等三角形和内错角13如图，正方形ABCD ，动点 E 在 AC 上， AF AC ，垂足为 A ， AF=AE （ 1）求证： BF=DE ；（ 2）当点 E 运动到 AC 中点时（其他条件都保持不变） ，问四边形 AFBE 是什么特殊四边形？说明理由考点：正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质分析：（1）根据正方形的性质判定 ADE ABF 后即可得到BF=DE ；（ 2）利用正方形的判定方法判定四边形AFBE 为正方形即可解答：（1）证明：正方形ABCD ， AB=AD ， BAD=90 °， AFAC ， EAF=90 °， BAF= EAD ，在ADE 和

31、ABF 中 ADE ABF （ SAS）， BF=DE ；（ 2）解：当点 E 运动到 AC 的中点时四边形 AFBE 是正方形，理由：点 E 运动到 AC 的中点， AB=BC ， BE AC ， BE=AE=AC ， AF=AE ， BE=AF=AE ，又 BE AC ， FAE= BEC=90 °， BE AF ， BE=AF ，得平行四边形 AFBE ， FAE=90 °，AF=AE ，四边形 AFBE 是正方形;.点评：本题考查了正方形的判定和性质，解题的关键是正确的利用正方形的性质14已知，如图，矩形 ABCD 中， AD=6 ， DC=7 ，菱形 EFGH 的

32、三个顶点 E， G， H 分别在矩形 ABCD 的边 AB ，CD， DA 上， AH=2 ，连接 CF（ 1）若 DG=2 ，求证四边形 EFGH 为正方形；（ 2）若 DG=6 ，求 FCG 的面积；（ 3）当 DG 为何值时， FCG 的面积最小考点：正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质；矩形的性质专题：计算题；压轴题分析：（1）由于四边形ABCD 为矩形， 四边形 HEFG 为菱形，那么 D= A=90 °，HG=HE ，而 AH=DG=2 ，易证 AHE DGH ，从而有 DHG= HEA ，等量代换可得AHE+ DHG=90 °，易证四边形HE

33、FG 为正方形；（ 2）过 F 作 FM DC，交 DC 延长线于 M ，连接 GE，由于 AB CD，可得 AEG= MGE ，同理有 HEG= FGE，利用等式性质有 AEH= MGF ，再结合 A= M=90 °，HE=FG ，可证 AHE MFG ，从而有 FM=HA=2 （即无论菱形 EFGH 如何变化，点 F 到直线 CD 的距离始终为定值 2），进而可求三角形面积；（ 3）先设 DG=x ，由第（ 2）小题得， SFCG=7 x，在 AHE 中，AE AB=7 ，利用勾股定理可得HE253，在 Rt DHG中，再利用勾股定理可得2，从而可得当 x=时， GCF 的面积最

34、小x +1653，进而可求 x解答：解：（ 1）四边形 ABCD 为矩形，四边形 HEFG 为菱形， D= A=9 0°， HG=HE ，又 AH=DG=2 ， Rt AHE Rt DGH （HL ）， DHG= HEA ， AHE+ HEA=90 °， AHE+ DHG=90 °， EHG=90 °，四边形 HEFG 为正方形；（ 2）过 F 作 FM DC，交 DC 延长线于 M ，连接 GE，AB CD， AEG= MGE ， HE GF， HEG= FGE， AEH= MGF ，在 AHE 和 MFG 中， A= M=90 °， HE=

35、FG ， AHE MFG ， FM=HA=2 ，即无论菱形EFGH 如何变化，点F 到直线 CD 的距离始终为定值2，因此；;.（ 3）设 DG=x ，则由第（ 2）小题得， S FCG=7 x，在 AHE 中， AE AB=7 ， HE253， x2+1653， x， SFCG 的最小值为，此时 DG=，当 DG=时， FCG 的面积最小为（）点评：本题考查了矩形、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理解题的关键是作辅助线：过F 作 FM DC，交 DC 延长线于M ，连接 GE，构造全等三角形和内错角15如图，正方形ABCD 中， AC 是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点

36、B ，直角顶点P 在射线 AC上移动，另一边交DC于Q（ 1）如图 1，当点 Q 在 DC 边上时，猜想并写出PB 与 PQ 所满足的数量关系；并加以证明；（ 2）如图 2，当点 Q 落在 DC 的延长线上时，猜想并写出PB 与 PQ 满足的数量关系，请证明你的猜想考点：正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质分析：（1）过 P 作 PEBC ， PF CD ，证明 Rt PQF Rt PBE，即可；（ 2）证明思路同（1）解答：（1） PB=PQ，证明：过 P 作 PE BC ， PF CD ， P， C 为正方形对角线AC 上的点， PC 平分 DCB ， DCB=90 °，

37、PF=PE，四边形 PECF 为正方形， BPE+ QPE=90°， QPE+ QPF=90 °， BPE= QPF， Rt PQF RtPBE， PB=PQ ；（ 2） PB=PQ ，证明：过 P 作 PE BC ， PF CD ， P， C 为正方形对角线AC 上的点， PC 平分 DCB ， DCB=90 °， PF=PE，四边形 PECF 为正方形，;. BPF+ QPF=90°， BPF+ BPE=90 °， BPE= QPF， Rt PQF RtPBE， PB=PQ 点评：此题考查了正方形，角平分线的性质，以及全等三角形判定与性质此

38、题综合性较强，注意数形结合思想16如图，已知四边形 ABCD 是正方形，分别过 A 、 C 两点作 l1 l2，作 BM l1 于 M ， DN l 1 于 N ，直线 MB 、 ND 分别交 l2 于 Q、 P求证：四边形 PQMN 是正方形考点：正方形的判定与性质专题：证明题；压轴题分析：可由 Rt ABM Rt DAN ， AM=DN同理可得AN=NP ，所以 MN=PN ，进而可得其为正方形解答：证明： l1 l2， BM l 1， DN l2， QMN= P= N=90 °，四边形 PQMN 为矩形， AB=AD ， M= N=90 ° ADN+ NAD=90 &

39、#176;， NAD+ BAM=90 °， ADN= BAM ，又 AD=BA ， Rt ABM RtDAN （ AAS ）， AM=DN同理 AN=DP ， AM+AN=DN+DP ，即 MN=PN 四边形 PQMN 是正方形;.点评：本题考查了矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及正方形的判定，解题的关键是熟练掌握各种几何图形的性质和判定方法17在正方形 ABCD 各边上一次截取AE=BF=CG=DH ，连接 EF，FG，GH ，HE试问四边形EFGH 是否是正方形？考点：正方形的判定与性质分析：根据正方形的性质可得 AB=BC=CD=AD， A= B= C=D ，然后求出

40、 BE=CF=DG=AH ，再利用“边角边 ”证明 AHE 和 BEF 和 CFG 和 DGH 全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=FG=GH=EH ，全等三角形对应角相等可得 AHE= BEF= CFG= DGH ，再求出 EFG= FGH= GHE= FEH=90 °，从而得到四边形EFGH 是正方形解答：解：四边形 EFGH 是正方形理由如下：四边形ABCD 是正方形， AB=BC=CD=AD ， A= B= C= D ， AE=BF=CG=DH ， AB AE=BC BF=CD CG=AD DH ，即 BE=CF=DG=AH ， AHE BEF CFG DGH ， EF=FG=GH=EH ， AHE= BEF= CFG= DGH ， EFG= FGH= GHE= FEH=90 °，四边形 EFGH 是正方形点评：本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并求出被截取的四个小直角