椭圆及其标准方程(优秀获奖教案).

1、2.2.1 椭圆及其标准方程（ 1）教学目标 :重点 :椭圆的定义及椭圆标准方程, 用待定系数法和定义法求曲线方程.难点：椭圆标准方程的建立和推导知识点：椭圆定义及标准方程.能力点：通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力；通过对椭圆标准方程的推导，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法, 提高学生运用坐标法解决几何问题的能力懂得欣赏数学的“简洁美” ，并渗透数形结合和等价转化的数学思想方法.教育点：通过椭圆定义的归纳和标准方程的推导，培养学生发现规律、认识规律并利用规律解决实际问题的能力，培养学生探索数学的兴趣，激发学生的学习热情.自主探究点：1. 通过教学情境中具体的学习活动（

2、如动手实验、自主探究、合作交流等），引导学生发现并提出数学问题，并在作出合理推导的基础上，形成椭圆的定义；2. 探讨椭圆标准方程的最简形式，并通过对解决问题过程的反思，获得求曲线方程的一般方法.考试点：椭圆定义及标准方程，利用其解决有关的椭圆问题易错易混点：在用椭圆标准方程时，学生一般在“焦点的位置”上容易出错拓展点：如何利用坐标法探讨其它圆锥曲线的方程.教具准备多媒体课件和三角板课堂模式学案导学一、引入新课【创设情景】材料 1：对椭圆的感性认识. 通过演示课前准备的生活中有关椭圆的实物和图片，让学生从感性上认识椭圆.材料 2：2012 年 6 月 16 日下午 18 时，“神州九号”载人飞船

3、顺利升空，实现多人多天飞行，标志着我国航天事业又上了一个新台阶，请问：“神州九号”飞船的运行轨道是什么？多媒体展示“神州九号”运行轨道图片 【设计意图】利用多媒体，展示学生常见的椭圆形状的物品，让学生从感性上认识椭圆. 通过“神州九号”的轨道录像，让学生感受现实，激发学生的学习兴趣，培养爱国思想.思考 1: 自然界处处存在着椭圆, 我们如何用自己的双手画出椭圆呢?思考 2: 在圆的学习中我们知道, 平面内到一定点的距离为定长的点的轨迹是圆. 那么，到两定点距离之和等于常数的点的轨迹又是什么呢？【设计意图】 对于生活中、数学中的圆，学生已经有一定的认识和研究，但对椭圆，学生只停留在直观感受，基于

4、它俩的关系，引导学生用上一章所学，来研究椭圆学生分组做试验 , 教师同时做好指导 :按照课本上介绍的方法，学生用一块纸板；两个图钉，一根无弹性的细绳试画椭圆，让学生自己动手画，同桌相互切磋，探讨研究 .（提醒学生： 作图过程中注意观察椭圆的几何特征，即椭圆上的点要满足怎样的几何条件）思考 : 点 M 运动时， F1, F2 移动了吗？点M 按照什么条件运动形成的轨迹是椭圆？1. 在作图时，视笔尖为动点，两个图钉为定点，动点到两定点距离之和符合什么条件？其轨迹如何？2. 改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？3. 当绳长小于两图钉之间的距离时，还能画出图形吗？学生经过动手操

5、作独立思考小组讨论共同交流的探究过程，师生共同总结规律：当 | MF1 | + | MF2 | | F1F2 | 时,M 点的轨迹为椭圆；当 | MF1 | + | MF2 |= | F1F2 |时,M 点的轨迹为线段F1 F2 ；当 | MF1 | + | MF2 | 0) ，则 F1 (- c,0), F2 (c,0)设 M 与两定点 F1, F2 的距离的和等于 2a（ 2）写点的集合： 由椭圆的定义，椭圆就是集合PM |MF1 |MF2|2a（ 3）列式： | MF1 |+ | MF2 |= 2a(x + c)2 + y2+( x -c)2 +y 2 = 2a,（ 4）化简： 教师引导

6、学生思考 : 我们怎么化简两个带根式的式子？对于本式是直接平方好还是移项后再平方好呢？（通过分析对比，最后选择移项平方）(x + c)2 + y2= 2a -(x - c)2 +y2两边平方，得：( x + c)2 + y 2 = 4a2 -4a( x-c)2 +y2 + ( x - c) 2 + y 2即 a2 - cx = a ( x - c) 2 + y2两边平方，得：a4 -2a2cx + c2 x2 = a2 ( x - c)2 + a2 y2整理，得： (a2 -c2 ) x2 + a2 y2 = a2 (a2 - c2 )两边同除以 a2 ( a2 -c2 ) ，得x2y2c21

7、a2a2由椭圆的定义知，ac所以 a2c20y注 : 教师板书化简过程, 让学生进一步明确标准方程的由来,体会化简的技巧 .P思考 1: 请同学观察右图，你能从中找出表示a, c,a2c2的线段吗？Oxa2c2 ,F1F2由图可知， PF1PF2a, OF1OF2c, PO令 bPO 即 a2- c2 = b2 (b 0) ，则方程可简化为：b2 x 2a 2 y 2a 2b 2整理成： x2y 21(ab 0)a 2b2【设计意图】通过思考可以让学生进一步明确a, b, c 的几何意义，加深对椭圆定义及标准方程的理解.( 5) 证明： 从上述过程可以看到，椭圆上任意一点的坐标都满足方程，以方

8、程的解( x, y) 为坐标的点到椭圆的两个焦点F1 ( c,0), F2 (c,0) 的距离之和为2a ，即以方程的解为坐标的点都在椭圆上，由曲线与方程的关系知，方程是椭圆的方程，我们把它叫做椭圆的标准方程 .方程 x 2y 21( ab 0) 叫做 椭圆的标准方程 ，焦点在 x 轴上，焦点是 F1 ( c,0), F2 (c,0), c2a2b2a 2b2y思考 2：如果以 F1 ,F2y 轴，线段 F1 F2 的垂直平分线为 x 轴，所在直线为建立直角坐标系，焦点是F1 (0,c), F2 (0, c) ，椭圆的方程又如何呢？F2如果不想重复上述繁琐的化简过程，我们将如何做呢？分析 :

9、由 | MF | + | MF |= 2a( x+ c)2 + y2 +( x- c)2 + y2 = 2a,Ox且M12F1变为 :x2 + ( y +c) 2 + x2 + ( y -c)2 = 2a, 即变量 x 与 y 互换位置 ; 所以x 2y 21(a b0) 变为 y2x21(ab 0)a 2b 2a2b2即：椭圆的标准方程焦点在 x 轴：焦点在 y 轴：x 2y 21 (a b 0)y 2x 21 (a b 0)22a 2b2ab焦点是 F(c,0), F (c,0)焦点是 F1 (0,c), F2 (0, c)12注：椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定。【设计意图】 椭

10、圆的标准方程的导出，先放手给学生尝试，教师跟踪指导再展示学生结果；教师对照图形，加以引导，让学生明白方程中字母的几何意义，对方程的理解有很大的作用；利用类比对称，化归的思想得出焦点在 y 轴上的标准方程，避免重复的繁杂计算三、理解新知1. 椭圆的标准方程：（ 1） x2y 21( ab0)焦点在 x 轴上，焦点是 F1 ( c,0), F2 (c,0),c2a2b2a2b2（ 2） y2x 21(ab0)焦点在 y 轴上，焦点是 F (0,c), F (0, c),c2a2b2a2b2122. 归纳概括，椭圆方程特征（ 1）椭圆标准方程形式：左边是两个分式的平方和，右边是1;（ 2） a b

11、0 不可少 , 体会 a,b, c 的几何意义 ;（ 3）椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定;（ ）椭圆标准方程中三个参数a,b, c 关系：a22c24b， a 最大， b、 c 大小不定 .【设计意图】通过将两个标准方程的总结加深学生对椭圆标准方程的理解掌握，特别是焦点位置，三个参数的关系，为求解椭圆的相关问题打下基础.四、运用新知题型一 : 求椭圆标准方程例 1.已知椭圆的两个两焦点坐标分别是(2,0),(2,0)，并且椭圆经过点( 5 ,3) ，求它的标准方程22分析 : 要求椭圆的标准方程, 关键先确定参数a, b, c , 本题已知 c2 , 结合 b2a2c2 及标准方程x

12、 2y 21(ab0), 进一步确定a, b .a 2b 2教师板书例题求解过程:法 1: 因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为x 2y21(ab0)a 2b2由椭圆定义知： 2a(5 2)2( 3)2(52)2(3) 22102222所以： a10又因为 c2,所以 b2a2c21046因此，所求椭圆的标准方程为x2y21106思考与探究 : 是否还有其他方法解决此类型问题法 2: 因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为x2y 21(a b0)2b 2a( 5 ,3) 且 b2(5)2(3 )2因为椭圆经过点a2c2a24所以：2a224122a2所以解方程得： a210,

13、b26因此，所求椭圆的标准方程为x2y21106注 : 本题多以方法二为主, 如 : 已知椭圆 x2y 21(ab0) 的左、右焦点分别为F1 、 F2 , 椭圆上一点a 2b2( 3,3) 到两焦点 F1 、 F2 的距离的和等于4 , 求椭圆的标准方程及焦点坐标. 本题再用方法一解决显着比2较麻烦了 .方法小结 : 求椭圆标准方程的步骤（ 1）“定位”即确定椭圆的焦点在哪条坐标轴上;（ 2）“定量”即确定 a2 , b2 的具体数值 ;（ 3）求椭圆标准方程的常用方法：待定系数法及定义法.变式训练1: 已知椭圆经过两点(2,2),(1,14 ) , 求椭圆的标准方程 .2分析 : 通过条件

14、看不出焦点的位置, 因此在解决问题前应先考虑焦点位置的两种情况, 然后带入两点的坐标求参数 a, b 即可 .方法 1: ( 1) 若焦点在 x 轴上 , 设椭圆的标准方程为x 2y21(a b0) , 由已知条件可得a 2b 242111x2y2a2b2,解得a28 , 即所求椭圆的标准方程为1;11411184a24b2b24( 2) 若焦点在 y 轴上, 设椭圆的标准方程为y2x21(ab0) , 由已知条件可得a2b242111b2a2a24 , 即 a24,b28 , 且 a2b2,解得48 , 与题设矛盾 , 舍去114111b24a2b28综上 , 所求椭圆的标准方程为x2y21

15、.841111方法 2: 分析 : 结合方法 1的两种情况 , 影响最后结果的只是a2 ,b2 ,所以我们可以设a2m,b2n , 求出来具体值后在比较大小,进一步确定表达式, 这样可以减少讨论的复杂性 .设椭圆的一般方程为mx2ny21(m0,n0,mn) . 将两点 (2,2),( 1,14)带入,得24m2n1m1x2y281.m14n, 解得即所求椭圆的标准方程为8441n14小结 : 在对椭圆定义充分理解的基础上, 显然方法 2 解决问题要比方法1要简单 .【设计意图】 培养学生发散思维的能力及良好的解题习惯,同一个题目有不同的解法,我们可以从中选择简捷、自然的的解题思路本题突出椭圆

16、定义的应用和待定系数法的解题方法.题型二 : 椭圆标准方程的识别例 2当3k9 时, 指出方程x2y 21 表示的曲线 .kk39分析 : 要想确定x2y21 表示的曲线 , 首先应确定9 k , k3的取值范围 .k9k 3教师板书例题求解过程:由 3k9, 则 9k0, k30 .（1）当 9kk3, 即 3k6时 , 方程表示焦点在x 轴上的椭圆 ;（2）当 9kk3, 即 k6时 , 方程表示圆 x2y23 ;（3）当 9kk3,即6k9 时 , 方程表示焦点在y 轴上的椭圆 .方法小结 : 根据椭圆方程的两种基本形式可知, 焦点在哪一个轴上 , 那一个变量就对应的分母大, 即 : x

17、2 对应的分母大 , 焦点就在 x 轴上 ;y2 对应的分母大 , 焦点就在 y 轴上 . 当两变量的分母相同时就变成圆了 .x2y 21 , 则“ 4 k 5 ”是“曲线 C 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的变式训练 2: 已知曲线 C :k53k什么条件 ?分析 : 将曲线 C 的方程化为 :x2y25 k 0 , 即5kk1, 若曲线 C 是焦点在 y 轴的椭圆 , 则 k 334 k5;故“ 4k5 ”是“曲线 C 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的必要不充分条件 .注 : 在解决此类问题前应将x2y21 先化成标准式 .k53k【设计意图】通过此类型问题进一步加深学生对椭圆定义及标准方程的

18、理解, 强调椭圆焦点位置的决定因素 , 对于含参问题一直是学生的难点, 通过此题可以让学生进一步体会参数问题的解决方法.题型三 : 椭圆定义及其应用例 3: 已知 p 为椭圆 x2y21上一点 ,F1 、 F2 为椭圆的两焦点 ,F1PF2 60 , 求F1 PF2 的面积 .123分析 : 本题解决关于椭圆和三角形问题, 通常利用椭圆的定义 ,结合正余弦定理等知识求解 .教师板书例题求解过程:设|PF1|m,| PF2|n,由 a212,b23 , 所以 a23, b3 ,则 mn2a43,又由F1 PF260 , 则|F1F2|2m2n22mncos60所以 ,36(mn)24mn , 即

19、 mn4. 则 S F1PF21 mn sin 6032变式训练 3: 已知椭圆 x2y21(ab0) , F1 、 F2 为椭圆的两焦点 , 过 F1 的直线 AB 与椭圆交于 A, Ba2b2y两点 , 求ABF2 的周长 .A分析:因为|AF1| |AF2|2a,| BF1 | | BF2| 2aF1xO则ABF2的周长为 | AF1| AF2 | BF1 | | BF2 | 2a 2a 4aF2B即ABF2的周长为 4a .思考 : 当直线 AB 过焦点 F1 时 , 随着 A, B 位置的该变 , 是否ABF2 的周长也在跟着改变呢 ?分析 : 由椭圆的定义可得ABF2的周长是个定值

20、 , 即为 4a.【设计意图】 通过题型三 , 一是加强学生对椭圆定义和标准方程的理解, 二是加强了椭圆与三角函数的联系.并且通过思考进一步明确三角形一边过焦点时周长为定值的情况.五、课堂小结1知识：本节课学习了椭圆的定义及标准方程, 应注意以下几点 :( 1)椭圆的定义中 a, b, c 皆为正值 , a2b2c2 , 其中 2c 是椭圆焦距；( 2)要注意特征量 a, b, c 的几何意义 , 它们确定椭圆的形状 .( 3)焦点的位置由椭圆的标准方程中x2 , y2的分母大小或焦点坐标来决定; 求椭圆的标准方程之前应先判断焦点位置以便确定代入哪个方程解题.2思想：曲线与方程的轨迹思想，方程

21、的思想、分类讨论的思想、待定系数法在归纳总结的基础上，学生完成下表标准方程x 2y21(ab 0)y 2x 21 (ab0)a 2b 2a 2b2yy图形MF2F1F2xOMOxF1a, b,c 关系b 2a 2c 2b2a 2c 2焦点坐标(c,0)(0, c)焦点位置在 x 轴上在 y 轴上【设计意图】通过椭圆的教学，加强对学生学习方法的指导，让学生进一步巩固所学知识, 与前面的学习目标呼应 , 同时应加强对学生在数学知识与思想方法的指导.六、布置作业必做题 :1. 写出适合下列条件的椭圆标准方程（ 1） a 4, b 1，焦点在 x 轴上；2 a 4, c15 ,焦点在 y 轴上，；（ ）（ 3） ac10, ac4x2y 21表示焦点在 x 轴上的椭圆，求k 的范围 .2. 若方程a 6a23. 已知椭圆 C 与椭圆 x237y237 的焦点 F1 、 F2相同, 且椭圆 C 过点 (5 7, 6).2( 1) 求椭圆 C 的标准方程 .(2)若P C,F1PF260 ,求F1PF2 的面积 .选做题：1. 已知 B ， C 是两个定点，BC6,且 ABC 周长为16，求顶点 A 的轨迹方程 .2.