概率经典例题和解析、近年高考题50道带的答案解析

1、 .wd.【经典例题经典例题】【例 1】 2012 湖北湖北如图，在圆心角为直角的扇形 OAB 中，分别以 OA，OB 为直径作两个半圆在扇形 OAB 内随机取一点，那么此点取自阴影局部的概率是A1-B-C D 2 12 1 2 1 【答案】A【解析】令 OA=1，扇形 OAB 为对称图形，ACBD 围成面积为 S1，围成 OC 为 S2，作对称轴 OD，那么过 C 点S2即为以OA 为直径的半圆面积减去三角形 OAC 的面积，S2=()2-=在扇形 OAD 中为扇 2 12 12 12 12 - 28 S12 形面积减去三角形 OAC 面积和，=12-=，S1+S2=，扇形 OAB 面积 S

2、22 S12 18 18 S22 - 216 - 24 S=，选 A 4 【例 2】 2013 湖北湖北如下图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为 125 个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为 X，那么 X 的均值 E(X)()A. B. C. D.1261256516812575【答案】B【解析】X 的取值为 0，1，2，3 且 P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，故 E(X)02712554125361258125123 ，选 B.271255412536125812565【例 3】 2012 四川四川节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串

3、彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的 4 秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以 4 秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒的概率是()A. B. C. D. 14123478【答案】C【解析】设第一串彩灯在通电后第 x 秒闪亮，第二串彩灯在通电后第 y 秒闪亮，由题意满足条件0 x 4，0 y 4，)的关系式为2xy2.根据几何概型可知，事件全体的测度(面积)为 16 平方单位，而满足条件的事件测度(阴影局部面积)为 12 平方单位，故概率为 .121634【例 4】 2009 江苏江苏现有 5 根竹竿，它们的长度单位：m分别为 2.5

4、，2.6，2.7，2.8，2.9，假设从中一次随机抽取 2 根竹竿，那么它们的长度恰好相差 0.3m 的概率为. 【答案】0.2【解析】从 5 根竹竿中一次随机抽取 2 根的可能的事件总数为 10，它们的长度恰好相差 0.3m 的事件数为 2，分别是：2.5 和 2.8，2.6 和 2.9，所求概率为 0.2【例 5】 2013 江苏江苏现有某类病毒记作 XmYn，其中正整数 m，n(m7，n9)可以任意选取，那么 m，n 都取到奇数的概率为_ .wd.【答案】2063【解析】根本领件共有 7963 种，m 可以取 1，3，5，7，n 可以取 1，3，5，7，9.所以 m，n 都取到奇数共有

5、20种，故所求概率为.2063【例 6】 2013 山东山东在区间3，3上随机取一个数 x，使得|x1|x2|1 成立的概率为_【答案】13【解析】当 x2 时，不等式化为 x1x21，此时恒成立，|x1|x2|1 的解集为.在1，)上使不等式有解的区间为，由几何概型的概率公式得 P .3，31，3313313【例 7】 2013 北京北京下列图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于 100 表示空气质量优良，空气质量指数大于 200 表示空气重度污染某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 13 日中的某一天到达该市，并停留 2 天1求此人到达当日空气重度污染

6、的概率；2设 X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求 X 的分布列与数学期望；3由图判断从哪天开场连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)【答案】 ；3 月 5 日2131213【解析】设 Ai 表示事件“此人于 3 月 i 日到达该市(i1，2，13)根据题意，P(Ai)，且 AiAj(ij)1131设 B 为事件“此人到达当日空气重度污染，那么 BA5A8.所以 P(B)P(A5A8)P(A5)P(A8).2132由题意可知，X 的所有可能取值为 0，1，2，且P(X1)P(A3A6A7A11)P(A3)P(A6)P(A7)P(A11)，413P(X2)P(A1A2A12A13

7、)P(A1)P(A2)P(A12)P(A13)，413P(X0)1P(X1)P(X2).513所以 X 的分布列为X012P513413413故 X 的期望 E(X)012.51341341312133从 3 月 5 日开场连续三天的空气质量指数方差最大【例 8】 2013 福建福建某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为 ，中奖可23 .wd.以获得 2 分；方案乙的中奖率为 ，中奖可以获得 3 分；未中奖那么不得分每人有且只有一次抽奖时机，每次抽25奖中奖与否互不影响，晚会完毕后凭分数兑换奖品1假设小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为

8、X，求 X3 的概率；2假设小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进展抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？【答案】 ；方案甲1115【解析】方法一：1由得，小明中奖的概率为 ，小红中奖的概率为 ，且两人中奖与否互不影响记“这 2 人的2325累计得分 X3的事件为 A，那么事件 A 的对立事件为“X5，因为P(X5) ，所以 P(A)1P(X5)，23254151115即这两人的累计得分 X3 的概率为.11152设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为 X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为 X2，那么这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为 E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得

9、分的数学期望为 E(3X2)由可得，X1B，X2B，(2，23)(2，25)所以 E(X1)2 ，E(X2)2 ，23432545从而 E(2X1)2E(X1) ，E(3X2)3E(X2).83125因为 E(2X1)E(3X2)，所以他们都选择方案甲进展抽奖时，累计得分的数学期望较大方法二：1由得，小明中奖的概率为 ，小红中奖的概率为 ，且两人中奖与否互不影响2325记“这两人的累计得分 X3的事件为 A，那么事件 A 包含有“X0“X2“X3三个两两互斥的事件，因为 P(X0) ，P(X2) ，P(X3) ，(123) (125)1523(125)25(123)25215所以 P(A)P(

10、X0)P(X2)P(X3)，1115即这两人的累计得分 X3 的概率为.11152设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为 X1，都选择方案乙所获得的累计得分为 X2，那么 X1，X2 的分布列如下：X1024P194949所以 E(X1)0 2 4 ，19494983X2036P9251225425 .wd.E(X2)036.9251225425125因为 E(X1)E(X2)，所以他们都选择方案甲进展抽奖时，累计得分的数学期望较大【例 9】 2013 浙江浙江设袋子中装有 a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得 1 分，取出一个黄球得 2 分，取出一个蓝球得 3 分1

11、当 a3，b2，c1 时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的时机均等)2 个球，记随机变量 为取出此2 球所得分数之和，求 的分布列；2从该袋子中任取(每球取到的时机均等)1 个球，记随机变量 为取出此球所得分数假设 E ，D ，求5359abc.【答案】321【解析】 1由题意得，2，3，4，5，6.P(2) ，3 36 614P(3) ，2 3 26 613P(4).2 3 12 26 6518P(5) ，2 2 16 619P(6)，1 16 6136所以 的分布列为23456P1413518191362由题意知 的分布列为123Paabcbabccabc所以 E ，aabc2babc

12、3cabc53D1 22 23 2 ，53aabc53babc53cabc59化简得解得 a3c，b2c，2ab4c0，a4b11c0，)故 abc321.【例 10】 2009 北京理北京理某学生在上学路上要经过 4 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是 2min.1求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；2求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望. .wd.【答案】；42738【解析】此题主要考察随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考察离散型随机变量的分布列和期望等根底知识，考察运用概率与统计知

13、识解决实际问题的能力.1设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A，因为事件 A 等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯，所以事件 A 的概率为 11141133327P A .2由题意，可得可能取的值为 0，2，4，6，8单位：min.事件“2k等价于事件“该学生在路上遇到k次红灯k 0，1，2，3，4 ，441220,1,2,3,433kkkPkCk ，即的分布列是02468P16813281827881181的期望是163288180246881812781813E .【课堂练习课堂练习】1.2013 广东广东离散型随机变量 X 的分布列为X

14、123P35310110那么 X 的数学期望 E(X)()A. B2 C. D332522.2013 陕西陕西如图，在矩形区域 ABCD 的 A，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域 ADE 和扇形区域 CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)假设在该矩形区域内随机地选一地点，那么该地点无信号的概率是()A1 B 1 B2 D42243在棱长分别为 1，2，3 的长方体上随机选取两个相异顶点，假设每个顶点被选的概率一样，那么选到两个顶点的距离大于 3 的概率为()A B C D473727314 .wd.4 2009 安徽理安徽理考察正方体 6 个面的中心，

15、甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线，乙也从这 6 个点中任意选两个点连成直线，那么所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于 A175B275 C375 D4755.2009 江西理江西理为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精巧卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购置该种食品5袋，能获奖的概率为A3181B3381C4881D5081 . 6.2009 辽宁文辽宁文ABCD 为长方形，AB2，BC1，O 为 AB 的中点，在长方形 ABCD 内随机取一点，取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为A4B14C8D187.2009 上海理上海理假设事件E与F相互独立，且

16、 14P EP F，那么P EFI的值等于A0B116C14D128 2013 广州广州在区间1，5和2，4上分别取一个数，记为 a，b，那么方程1 表示焦点在 x 轴上且离心率x2a2y2b2小于的椭圆的概率为()32A BC D121532173231329数列an满足 anan1n1(n2，nN)，一颗质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，将这颗骰子连续抛掷三次，得到的点数分别记为 a，b，c，那么满足集合a，b，ca1，a2，a3(1ai6，i1，2，3)的概率是()ABC D17213612411210.2009 湖北文湖北文甲、乙、丙三人将参加某项测试

17、，他们能达标的概率分别是 0.8、0.6、0.5，那么三人都达标的概率是，三人中至少有一人达标的概率是。11.2013 新课标全国新课标全国从 n 个正整数 1，2，3，n 中任意取出两个不同的数，假设取出的两数之和等于 5 的概率为，那么 n_11412.2013 福建福建利用计算机产生 01 之间的均匀随机数 a，那么事件“3a10发生的概率为_13.2013 辽宁辽宁为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取 5 个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据样本平均数为 7，样本方差为 4，且样本数据互不一样，那么样本数据中的最大值为_14在长为 10 cm 的线段 AB

18、上任取一点 C，并以线段 AC 为边作正方形，这个正方形的面积介于 25 cm2与 49 cm2之间的概率为_15.2013 全国全国甲、乙、丙三人进展羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛完毕时，负的一方在下一局当裁判设各局中双方获胜的概率均为 ，各局比赛的结果相互独立，第 1 局甲当裁判121求第 4 局甲当裁判的概率；.2X 表示前 4 局中乙当裁判的次数，求 X 的数学期望16.2013 辽宁辽宁现有 10 道题，其中 6 道甲类题，4 道乙类题，张同学从中任取 3 道题解答1求张同学至少取到 1 道乙类题的概率；ABCDEF .wd.2所取的 3 道题中有 2 道甲类题，

19、1 道乙类题设张同学答对每道甲类题的概率都是 ，答对每道乙类题的概率35都是 ，且各题答对与否相互独立用 X 表示张同学答对题的个数，求 X 的分布列和数学期望4517.2013 江西江西小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队游戏规那么为：以 O 为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如图 15)这 8 个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为 X.假设 X0 就参加学校合唱团，否那么就参加学校排球队1求小波参加学校合唱团的概率；2求 X 的分布列和数学期望图 1518.2013 天津天津一个盒子里装有 7 张卡片，其中有红色卡片 4 张

20、，编号分别为 1，2，3，4；白色卡片 3 张，编号分别为 2，3，4.从盒子中任取 4 张卡片假设取到任何一张卡片的可能性一样 1求取出的 4 张卡片中，含有编号为 3 的卡片的概率；2在取出的 4 张卡片中，红色卡片编号的最大值设为 X，求随机变量 X 的分布列和数学期望19.2013 重庆重庆某商场举行的“三色球购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有 3 个红球与 4 个白球的袋中任意摸出 3 个球，再从装有 1 个蓝球与 2 个白球的袋中任意摸出 1 个球根据摸出 4 个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下表，其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级奖级摸出红、蓝球个数

21、获奖金额一等奖3 红 1 蓝200 元二等奖3 红 0 蓝50 元三等奖2 红 1 蓝10 元1求一次摸奖恰好摸到 1 个红球的概率；2求摸奖者在一次摸奖中获奖金额 X 的分布列与期望 E(X)20.2013 安徽安徽某高校数学系方案在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李教师和张教师负责该系共有 n 位学生，每次活动均需该系 k 位学生参加(n 和 k 都是固定的正整数)假设李教师和张教师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系 k 位学生，且所发信息都能收到记该系收到李教师或张教师所发活动通知信息的学生人数为 X.1求该系学生甲收到李教师或张教师所发活动通知信息的概率；2

22、求使 P(Xm)取得最大值的整数 m. 【课后作业课后作业】1.2009 江西文江西文甲、乙、丙、丁4个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这4个队分成两个组每组两个队进展比赛，胜者再赛，那么甲、乙相遇的概率为A16 B14 C13 D122.2009 广东文广东文广州 2010 年亚运会火炬传递在 A、B、C、D、E 五个城市之间进展，各城市之间的路线距离单位：百公里见下表.假设以 A 为起点，E 为终点，每个城市经过且只经过一次，那么火炬传递的最短路线距离是A B21 C22 D23 20.63 2009 安徽文安徽文考察正方体 6 个面的中心，从中任意选 3 个点连成

23、三角形，再把剩下的 3 个点也连成三角形，那么所得的两个三角形全等的概率等于A1 B C D 0 . ABCDEF .wd.4在长为 3m 的线段上任取一点, 那么点与线段两端点、的距离都大于 1m 的概率是ABPPABA B. C D141312235在棱长为 2 的正方体中，点为底面的中心，在正方体内随机取1111ABCDABC DOABCD1111ABCDABC D一点，那么点到点的距离大于 1 的概率为PPOA B C D121126166甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击工程选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：从这四个人中选择一人参加奥运会射击工程比赛，最正确人选是 A甲 B乙 C

24、丙 D丁7.2008 山东山东在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为 1，2，3，18 的 18 名火炬手.假设从中任选 3 人，那么选出的火炬手的编号能组成 3 为公差的等差数列的概率为ABCD511681306140818.2008 江西江西电子钟一天显示的时间是从 00:00 到 23:59 的每一时刻都由四个数字组成，那么一天中任一时刻的四个数字之和为 23 的概率为AB C D11801288136014809.2009 山东理山东理在区间-1，1上随机取一个数 x，cos2x的值介于 0 到21之间的概率为( ).A31B2 C21 D3210.2010 湖北理湖北理投掷一枚均匀硬币

25、和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上为事件 A,“骰子向上的点数是 3为事件 B,那么事件 A，B 中至少有一件发生的概率是A B C D 512127123411.2009 安徽安徽从长度分别为 2、3、4、5 的四条线段中任意取出三条，那么以这三条线段为边可以构成三角形的概率是_12如图，两点之间有 4 条网线连接，每条网线能通过的最大信息量分别为,A B1，2，3，4.从中任取两条网线，那么这两条网线通过的最大信息量之和为 5 的概率是13、 2009 广东广东某单位 200 名职工的年龄分布情况如图 2，现要从中抽取 40 名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按 1200 编号

26、，并按编号顺序平均分为 40 组15 号，610 号，196200号.假设第 5 组抽出的号码为 22，那么第 8 组抽出的号码应是，假设用分层抽样方法，那么 40 岁以下年龄段应抽取人. 14某校高三级要从3名男生和2名女生中任选3名代表参加学校的演讲比赛.cba、ed、甲乙丙丁平均环数x8.68.98.98.2方差2s3.53.52.15.6AB1234图图 3AB1234图图 3 .wd.1求男生被选中的概率；a2求男生和女生至少有一人被选中的概率. ad15.2013 湖南湖南某人在如下图的直角边长为 4 米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的穿插点以及三角形的顶点)处都种了一株一样

27、品种的作物，根据历年的种植经历，一株该种作物的年收获量 Y单位：kg与它的“相近作物株数 X 之间的关系如下表所示：这里，两株作物“相近是指它们之间的直线距离不超过 1 米.1从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近的概率；2从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望16某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进展调查瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力.某班学生共有40人，下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果例如表中听觉记忆能力为中等，且视觉记忆能力偏高的学生为3人视觉记忆能力 视觉 偏低中等偏高超常偏低0751中等183b偏高2a01听觉记忆能力超常02

28、11由于局部数据丧失，只知道从这 40 位学生中随机抽取一个，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的概率为251试确定、的值；ab2从 40 人中任意抽取 1 人，求此人听觉记忆能力恰为中等，且视觉记忆能力为中等或中等以上的概率17.2013 新课标全国卷新课标全国卷一批产品需要进展质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取 4 件作检验，这 4 件产品中优质品的件数记为 n.如果 n3，再从这批产品中任取 4 件作检验，假设都为优质品，那么这批产品通过检验；如果 n4.再从这批产品中任取 1 件作检验；假设为优质品，那么这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验假设这

29、批产品的优质品率为 50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为 ，且各件产品是否为优12质品相互独立1求这批产品通过检验的概率；2每件产品的检验费用为 100 元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为 X(单位：元)，求 X 的分布列及数学期望18.2013 山东山东甲、乙两支排球队进展比赛，约定先胜 3 局者获得比赛的胜利，比赛随即完毕除第五局甲队获胜的概率是 外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是 .假设各局比赛结果相互独立12231分别求甲队以 30，31，32 胜利的概率；2假设比赛结果为 30 或 31，那么胜利方得 3 分、对方得 0 分；假设比赛结果为 32

30、，那么胜利方得 2 分、对方得 1 分求乙队得分 X 的分布列及数学期望19.2013 陕西陕西在一场娱乐晚会上，有 5 位民间歌手(1 至 5 号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢送歌手各位观众须彼此独立地在选票上选 3 名歌手，其中观众甲是 1 号歌手的歌迷，他必选 1 号，不选 2 号，另在 3至 5 号中随机选 2 名观众乙和丙对 5 位歌手的演唱没有偏爱，因此在 1 至 5 号中随机选 3 名歌手1求观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率；2X 表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求 X 的分布列及数学期望20.2013 新课标全国卷新课标全国卷经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出 1 t 该产品获利润 500 元，未售出的产品，每 1 t 亏损 300 元根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图 14 所示，经销X1234Y51484542听觉 .wd.商为下一个销售季度购进了 130 t 该农产