专题05图形运动中的函数关系问题(解析版)

1、中考 2020专题五图形运动中的函数关系问题【考题研究】在图形运动的问题中，随着图形的运动，图形中的线段长度、面积大小都在变化，从而找出这些变化的规律就是近年来中考出现的大量图形运动问题的题目.解图形运动问题关系的关键是用含自变量X的代数式表示出有关的量，如与 X有关的线段长，面积的大小等.这类题考查学生数形结合、化归、分类讨论、 方程等数学思想.【解题攻略】图形运动的过程中，求两条线段之间的函数关系，是中考数学的热点问题.产生两条线段间的函数关系，常见的情况有两种，一是勾股定理，二是比例关系.还有一种不常见的， 就是线段全长等于部分线段之和.由勾股定理产生的函数关系，在两种类型的题目中比较常

2、用.类型一，已知“边角边”，至少一边是动态的，求角的对边.如图 1,已知点A的坐标为（3, 4），点B 是x轴正半轴上的一个动点，设 OB= x, AB= y,那么我们在直角三角形 ABH中用勾股定理，就可以得到 y 关于x的函数关系式.类型二，图形的翻折.已知矩形OABCE坐标平面内如图 2所示，AB= 5,点O沿直线EF翻折后，点 O的对应点D落在AB边上，设AD= x, OE= y,那么在直角三角形 AE计用勾股定理就可以得到 y关于x的函 数关系式.由比例线段产生的函数关系问题，在两种类型的题目中比较常用.一是由平行线产生的对于线段成比例，二是相似三角形的对应边成比例.一般步骤是先说理

3、产生比例关系，再代入数值或表示数的字母，最后整理、变形，根据要求写出定义 域.关键是寻找比例关系，难点是有的整理、变形比较繁琐，容易出错.【典例指引1】如图，在 ABC中,M不与A,B重合），且MQ BC ,（1）试说明不论x为何值时，总有QBM s ABC;【解题类型及其思路】图形运动的过程中，求面积随某个量变化的函数关系，是中考数学的热点问题.计算面积常见的有四种方法，一是规则图形的面积用面积公式；二是不规则图形的面积通过割补进行 计算；三是同高（或同底）三角形的面积比等于对应边（或高）的比；四是相似三角形的面积比等于相似 比的平方.前两种方法容易想到，但是灵活使用第三种和第四种方法，可以

4、使得运算简单.一般情况下，在求出面积 S关于自变量x的函数关系后，会提出在什么情况下（ x为何值时），S取得 最大值或最小值.【典例指引】类型一【确定图形运动中的线段的函数关系式及其最值A 90°, AB 3, AC 4,点M,Q分别是边AB,BC上的动点（点过点M作BC的平行线MN ,交AC于点N ,连接NQ ,设BQ为BMNQ的面积最大，并求出最大值.【答案】（1）见解析；（2）当BQ MN时，四边形BMNQ为平行四边形；（3）当45x 一时，四边形BMNQ8（2）是否存在一点 Q,使得四边形BMNQ为平行四边形，试说明理由;（3）当x为何值时，四边形，一，75 的面积取大，取大

5、值为 2【分析】（1）根据题意得到ZMQB = Z CAB,根据相似三角形的判定定理证明;（2）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形解答；(3)根据勾股定理求出 BC,根据相似三角形的性质用x表示出QM、BM,根据梯形面积公式列出二次函数解析式，根据二次函数性质计算即可.【详解】解：(1) . MQ BC ,MQB 90 ,MQB CAB ,又 QBM ABC ,Q QBM s abc；(2)当BQ MN时，四边形BMNQ为平行四边形,MN / /BQ , BQ MN ,四边形BMNQ为平行四边形；(3) A 90AB 3, AC 4,bc Jab2 AC2 5,QBM s ABC,QB Q

6、MBMx QM一 ,即-AB ACBC34.一45解得，QM-x, BM -x,33 MN/BC,BMMNBCAMAB即MN5解得，MN 525一x , 9则四边形BMNQ的面积 12L2545xxx9323245x 一27875245 ,一时，四边形8BMNQ的面积最大，最大值为752本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定、二次函数的性质，掌握相似三角形的判定定理、二次函数的性质是解题的关键.【举一反三】如图1,在矩形ABCD中，AB 8, AD 10, E是CD边上一点，连接 AE ,将矩形 ABCD沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，延长AE交BC的延长线于点 G.(

7、1)求线段CE的长;(2)如图2, m , N分别是线段AG, DG上的动点(与端点不重合)，且 DMNDAM，设 AM x ,DN y .写出y关于x的函数解析式，并求出 y的最小值;是否存在这样的点 M ,使VDMN是等腰三角形？若存在，请求出 x的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)CE 3;(2)当x 4J5时，y有最小值，最小彳1 2;存在.满足条件的X的值为8J5 10或11A2【解析】【分析】1由翻折可知:AD AF 10.DE EF ,设 EC x ,则 DE EF 8 x.在 RtVECF 中，利用勾股定理构建方程即可解决问题.AD AM2证明VADM sVGMN ,可得

8、，由此即可解决问题.MG GN有两种情形：如图3 1中，当MN MD时.如图3 2中，当MN DN时，作MH DG于H.分别求解即可解决问题.【详解】解：(1)如图1中,四边形ABCD是矩形,AD BC 10, AB CD 8,B BCD 90 ,由翻折可知： AD AF 10. DE EF ,设 EC x,则 DE EF 8 x.在 RtVABF 中，bf Jaf 2 ab2 6，. CF BC BF 10 6 4,在 RtVEFC 中，则有：8 x 2 x2 42,x 3,EC 3.(2)如图2中，图2 AD / CG ,AD DE 一 一， CG CE1051 -CG 3 '.

9、CG 6,BG BC CG 16,在 RtVABG 中，ag 48 162 875，在 RtVDCG 中，dG ,62 8210，2 AD DG 10,DAG AGD ,3 DMG DMN NMG DAM ADM , DMN DAM ,ADM NMG, VADMsVGMN ,AD AM一,MG GN10 x,8.5 x 10 y1 24.5 sy x x 10 .105当x 4J5时，y有最小值，最小值 2 .存在.有两种情形：如图 3-1中，当MN MD时, MDN GMD , DMN DGM , .VDMNsVDGM ,DM MN ，DG GM MN DM , DG GM 10,x AM

10、875 10 .如图3-2中，当MN DN时，作MH DG于H .图加 2 MNDMNDGMMDN MDG MGD , MD MG ,BH DG ,DH GH 5,由 VGHM sVGBA，可得 GH MGGB AG5 MG一16 8.5'MG 5-5 , 2. x AM 8 5 3 U.2 2综上所述，满足条件的 x的值为875 10或 止5 .2【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等腰 三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考 问题，属于中考压轴题.类型二【确定图形运动中

11、的图形周长的函数关系式及其最值】【典例指引 2】如图，在平面直角坐标系中，直线 y x 4分别与x轴，y轴交于点 A和点C ,抛物线 y ax2 3x c经过A, C两点，并且与x轴交于另一点B .点D为第四象限抛物线上一动点 (不与点A,C 重合)，过点D作DF x轴，垂足为F ,交直线AC于点E ,连接BE .设点D的横坐标为m .(1)求抛物线的解析式(2)当 ECD EDC 时,求出此时m的值；(3)点D在运动的过程中, EBF的周长是否存在最小值？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1) y x2 3x4; (2)当 ECD EDC 时，m 4 J2； (3)存在

12、.m 1.5时，VBEF 的周长最小.易求A(4,0),C (0, 4),根据待定系数法，即可得到答案;(2)过点E作EH y轴，垂足为H ,易得：Q点D m,m2 3m 4 , E m, m 4 ,进而可知:EH HC m, ED m 4m2 3m 4m2 4m, EC 72m，根据 ECD EDC 时,EC ED ,列出方程，即可求解;易证：zBFE的周长=BF FEBE BF AF BE AB BE ,可知：当 BE 最小，即 BE AC时，4BFE的周长最小，进而可求出VBEF的周长最小时，m的值.在y x 4中，当x 0时，y4；当y0时,x 4,A(4,0),C (0, 4).把A

13、 4,0 ,C 0, 4代入2 ax3x c 中,得:16a 12 c 0解得抛物线的解析式是3x(2)过点E作EHy轴，垂足为h .QOA OC4,OACOCAHECHCE45 .2Q 点 D m, m 3m4 , E m, mEH HC m, ED m 42m 3mm2 4叫 EC T2m，当 ECD EDC 时，EC ED ,V2mm2 4m，解得：mi 0（舍去），m2 4 22.当 ECD EDC 时，m 4 V2;存在.在抛物线y x2 3x 4中，当 y 。时，x2 3x 4 0 ,解得 Xi1,X2 4 ,点B坐标为 1,0 .Q FAE FEA 45 ,EF AF .设ABF

14、E的周长为l ,则 l BF FE BE BF AF BE AB BE ,Q AB的值不变，当BE最小，即BE AC时， BFE的周长最小Q 当 BE AC 时，EBA BAE 45 ,BE AE ,BF AF 2.5,m 1.5时，VBEF的周长最小.【点睛】本题主要考查二次函数与平面几何的综合问题，把动点E的坐标用未知数 m表示出来，是解题的关键，体现了数形结合的思想方法.【举一反三】如图，直线y=- 色x+再分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，/ACB=90°,抛物线y=ax2+bx+6 3经过A, B两点.(1)求A、B两点的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)点M

15、是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH ±BC于点H ,作MD / y轴交BC于点D,求4DMH周长的最大值.【答案】(1) (-1, 0) (2) y= x2+HEx+行(3)班二3 38【解析】试题分析：(1)由直线解析式可求得 B、C坐标，在RtBOC中由三角函数定义可求得 /OCB=60°,则在RtA AOC中可得ZACO=30°,利用三角函数的定义可求得OA,则可求得 A点坐标；(2)由A、B两点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；(3)由平行线的性质可知 / MDH=/BCO=60° ,在RtADMH中利用三角函数的定义可得到DH、M

16、H与DM的关系，可设出 M点的坐标，则可表示出 DM的长，从而可表示出 4DMH的周长，利用二次函数的性 质可求得其最大值.试题解析：(1) .直线y=-苴x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，3B (3, 0), C (0,拒),OB=3, OC=， tanZ BCO=-<3/ BCO=60° ,/ ACO=30° ,AOAO=1 ,解得 AO=1,A (-1, 0);(2).抛物线y=ax2+bx+经过A, B两点,白一方+= 0,解得“9。+ 3A +。括a =3D =抛物线解析式为y=-色x2+至Ex+百； 33(3) MD / y 轴，MH ±BC,

17、/ MDH = / BCO=60° ,则 / DMH =30° ,DH= DM , MH = DM , .DMH 的周长=DM + DH+MH = DM+LDM + DM = DM ,当DM有最大值时，其周长有最大值,丁点M是直线BC上方抛物线上的一点,可设 M (t, -12+1+JJ )，则 D (t, t+)DM = -苴 t2+XIt+百)，则 D (t, t+ a/3 ),当t=C时，DM有最大值，最大值为,二4此时-JL_ DM = _X_2_ =二 ,2248即 DMH周长的最大值为9岳9 .8考点：1、二次函数的综合应用，2、待定系数法，3、三角函数的定义，

18、4方程思想类型三【确定图形运动中的图形面积的函数关系式及其最值】【典例指引3】如图，抛物线y ax2 bx 3 ( a, b是常数，且awo)与x轴交于A, B两点，与y轴交于点C.并且A, B两点的坐标分别是 A(-1, 0), B(3, 0)(1)求抛物线的解析式； 顶点D的坐标为 ;直线BD的解析式为 ;(2)若P为线段BD上的一个动点，其横坐标为 m,过点P作PQx轴于点Q,求当m为何值时，四边形PQOC的面积最大？(3)若点M是抛物线在第一象限上白 时，四边形 MNAC是平行四边形.【答案】yx2 2x 3【解析】【分析】(1)把点A、点B的坐标代入)求解；设直线BD的解析式为y勺一

19、个动点，过点M作MN / AC交x轴于点N .当点M的坐标为 J述。八八981-、；(1, 4)； y 2x 6； (2)当 m 时，S最大值=一；(3) (2, 3)416/ ax2 bx 3,求出a, b即可；根据顶点坐标公式( ,4ac b )2a 4akx n ,将点B、点D的坐标代入即可；(2)求出点C坐标，利用直角梯形的面积公式可得四边形PQOC的面积s与m的关系式,可求得面积的最大值;(3)要使四边形 MNAC是平行四边形只要 MCAN即可,所以点M与点C的纵坐标相同,由此可求得点M坐标.解：(1)把 A ( 1, 0), B (3, 0)代入2axbx3,得9ab 3 0,3b

20、 30.解得1,2.2x 2x3.当x =-=2a -22,=1时,4ac b24a所以顶点坐标为(1, 4)设直线BD的解析式为kx(3, 0)、点D (1, 4)的坐标代入得3k n所以直线BD的解析式为(2)二点P的横坐标为当x 0时,y 0 0 3 3.C (0, 3).由题意可知:m,2x 6.则点P的纵坐标为2m6.OC=3, OQ=m, PQ= 2m 6 .- s= ( 2m26 3) m9 2(m 4)8116- 1<0, 1 V 9 <3,4981, , 3 m 时 s最大值=.416如图，MN / AC,要使四边形 MNAC是平行四边形只要 MC/AN即可.设点

21、M的坐标为(x, x2 2x 3),由yx22x3可知点C(0,3)Q MC/AN x22x33解得x 2或0 (不合题意，舍去) 2_4一一x2x34433当点M的坐标为(2, 3)时，四边形 MNAC是平行四边形.【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及了二次函数的解析式及顶点、一次函数的解析式、二次函数在三角形和平行四边形中的应用，将二次函数的解析式与几何图形相结合是解题的关键【举一反三】如图1,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A (- 1, 0)、C (3, 0),点B为抛物线顶点，直线 BD为抛物线 的对称轴，点 D在x轴上，连接 AB、BC, Z ABC = 90°

22、, AB与y轴交于点E,连接CE.中考 2020(1)求项点B的坐标并求出这条抛物线的解析式；(2)点P为第一象限抛物线上一个动点，设 PEC的面积为S,点P的横坐标为m,求S关于m的函数关 系武，并求出S的最大值；(3)如图2,连接OB,抛物线上是否存在点 Q,使直线QC与直线BC所夹锐角等于/ OBD ,若存在请直 接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由.【答案】(1)点 B 坐标为(1, 2), y= - x2+x+ ;(2) S= - - m2+2m+ ,S最大值；(3)点 Q 的224412.110坐标为(-二20).39【解析】【分析】(1)先求出抛物线的对称轴，证 4ABC是等腰直

23、角三角形，由三线合一定理及直角三角形的性质可求出BD的长，即可写出点 B的坐标，由待定系数法可求出抛物线解析式；(2)求出直线AB的解析式，点E的坐标，用含 m的代数式表示出点 P的坐标，如图1,连接EP, OP,CP,则由Sa epc=Sa oep+S/xocp-S/xoce即可求出S关于m的函数关系式，并可根据二次函数的性质写出S的最大值；(3)先证ODBsebc,推出/OBD=/ECB,延长CE,交抛物线于点 Q,则此时直线 QC与直线BC 所夹锐角等于ZOBD,求出直线CE的解析式，求出其与抛物线交点的坐标，即为点 Q的坐标.【详解】解：(1) . A (1, 0)、C (3, 0),

24、AC = 4,抛物线对称轴为 x= - = 1,2BD是抛物线的对称轴，D (1, 0),由抛物线的对称性可知 BD垂直平分AC,BA= BC,又. / ABC=90°,BD= 1AC=2, 2，顶点B坐标为(1,2),设抛物线的解析式为 y= a (x - 1) 2+2,将A ( - 1, 0)代入，中考 2020得 0=4a+2, m1解得，a2抛物线的解析式为:1x2+X+3；1 ，y= (x1) 2+2 =2(2)设直线AB的解析式为y=kx+b,0), B (1, 2)代入,解得，k= 1, b=1,yAB = x+1,当 x= 0 时，y= 1,(0,1),丁点P的横坐标

25、为m,P的纵坐标为-m2+m+ ,如图1,连接 EP, OP, CP,贝U S>a epc=Sa oep+ Sa ocp 一 $ oce11=- M Xm+ X3 (-224(m- 4) 2+空,312="-m2+2m+ ,m=-时，S有最大值公；3123 .一一一一，一，-3<0,根据二次函数和图象及性质知，当4(3)由(2)知 E (0, 1),又A ( 1, 0), .-.OA=OE=1, . OAE是等腰直角三角形,又. AB=BC= AB = 2T2，BE = AB - AE= 22，.BE .21BC 2.2 2 'p . . OD 1又,BD 2,B

26、E OD一，BC BD又. / ODB= / EBC=90°, . ODBA EBC, ./ OBD= / ECB,延长CE,交抛物线于点 Q,则此时直线 QC与直线BC所夹锐角等于ZOBD,设直线CE的解析式为y= mx+1,将点C (3, 0)代入,得，3m+1 = 0,1 m= ,3. 一 1 一 yCE= x+13y联立1解得,3,109点Q的坐标为10、9图1匡2【点睛】 本题是一道关于二次函数的综合题目，巧妙利用二次函数的性质是解题的关键，根据已知条件可得出抛物线的解析式是解题的基础，难点是利用数形结合作出合理的辅助线【新题训练】1 C1 .如图，已知直线 AB经过点(0

27、, 4),与抛物线y= -x2交于A, B两点，其中点A的横坐标是 2 .4(1)求这条直线的函数关系式及点B的坐标.(2)在x轴上是否存在点 C,使得AABC是直角三角形？若存在，求出点 C的坐标，若不存在请说明理由. 过线段AB上一点P,作PM / x轴，交抛物线于点 M ,点M在第一象限，点 N (0, 1),当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大？最大值是多少？【答案】(1)直线y= 3x+4,点B的坐标为(8, 16); (2)点C的坐标为(-,0), (0, 0), (6, 0),22(32, 0)； (3)当M的横坐标为6时，MN+3PM的长度的最大值是 18.【解析】(

28、1)首先求得点A的坐标，然后利用待定系数法确定直线的解析式，从而求得直线与抛物线的交点坐标；(2)分若/ BAC=90° ,贝U AB2+AC2=BC2；若/ ACB=90° ,贝U AB2=AC2+BC2；若/ ABC=90°,贝U AB2+BC2=AC2三种情况求得 m的值，从而确定点 C的坐标；11ca2 16 .(3)设M(a, a2),得MN= a2+1 ,然后根据点P与点M纵坐标相同得到x=6,从而得到MN+3PM =446-a2+3a+9,确定二次函数的最值即可.4【详解】(1)二点A是直线与抛物线的交点，且横坐标为-2,12y ( 2)1,A点的坐

29、标为(-2, 1),设直线的函数关系式为y=kx+b,将(0, 4), (-2, 1)代入得2k bk解得 2b 4 3， y x+ 42 直线与抛物线相交，3.12x 4 x24解得：x=-2或x=8,当 x=8 时，y=16,.点B的坐标为(8, 16)；(2)存在.由 A(-2, 1), B(8, 16)可求得 AB2=(8+ 2)2+ (16- 1)2=325.设点 C(m, 0),同理可得 AC2=(m+ 2)2+12=m2+4m + 5,BC2= (m 8)2+ 162= m2 16m+ 320,1若/ BAC=90 ,则 AB2+AC2=BC2,即 325+m2+4m+5= m2

30、16m+ 320,解得 m=；2若/ ACB=90°,则 AB2=AC2+BC2,即 325= m2+4m+5+m216m+ 320,解得 m=0 或 m = 6;若/ ABC=90°,则 AB2+BC2=AC2,即 m2+4m+5= m216m + 320+ 325,解得 m=32,点 C 的坐标为(一1, 0), (0, 0), (6, 0), (32, 0)(3)设 M(a, la2), 4则 MN= a2212一 a 144a2 3又二.点P与点M纵坐标相同,二 x+4= a2,a2 16x=,6.点P的横坐标为a2 1656MP = a- a_16 ,6MN +

31、3PM = 1a2+1+ 3(a4a2 16611c 一)=a +3a+9= (a6) +18,44. 2<6<,8当a=6时，取最大值18,当M的横坐标为6时，MN + 3PM的长度的最大值是182.如图，抛物线y=ax2 +bx+ 4与x轴的两个交点分别为A (4, 0)、B (2, 0),与y轴交于点C,顶点为(2)x轴、y轴分别交于F、G.D. E (1, 2)为线段BC的中点，BC的垂直平分线与在直线EF上求一点H,使3DH的周长最小，并求出最小周长;(3)若点K在x轴上方的抛物线上运动，当 K运动到什么位置时， AEFK的面积最大？并求出最大面积.1 29【答案】(1)

32、 y -x x 4顶点D的坐标为(1,)(2) H315、4835、一)8(1)将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值，进而可用配方法求出其顶点D的坐标;(2)根据抛物线的解析式可求出 C点的坐标，由于 CD是定长，若ACDH的周长最小，那么 CH+DH的值最小，由于EF垂直平分线段 BC,那么B、C关于直线EF对称，所以BD与EF的交点即为所求的 H点;易求得直线BC的解析式，关键是求出直线 EF的解析式；由于 E是BC的中点，根据B、C的坐标即可求 出E点的坐标；可证 CEGsCOB,根据相似三角形所得的比例线段即可求出 CG、OG的长，由此可求出G点坐标，进而可用待定系

33、数法求出直线EF的解析式，由此得解;(3)过K作x轴的垂线，交直线 EF于N;设出K点的横坐标，根据抛物线和直线 EF的解析式，即可表示出K、N的纵坐标，也就能得到 KN的长，以KN为底，F、E横坐标差的绝对值为高，可求出AKEF的面积，由此可得到关于 AKEF的面积与K点横坐标的函数关系式,根据所得函数的性质即可求出其面积的最大值及对应的K点坐标(1)由题意,16a得4a4b 42b 40解得a0所以抛物线的解析式为4,顶点(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M.因为一，9、D的坐标为(一1, 2 ).EF垂直平分BC,即C关于直线EG的对称点为B,连结BD交于EF于一点，则这一点为所求点H,

34、使DH+CH最小，即最小为12DH+CH = DH+HB=BD= . BM 2 DM 2313. 而CD25 313. CDH 的周长最小值为 CD + DR+CH=V5 3V1322kl b 0ki设直线BD的解析式为y=k1x+b,则9解得k12所以直线BD的解析式为y= 3x+ 3.2由于 BC= 2 屈,CE=BC/2 塞，RtACEGACOB, 得 CE:CO=CG:CB,所以 CG= 2.5, GO= 1.5. G (0, 1.5).同理可求得直线 EF的解析式为y= 1 x+ 3 .22 315联立直线BD与EF的方程，解得使 4CDH的周长最小的点 H (-,481 . 2(3

35、)设K (t,tt 4 ), xfv tv xe.过K作x轴的垂线父EF于N .2一1 2131235则 KN=yK yN=tt 4 (1+ ) =tt.2+空222222t+22所以 Szefk=Szkfn +Sakne= KN (t+ 3) + 1 KN (1t) = 2KN= t2 3t+ 5 =22即当t=- 3时，AEFK的面积最大，最大面积为 空，此时K ( 3 ,竺) 2428【点睛】 本题是二次函数的综合类试题，考查了二次函数解析式的确定、轴对称的性质、相似三角形的判定和性质、 三角形面积的求法、二次函数的应用等知识，难度较大.3.如图，已知二次函数 尸ax2+2x+c的图象经

36、过点 C (0, 3),与x轴分别交于点 A,点B (3, 0).点P是直线BC上方的抛物线上一动点.(1)求二次函数 y=ax2+2x+c的表达式;(2)连接PO, PC,并把4POC沿y轴翻折，得到四边形 POPC.若四边形POPC为菱形，请求出此时点P的坐标;(3)当点P运动到什么位置时， 四边形ACPB的面积最大？求出此时 P点的坐标和四边形 ACPB的最大面积.【答案】(1) y=-x2+2x+3 (2) ( 2+炳 ,3) (3)当点P的坐标为(3, 15)时，四边形ACPB的最大面积值为758【解析】【分析】(1)根据待定系数法，可得函数解析式；(2)根据菱形的对角线互相垂直且平

37、分，可得 P点的纵坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得 P点坐标；(3)根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得 PQ的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案.【详解】(1)将点B和点C的坐标代入函数解析式，得9a 6 c 03,3,二次函数的解析式为 y= - x2+2x+3 ;(2)若四边形POPC为菱形，则点P在线段CO的垂直平分线上,如图1,连接PP',则PEXCO,垂足为E,.C(0, 3),3，点P的纵坐标一,2、“32 c 八 3当 y 时，即 X2 2x 322解得x1 2屈,x2 2 W (不合题意，舍) 2.点

38、P的坐标为(3)如图2,22 、10 3丁，2P在抛物线上，设 P (m, - m2+2m+3),设直线BC的解析式为y=kx+b,将点B和点C的坐标代入函数解析式，得13.3k 3 0 b 3,k解得b直线BC的解析为y=-x+3,设点Q的坐标为(m, - m+3),PQ=-m2+2m+3 - (-m+3) = - m2+3m.当 y=0 时，x2+2x+3=0 ,解得 xi= - 1 , x2=3,OA=1 ,AB 3 14,中考 2020S 四边形 abpc=Smbc+Sapcq+Sapbq1“11 -AB OC -PQ OF -PQ FB,2221c 12 cc4 3 m 3m 3,2

39、 223 375m,2 283 . 当m=时，四边形ABPC的面积最大.2.3 一， 2153 15m m=一时，m 2m 3 ,即P点的坐标为 一,242 4,，一 ，3 1575当点P的坐标为 -, 时，四边形ACPB的最大面积值为 15 .2 48本题考查了二次函数综合题，解(1)的关键是待定系数法；解(2)的关键是利用菱形的性质得出P点的纵坐标，又利用了自变量与函数值的对应关系；解(3)的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质.4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线v= x2+mx + n经过点A(3, 0)、B(0, 3),点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交

40、抛物线于点 M,设点P的横坐标为t.8(1)分别求出直线 AB和这条抛物线的解析式.(2)若点P在第四象限，连接 AM、BM,当线段PM最长时，求 AABM的面积.(3)是否存在这样的点 P,使得以点P、M、B、。为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)抛物线的解析式是y x2 2x 3 .直线AB的解析式是y x 3.(2)27中考 2020(3) P点的横坐标是3何或3历.【解析】【分析】(1)分别利用待定系数法求两函数的解析式：把A (3, 0) B (0, -3)分别代入y=x2+mx+nJf y=kx+b,得到关于m、n的两个方

41、程组，解方程组即可;(2)设点P的坐标是(t, t-3),则M (t, t2- 2t-3),用P点的纵坐标减去 M的纵坐标得到 PM的长,即PM= (t-3) - (t2-2t-3) = - t2+3t,然后根据二次函数的最值得到3 In - 9 o当t=-"、=三时，PM最长为广=一，再利用三角形的面积公式利用计算即可；S/ABM = Sa BPM+ SaAPM(3)由PM /OB,根据平行四边形的判定得到当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边.-_ _ ,.一 Jq 形，然后讨论：当P在第四象限：PM=OB=3, PM最长时只有3，所以不可能；当P在第一象限：P

42、M=OB=3,(t2-2t- 3) - (t-3) =3;当P在第三象限：PM=OB=3, t2-3t=3,分别解一元二次方程即可得到满足条件的t的值.【详解】解：(1)把 A (3, 0) B (0, -3)代入 yx20 9 3m n m 3 n 解得n所以抛物线的解析式是 y x2 2x 3.设直线AB的解析式是y kx b,把A (3, 0) B (0,3)代入y kx b，得0 3kb k3 b 解得名所以直线AB的解析式是y x 3.(2)设点P的坐标是2p, p 3)恻M(p,p 2p 3),因为p在第四象限，所以，一 * 2 -PM = (p 3) (p2 p 3)2p 3p

43、,当PM最长时PMSvABMSVBPMSVAPM9_274- 8(3)若存在，则可能是:9P在第四象限：平行四边形 OBMP ,PM=OB=3, PM最长时PM所以不可能4P在第一象限平行四边形 OBPM: PM = OB=3, p2所以P点的横坐标是3幅.P在第三象限平行四边形 OBPM： PM=OB=3, p2p23后,所以P点的横坐标是36.22所以P点的横坐标是3或3后.225.如图，二次函数 > -X2 +小，+亡的图像与工轴交于3p 3 ,解得 R 3 ,21 , P2 3 "21 （舍去）， 223p 3 ,解得 p13 21 （舍去），2A、B两点，与下轴交于点

44、C , OB = OC .点D在函数图像上，CD/工轴，且CD = 2 ,直线是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点.(1)求3、二的值；(2)如图，连接BE ,线段OC上的点F关于直线I的对称点Fr恰好在线段BE上，求点F的坐标；(3)如图，动点P在线段0B上，过点P作量轴的垂线分别与BC交于点*1 ,与抛物线交于点N .试问: 抛物线上是否存在点 Q ,使得APQN与gPM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，说明理由.(RKD)用)【答案】（1）b=-l, c = 3-；（2）点F的坐标为（0:7） ;（3）点2的坐标为-二和一二二4 J 4,【解析】试题

45、分析：（1）根据二次函数的对称轴公式，抛物线上的点代入，即可；（2）先求F的对称点，代入直线BE,即可；（3）构造新的二次函数，利用其性质求极值.试题解析：.解：（1） : 8二左轴，S = 2 ,，抛物线对称轴为直线 卜工二1一k:. =lrb = -2 - OB =OCrC（ B 点的坐标为 f-c一二0 二二'- q解得u二一3或七三0 （舍去），c = 3.（2）设点产的坐标为0=历）_ 对称轴为直线/：工二工二点产' 关于直线I的对称点F的坐标为（工朋!J .;直线8E经过点8（3=E（L-4）二利用待定系数法可得直线 BE的表达式为y =2x-6 .因为点F在3E上

46、，二阳二2乂26二一工即点F的坐标为（02）一（3）存在点O满足题意.设点P坐标为（20）,则PA三打+1二&三EV = 3 一兄P汇三一/小川*作 0? RV± 垂足为凡=5 A电-二 S为二”（葡+ 1）（3-打j 二-3 卬尤二 QR =1.点2在直线FJV的左侧时，0点的坐标为（修一LM-4F=R点的坐标为（注/一4打点的坐标为（打“一M- 3）一二在五工，。艮中，ZVQ, = 1 +12打一3,，二灯二：时，X0取最小值1 .此时。点的坐标为1 _15点2在直线F：v的右侧时，0点的坐标为（k+ 11京一4|一同理，=打一1，口 二时，：V。取最小值1 .此时2点的

47、坐标为综上所述：满足题意得点 2的坐标为考点：二次函数的综合运用6.如图，在矩形 ABCD中，AB=6cm, AD = 8cm,连接BD,将3BD绕B点作顺时针方向旋转得到 那'B'D'（B与B重合），且点D刚好落在BC的延长上，A'D与CD相交于点E.（1）求矩形ABCD与AABD重叠部分（如图中阴影部分 ABCE）的面积;(2)将AABD以2cm/s的速度沿直线 BC向右平移，当B移动到C点时停止移动.设矩形ABCD与AAB'D重叠部分的面积为 ycm2,移动的时间为x秒，请你求出y关于x的函数关系式，并指出自变量 x的取值范【答案】(1)竺；(2)

48、当0叔16时，y=-与-3x+24,当竺小4时，丫=8*2-旦+金 25225333【解析】 【分析】A' B' CE(1)根据旋转的性质可知 B'D'=BD = 10, CD'= BD - BC= 2,由tan/B'D A'= ，可求出CE,A'D' CD'即可计算 ZCED '的面积，Sabce= Sa bd - Sced(2)分类讨论，当0aw 16时和当16 vxw4时，分别列出函数表达式; 55【详解】 解：(1) . AB=6cm, AD = 8cm,BD= 10cm,CECD'根据旋转

49、的性质可知 BD'= BD = 10cm, CD = BD- BC=2cm,A'B'tan Z B D A=A'D'CE2.CE =3cm,2Sabce= Sabd - Sced(2)当0虫 v 16 时，CD = 2x+2, 5“3452X- -?2 =22CE= x, 2(cm2);Sa cde =3x2+3x,，y.3x2-x2- 3x+24;22222,16 一,4当一致W4时，BC= 10- 2x, CE= (10-2x)51 4y= x (10- 2x) 2=2 338/ 80 x+ 2003x-3* 一【点睛】 本题主要考查了图形的平移变换

50、和旋转变换，能够数形结合，运用分类讨论的思想方法全面的分析问题，思考问题是解决问题的关键.7.如图，已知二次函数 y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A (- 1, 0), B (3, 0)两点，与y轴相交于点 C (0, - 3).(1)求这个二次函数的表达式；(2)若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PHx轴于点H,与BC交于点M,连接PC.求线段PM的最大值；当APCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点 P的坐标.【答案】(1)二次函数的表达式 y=x2-2x-3； (2)PM最大=9；P (2, 3)或(3-J2 , 24J2 ).4【解析】【分析】(1)根据待定系数法，可得答案；(2)根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函 数的性质，可得答案；根据等腰三角形的定义，可得方程，根据解方程，可得答案.【详解】(1)将A, B, C代入函数解析式，a b c 0a 1得 9a 3b c 0,解得 b 2,c 3c 3这个二次函数的表达式 y=x2 - 2x- 3；(2)设BC的解析式为y=kx+b,将B, C的坐标代入函数解析式，得3kbBC的解析式为y=x- 3,设 M (n, n-3), P (n, n2-2n-3)