圆锥曲线轨迹及方程求法大全

1、轨迹方程的若干求法求轨迹方程是高考中常见的一类问题本文对曲线方程轨迹的求法做一归纳，供同学们参考.一、直接法直接根据等量关系式建立方程 例 1 已知点 A(20, B(3,0)，动点 P(X, y)满足，则点P的轨迹是()A.圆E.椭圆C.双曲线D.抛物线解析：由题知 PA=(/_x, _y) , PB=(3_X y),由=X2，得(_2 x)(3 x)y2=X2，即 y2=x 6 , P 点轨迹为抛物线故选D.二、定义法运用有关曲线的定义求轨迹方程.例 2 在厶 ABC 中，BC =24, AC, AB 上的两条中线长度之和为39，求ABC 的重心的轨迹方程.解：以线段 BC 所在直线为 X

2、 轴，线段 BC 的中垂线为y轴建立直角坐标系，如图 1,M2为重心，则有 BM：|CM 39 =26.3 M点的轨迹是以 B, C 为焦点的椭圆，其中 c =12, a =13 . - b =#a c =5 .2 2所求ABC 的重心的轨迹方程为 乞=1(y = 0).16925注意：求轨迹方程时要注意轨迹的纯粹性与完备性.三、转代法此方法适用于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题例 3 已知 ABC 的顶点 B(70) C(10)，顶点A在抛物线重心 G 的轨迹方程.3解：设 G(x, y), A(X0, y)，由重心公式，得y y =, L32 2又 A(Xo, yo)在抛物线 y

3、= x 上，/ y=x.将，代入，得 3y=(3x 2)2(y =0)，即所求曲线方程是四、参数法如果不易直接找出动点的坐标之间的关系，可考虑借助中间变量(参数) 起来.例 4 已知线段 AA2a，直线 I 垂直平分AA于 O,在 I 上取两点 P, P，使有向线段2上运动，求ABC 的X0= 3x +2,金二3y 24yx 4x 4(厂 0).，把X, y 联系OP,OP 满足 OPOP：上 4，求直线AP与AP的交点M的轨迹方程.解：如图 2,以线段AA所在直线为 x 轴，以线段AA的中垂线 为y轴建立直角坐标系.设点 P(0, t)(t =0),则由题意，得P0,4 .由点斜式得直线 A

4、P, AP的方程分别为t4y (x a), y (x a). ata两式相乘，消去t，得 4x2 a2y2=4a2(y =0) 这就是所求点 M 的轨迹方程.评析：参数法求轨迹方程，关键有两点：一是选参，容易表示出动点；二是消参，消参 的途径灵活多变五、待定系数法当曲线的形状已知时，一般可用待定系数法解决例 5 已知A,B,D三点不在一条直线上，且(1 )求E点轨迹方程；2)过A作直线交以 A, B 为焦点的椭圆于离为4，且直线 MN 与E点的轨迹相切，求椭圆方程.51 解：(1 )设 E(x, y)，由 AE=(AB+AD)知E为BD中点，易知 D(2x2,2y).2(2)设 M (Xi,

5、yj, N(x2, y2)，中点(心 y).2 2由题意设椭圆方程为 笃=1，直线 MN 方程为 y 二 k(x 2).a a -4直线 MN 与E点的轨迹相切，A(_2,0) , B(2,0)M , N 两点，线段 MN 的中点到y轴的距又AD=2，贝 U (2x -22)2(2y)2=4 .2 2即E点轨迹方程为 x y =1(y=0)；AE (AB AD). 22klk213=1，解得k =3将 y = (x 2)代入椭圆方程并整理，得4(a2-3)x2 4a2x 16a2-3a0 ,3h X1+X2a x)一2,22(a2-3)2a2(a2-3)又由题意知 x - -4，即5彳，解得a

6、2=8 .故所求的椭圆方程为2 2x-上84歼灭难点训练、选择题FI、F2,是椭圆上的一个动点，如果延长 FiP 到 Q,使得|PQ|=|PF2|,22T T=1的长轴两个端点，P2是垂直于 A1A2的弦的端点，则直线 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程为()2 2x y A.19422xy C.=194二、填空题a.a13 厶 ABC 中，A 为动点，B、C 为定点，B( ,0),C(,0)，且满足条件 si nC sin B=si nA,222则动点 A 的轨迹方程为4.高为 5 m 和 3 m 的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为 A( 5, 0)、

7、B(5, 0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是三、解答题5.已知 A、B、C 是直线 I 上的三点，且|AB|=|BC|=6,OO切直线 I 于点 A,又过 B、 C 作OO异于 I 的两切线，设这两切线交于点P,求点 P 的轨迹方程.2占=1 的实轴为 A1A2,点 P 是双曲线上的一个动点，弓 IA1Q 丄 A1P , A?Qb丄 A?P, AiQ 与 A2Q 的交点为 Q,求 Q 点的轨迹方程.2 27.已知双曲线 务-与=1(m 0,n0)的顶点为 A1、A?，与 y 轴平行的直线 I 交双曲线于m n点 P、Q.(1)求直线 AiP 与 A2Q 交点 M 的轨迹方程;那

8、么动点 Q 的轨迹是(A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线1已知椭圆的焦点是2.设 Ai、A?是椭圆2 2y x B.19422yxD.X26.双曲线二a当 mzn 时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率2 2X y8已知椭圆 二 牙=1(a b 0),点 P 为其上一点,a bF2为椭圆的焦点，/ F1PF2的外角平分线为 I，点 F2关于 I 的对称点为Fi、(1)当 P 点在椭圆上运动时，求 R 形成的轨迹方程;设点 R 形成的曲线为 C,直线 I: y=k(x+、2a)与曲线C 相交于 A、B 两点，当 AOB的面积取得最大值时，求k 的值.参考答案歼灭难点训练一、1解析：

9、TPFi|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|,|PFi|+|PF2|=|PFi|+|PQ|=2a,即 |F1Q|=2a, 动点 Q 到定点 F1的距离等于疋长 2a,故动 点 Q的轨迹是圆.答案：AP（x,y） ,A1（-3,0）,A2（3,0）, P1（xo,yo）,P2（xo, - yo）/A1、PP共线，y_y =yx Xox 3-A?、P2、P共线，y yoyX X。x -32222解得 xo=-,yo=3y,代入得xo-yo=1,即x-y=12解析：设交点x x9494答案：C11二、3解析：由 sinC sinB=-sinA,得 c- b= a,22a，故方程为216x216

10、y23a2a*4 八答案：16x216y2aa2-3a2=1（x4应为双曲线一支，且实轴长为4解析：设 P(x,y),依题意有.2= j ”22，化简得 P 点轨迹方程为(x+5) + yJ(x_5) + y4x +4y 85x+100=0.答案：4x2+4y2 85x+100=0三、5解：设过 B、C 异于 I 的两切线分别切OO于 D、E 两点，两切线交于点 P.由切线的性质知：|BA|=|BD|, |PD|=|PE|, |CA|=|CE|,故 |PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18 6=|BC

11、|,故由椭圆定义知，点 P 的轨迹是以 B、C 为两焦点 的椭圆，以 I 所在的直线为 x 轴，以 BC 的中点为原点，建立坐标系，可求得动点 P 的轨迹2 2方程为+ =l(y* 0)81726.解：设 P(xo,yo) (XM土 a),Q(x,y).T厲(a,0),A2(a,0).222/ 22/Xa 2即 b ( x) a () =ay化简得 Q 点的轨迹方程为：a2x2 b2y2=a4(xMa).7解：(1)设 P 点的坐标为(xi,yi),则 Q 点坐标为(xi, yi),又有 Ai( m,0),A2(m,0),则 AiP 的方程为：y=yi(x - m)为+mA2Q 的方程为：y=

12、 一/(x-m) xi_m2x得：y2= 2y (x2_m2)xi-m22代入并整理得 %，%=i.此即为 M 的轨迹方程m n当 mMn 时，M 的轨迹方程是椭圆由条件yx -a4 X。ayo1x。- a內=-X(X0 =二a)得tX2a2y。=-y而点 P(xo,yo)在双曲线上，2 22222b xo a y0= a b .2b2又因点 P 在双曲线上，故2=i,即卩yi2二出匕/m2).m23：22勒 m _ne=m 2 2鳥 n -me=-nR(xo,yo),Q(xi,yi),Fi( c,0),F2(c,0).2 2 2|F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,则(xg +y1=(2a).为+cx 二 2yo牛得 Xi=2xo c,yi=2yo.2 2 2.2 2 2-(2xo) +(2yo) =(2a),X+yo=a .故 R 的轨迹方程为：x2+y2=a2(yzo).a2如右图， &AOB= JOA| |OB| sinAOB= sinAOB当/ AOB=90。时，AOB最大值为 丄 a22#此时弦心距|OC|=D2ak |J1 +k2在 Rt AOC 中，/ AOC=45,|OC | | 2ak|2cos45 , k =-|OA| a.223(i)当 mn时，焦点坐标