最全高中不等式解法

1、不等式的解法三、解不等式1解不等式问题的分类(1)解一元一次不等式(2)解一元二次不等式(3)可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式解一元高次不等式；解分式不等式；解无理不等式；解指数不等式；解对数不等式；解带绝对值的不等式；解不等式组2解不等式时应特别注意下列几点：(1)正确应用不等式的基本性质(2)正确应用幂函数、指数函数和对数函数的增、减性(3)注意代数式中未知数的取值范围3不等式的同解性(5)|f(x)|g(x)与g(x)f(x)g(x)同解(g(x)0)(6)|f(x)|g(x) 与f(x)g(x)或f(x)g(x)(其中g(x)0)；g(x)0同解(9)当a1时，af(x)ag(

2、x)与f(x)g(x)同解，当0a1时，af(x)ag(x)与f(x)g(x)同解4 零点分段法：高次不等式与分式不等式的简洁解法 步骤：形式：首项系数符号>0标准式，若系数含参数时，须判断或讨论系数的符号，化负为正判断或比较根的大小题型讲解 例1 不等式(1+x)(1-)>0的解集是（ ）A B C D解：(1+x)(1-)0的解为x=1,x= -1(二重根)画出数轴：不等式(1+x)(1-)>0的解集是另法：x=和显然属于原不等式的解集，所以选（D） 例2 解不等式解：由 其零点分别为：-1,0,1(二重),2 ，画出数轴如下：由图知，原不等式的解集为例3 求不等式组的解

3、集 解法一：由题设x>0，得，即，原不等式组等价于（1） ；（2） 由（1）得，由（2）得，故原不等式组解集为 解法二：由已知条件可知两边平方，原不等式组等价于 即原不等式组解集为例4 解关于x的不等式解：下面对参数m进行分类讨论：当m=时，原不等式为x+1>0，不等式的解为当时，原不等式可化为，不等式的解为或当时，原不等式可化为， 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式无解综上述，原不等式的解集情况为：当时，解为；当时，无解；当时，解为；当m=时，解为；当时，解为或例5 已知f(x)，g(x)都是定义在R上的奇函数，不等式f(x)>0的解集是(m

4、，n)，不等式g(x)>0的解集是，其中，求不等式的解集 解：f(x)，g(x)是奇函数，不等式f(x)>0的解集是(m，n)，不等式g(x)>0的解集是，不等式f(x)<0的解集是，不等式g(x)<0的解集是而不等式等价于或，所以其解集为例6 若不等式kx2-2x+1-k<0对满足的所有k都成立，求x的取值范围 解：原不等式可化为设 ，是关于k的单调函数，根据题意有：，即 解得点评：用换元、分离变量的方法在不等式的求解过程中比较常出现，也是解决含参数问题的重要方法例7 己知关于x的不等式的解为，求关于x的不等式的解集解：，因其解集为，且，从而又将代入，得所

5、求解集为例8 己知不等式的解集为，其中，求不等式的解集 解： 为方程的两根，不等式可化为由己知条件得得 即，它的解集为点评：根据解集的表示形式可以确定例9 解不等式：（1）；（2）解 （1）原不等式与不等式组 ，或 同解，分别解不等式组得或，原不等式的解集为（2）原不等式与不等式组 同解，解之得或，原不等式的解集为点评 ：一个无理不等式转化为两个不等式组还是转人为一个不等式组，这是解无理不等式的一个基本问题（1）中的第一个不等式组中可省去，（2）中的不等式组中则不可省去任何一个（1）的结果可从函数和的图象上看出，让学生学会用图象法解不等式例10 设关于的二次方程有两个不等的正根，且一根大于另一

6、根的两倍，求的取值范围解： 由，得当及时，方程的两根为正，解之，得，故，记，由，并注意，得，即， 综上得取值范围为 点评：先解出，在不等式的转化过程中起了简化作用例11 解不等式解：>1, >0, 当 0<<1，即0<a<时，原不等式的解为;当a>时，解集为x|;当a=时，解集为R小结：1一元一次不等式、一元二次不等的求解要正确、熟练、迅速，这是解分式不等式、无理不等式、指数不等式、对数不等式的基础 带等号的分式不等式求解时，要注意分母不等于0，二次函数的值恒大于0的条件是且；若恒大于或等于0，则且若二次项系数中含参数且未指明该函数是二次函数时，必须考

7、虑二次项系数为0这一特殊情形2忽略对定义域的考虑以及变形过程的不等价，是解无理不等式的常见错误，因此要强化对转化的依据的思考3 数形结合起来考虑，可以简化解题过程，特别是填空、选择题，还可利用图形验证，解题的结果4解指数、对数不等式的过程中常用到换元法底数是参数时，须不重不漏地分类讨论化同底是解不等式的前提取对数也是解指数、对数不等式的常用方法之一，在取对数过程中，特别要注意必须考虑变量的取值范围当所取对数的底数是字母时，随时要把“不等号是否变向”这一问题斟酌再三5解含参数的不等式时，必须要注意参数的取值范围，并在此范围内对参数进行分类讨论分类的标准要通过理解题意（例如能根据题意挖掘出题目的隐

8、含条件），根据方法（例如利用单调性解题时，抓住使单调性发生变化的参数值），按照解答的需要（例如进行不等式变形时必须具备的变形条件）等方面来决定，要求做到不重复、不遗漏解不等式是不等式研究的主要内容，许多数学中的问题都可以转化为一个解不等式的问题，如函数的定义域、值域、最值和参数的取值范围，以及二次方程根的分布等因此解不等式在数学中有着极其重要的地位，是高考的必考内容之一学生练习 1不等式4x>的解集是（ ）Ax| x<或x> Bx| x>且xCx| <x<0或x> Dx| <x<答案: C 2不等式<0的解集是（ ）Ax|2<x

9、<3 Bx|x<2或x>3 Cx|x>2 Dx|x<3答案: B3不等式>x3的解集是（ ）Ax|3x<5 Bx|3<x5 Cx|1x<3或3<x<5 Dx|1x<5答案: D4不等式1lg(2x1)>lgx的解集是（ ）Ax|2<x< Bx|0<x< Cx|<x< Dx|x>答案: C 5不等式组与不等式(x2)(x5)0同解，则a的取值范围是（ ）Aa>5 Ba<2 Ca5 Da2答案: D 提示: 不等式组的解是2x5且x(xa)0, 即要求x(xa)0的解

10、包含2x5， a<26不等式>3的解集是（ ） Ax|x< Bx|x<或x>0 Cx|x>且x0 Dx|<x<0答案: B 7不等式<2的解集是（ ） Ax|x> Bx|x<或x> Cx|x> Dx|<x<答案: B 8不等式ax2ax(a1)<0的解集是全体实数，则a的取值范围是（ ）A(, 0) B(, 0)(,+) C(, 0 D(, 0(,+) 答案: C 提示: 不等式ax2ax(a1)<0的解集是全体实数, a=0时成立，当a<0时, 判别式<0,得a<0时成立，

11、a(, 09不等式log<log(8x)的解集是（ ）Ax|<x<2或x>7 Bx|<x<8 Cx|<x<2或7<x<8 Dx|x<4答案: C 提示: >0, 8x>0且>8x, 解得<x<2或7<x<810若不等式f (x)0的解集是F, 不等式g(x)<0的解集是G，则不等式组的解集是A B CFG DFG答案: B提示: f (x)<0的解集是, g(x)0的解集是, 不等式组的解集是11不等式<x2的解集是（ ）A (,)(,+) B (,) C (1,+)

12、D (,+)答案: D12解不等式ax2bx2>0得到解集x|<x<，那么ab的值等于A10 B10 C14 D14答案: D 提示: x1x2=, 13不等式(x3)(x2)(5x)>0的解集是 答案: x<2或3<x<5 14不等式9 x2·3x+124>0的解集是 答案: x>log 3 2 提示: 设3x=t, t26t16>0, t>2或t<8, x>log 3 215函数y=lg(x22x2)的定义域是 答案: x<1或x>3 16设全集I=R，集合M=x|>2, N=x|lo

13、g x7>log 37，那么M= 答案: x| x3或x2提示: Mx| x>2或x<2, N=x| 1<x<3, M= x| x3或x217满足不等式<05 n<的最小整数n是 答案: n=6 18若0<a<1，则关于x的不等式a2x1a(x1)的解集是 答案: x 提示: (a2a)x1a, 0<a<1, a2a<0, x19不等式a>105lga (a>0, a1)的解集是 答案: 当0<a<1时,3<x<5; 当a>1时, x<3或x>5提示: 105lgaa5

14、, 当0<a<1时,x22x10<5, 3<x<5; 当a>1时, x22x10>5, x<3或x>520不等式logsinx(x29)>0的解集是 答案: x| <x<或3<x<提示: 0<sinx<1且0<x29<1, x|2<x<或0<x<或并且x| <x<3或3<x<, x| <x<或3<x<21曲线x2y2xy=0的最高点的坐标是 答案: (1, 1)提示: =44y20, y21, ymax=1, 此时x

15、=1, 最高点的坐标是(1, 1)22解关于x的不等式<答案：当a2时，解集为空集；当a>2时, x<a1提示： 2xa>0, x1>0, 2xa<x1, x>, x>1, 当a2时,解得x<a1<1,矛盾；当a>2时, >1， x<a123已知正三角形ABC的三个顶点是A(a, 0), B(a, 0), C(0, a)，其中a>0，连接AB边上的点P(x, 0)及AC边上的点Q的线段PQ把ABC的面积二等分,求|PQ|的最大值和最小值答案：最小值是a， 最大值是a提示：|AP|AQ|sin60°=

16、a 2, |AP|=xa, |AQ|=|PQ|2=(xa)2()24a2cos60°2a2, |PQ|的最小值是a，再讨论函数的增减性，得当x=0或x=a时,取得最大值为a24 已知6<a<10, b2a, c=ab, 则c的取值范围是（ ）A9c30 B9c18 C9<c<30 D15<c30答案：C提示： <c<3a, 9<c<3025 不等式6x2 5x<4的解集为（ ）A(，4/3)(1/2, +) B(4/3, 1/2) C(, 1/2)(4/3, +) D(1/2, 4/3)答案：B26 a>0, b>

17、;0, 不等式a>>b的解集为（ ）A<x<0或0<x< B x<或x>C<x<0或0<x< D <x<答案：B27 与不等式同解的不等式是（ ）A(x3)(2x) 0 B0<x21 C 0 D(x3)(2x)>0答案：B 提示：的解是2<x3, 0<x21的解也是2<x328 不等式 >x2 的解集是（ ）Ax1<x<5 Bxx<5 Cx2x<5 Dxx>2答案：B29 若f (x)=x, 则当x>1时，f (x) f 1(x)(填>

18、;, <或=)答案：<30 当0x2时，f (x)= 的最大值为 ;最小值为 答案：3；11 提示：f (x)=2(2x3)211, 当x=0时,最大值为3，当x=log23时,最小值为1131 函数f (x)=log2 (x24), g (x)= (k<1), 则f (x)g (x)的定义域为 答案：2k, 2)(2, +) 提示：x24>0, 得x>2或x<2, x2k0, 得x2k, x2k, 2)(2, +)32 A=x, B=xx2(a5)x5a<0, 若ABxx<5, 则a的取值范围是 答案：, 1提示：A=x| 1<x<2)或x, B=x| a<x<5, 1a, a, 133 不等式x222<0的解集是 答案：1<x<1 提示：x222<0,其中|x|, 解得1<|x|<1, 1<x<134 若x、yR, 且x2y2=1,则 (1xy)(1xy)的最大值为 ;最小值为 答案：1；35若二次方程x22mx4x2m24m2=0有实根，则两根之积的最大值为 答案：104提示：x22mx4x2m24m2=0有实根，0, 解得x, x1x2=2m24m2, 当m=时, x1x2取最大值为10436