概率论与数理统计 许承德 习题八答案

1、习 题 八 1设是从总体中抽出的样本，假设服从参数为的指数分布，未知，给定和显著性水平，试求假设的检验统计量及否定域. 解 选统计量 记则，对于给定的显著性水平，查分布表求出临界值，使因 ，所以，从而可见的否定域为. 2某种零件的尺寸方差为，对一批这类零件检查6件得尺寸数据（毫米）：32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 21.87, 31.03。设零件尺寸服从正态分布，问这批零件的平均尺寸能否认为是32.50毫米（）. 解 问题是在已知的条件下检验假设 的否定域为其中，因，所以否定，即不能认为平均尺寸是32.5毫米。 3设某产品的指标服从正态分布，它的标准差为，今抽了一个容量

2、为26的样本，计算平均值1580，问在显著性水平下，能否认为这批产品的指标的期望值不低于1600。 解 问题是在已知的条件下检验假设 的否定域为，其中 . . 因为，所以接受，即可以认为这批产品的指标的期望值不低于1600. 4一种元件，要求其使用寿命不低于1000小时，现在从这批元件中任取25件，测得其寿命平均值为950小时，已知该元件寿命服从标准差为小时的正态分布，问这批元件是否合格？（） 解 设元件寿命为，则，问题是检验假设. 的否定域为，其中因为所以否定，即元件不合格. 5某批矿砂的5个样品中镍含量经测定为：设测定值服从正态分布，问能否认为这批矿砂的镍含量为？ 解 问题是在未知的条件下

3、检验假设 的否定域为因为所以接受，即可以认为这批矿砂的镍含量为3.25. 6糖厂用自动打包机打包，每包标准重量为100公斤，每天开工后要检验一次打包机工作是否正常，某日开工后测得9包重量（单位：公斤）如下：问该日打包机工作是否正常（；已知包重服从正态分布）？ 解 ， 问题是检验假设 的否定域为.其中因为所以接受，即该日打包机工作正常. 7按照规定，每100克罐头番茄汁中，维生素的含量不得少于21毫克，现从某厂生产的一批罐头中抽取17个，测得维生素的含量（单位：毫克）如下已知维生素的含量服从正态分布，试检验这批罐头的维生素含量是否合格。 解 设为维生素的含量，则，. 问题是检验假设 （1）. （

4、2）选择统计量并计算其值： （3）对于给定的查分布表求出临界值. （4）因为。所以接受，即认为维生素含量合格. 8某种合金弦的抗拉强度，由过去的经验知（公斤/厘米2），今用新工艺生产了一批弦线，随机取10根作抗拉试验，测得数据如下： 10512，10623，10668，10554，10776， 10707，10557，10581，10666，10670.问这批弦线的抗拉强度是否提高了？（） 解 ，. 问题是检验假设 （1）. （2）选统计量并计算其值. （3）对于，查分布表，得临界值. （4）因，故否定即认为抗拉强度提高了。 9从一批轴料中取15件测量其椭圆度，计算得，问该批轴料椭圆度的总体方

5、差与规定的有无显著差别？（，椭圆度服从正态分布）。 解 ，问题是检验假设. （1）. （2）选统计量并计算其值 （3）对于给定的，查分布表得临界值 . （4）因为所以接受，即总体方差与规定的无显著差异。 10从一批保险丝中抽取10根试验其熔化时间，结果为 42，65，75，78，71，59，57，68，54，55.问是否可以认为这批保险丝熔化时间的方差不大于80？（，熔化时间服从正态分布）. 解 ， 问题是检验假设. （1）； （2）选统计量并计算其值 （3）对于给定的，查分布表得临界值 . （4）因，故接受，即可以认为方差不大于80。 11对两种羊毛织品进行强度试验，所得结果如下 第一种 1

6、38，127，134，125； 第二种 134，137，135，140，130，134.问是否一种羊毛较另一种好？设两种羊毛织品的强度都服从方差相同的正态分布。 解 设第一、二种织品的强度分别为和，则 问题是检验假设 （1） （2）选统计量并计算其值. （3）对于给定的，查分布表得临界值 . （4）因为，所以接受假设，即不能说一种羊毛较另一种好。 12在20块条件相同的土地上，同时试种新旧两个品种的作物各十块土地，其产量（公斤）分别为 旧品种 78.1, 72.4, 76.2, 74.3, 77.4, 78.4, 76.0, 75.5, 76.7, 77.3; 新品种 79.1, 81.0,

7、77.3, 79.1, 80.0, 79.1, 79.1, 77.3, 80.2, 82.1;设这两个样本相互独立，并都来自正态总体（方差相等），问新品种的产量是否高于旧品种？（） 解 设为新品种产量，为旧品种产量；，问题是检验假设 ， ， 选统计量并计算其值： 对给定的，查分布表得临界值. 因为故接受，即新品种高于旧品种. 13两台机床加工同一种零件，分别取6个和9个零件，量其长度得，假定零件长度服从正态分布，问可否认为两台机床加工的零件长度的方差无显著差异？ 解 问题是检验假设 选统计量并计算其值 对给定的查分布表得临界值，. 因 故接受，即无显著差异. 13甲、乙两台机床加工同样产品，从

8、它们加工的产品中各抽取若干，测得直径（单位：mm）为 甲：20.5, 19.8, 19.7, 20.4, 20.1, 20.0, 19.0, 19.9; 乙：19.7, 20.8, 20.5, 19.8, 19.4, 20.6, 19.2.问甲、乙两台机床加工的精度有无显著差异？（，产品直径服从正态分布。） 解 设甲加工的直径为，乙为. ，. ， ， ，问题是检验假设 选统计量并计算其值 .对于给定的，查分布表得临界值， 因，故接受，即精度无显著差异. 14一颗骰子掷了120次，得下列结果：点 数123456出现次数232621201515问骰子是否匀称？（） 解 用表示掷一次骰子出现的点数，

9、其可能值为1，2，3，4，5，6。问题是检验假设 这里， ，故查分布表，得临界值因为故接受，即骰子匀称。 15从一批滚珠中随机抽取50个，测得它们的直径（单位：mm）为15.015.815.215.115.914.714.815.515.615.315.115.315.015.615.714.814.514.214.914.915.215.015.315.615.114.914.214.615.815.215.915.215.014.914.814.515.115.515.515.115.115.015.314.714.515.515.014.714.614.2是否可以认为这批钢珠的直径服从正

10、态分布？（） 解 数据中最小的为14.2，最大者为15.9，设，欲把分成七个（相等的）区间，则区间长度（组距）为得分点它们把实数轴分成七个不相交的区间，样本值分成了七组：1325310416586672 设钢珠的直径为，其分布函数为，我们的问题是检验假设：. 其中未知. 在成立之下，和的极大似然估计为，. 在上面的表中第1组和第7组的频数过小，把它们并入相邻的组内，即分成5组，分点为，.统计量的值计算如下表：180.14927.460.540.29160.039092100.214010.70.70.490.045793160.273613.682.325.38240.39345480.218

11、010.92.98.410.77156580.14527.260.740.54760.0754350150015.12161.24997即，对于查分布表得临界值. 因，故接受，即认为钢珠直径服从正态分布. 16设，假设随机变量在上是均匀分布的，今对进行100次独立观察，发现其值落入的频数分别为30，20，36，14，问均匀分布的假设，在显著性水平为0.05下是否可信。 解 检验假设：检验计算表如下：1302551220255133625114.8441425114.841001100011.68统计量对于，查得因为所以不接受，即不能相信.习 题 九 1一批由同样原料织成的布，用五种不同的染整工

12、艺处理，然后进行缩水试验，设每种工艺处理4块布样，测得缩水率的结果如下表布样号缩 水 率12344.37.83.26.56.17.34.24.16.58.38.68.29.38.77.210.19.58.811.47.8问不同的工艺对布的缩水率是否有显著的影响 解 ，查附表5得.序号 12344.37.83.26.56.17.34.24.16.58.38.68.29.38.77.210.19.58.811.47.821.821.731.635.337.5147.9475.24470.89998.561246.091406.254597.03131.82112.24252.34316.03358

13、.491149.25131.82112.24252.34316.03358.491170.92方差分析表方差来源平方和自由度均方值工 艺误 差55.5321.6741513.88251.44479.6095*总 和77.2019因为，所以工艺对缩水率有显著影响. 2灯泡厂用4种不同配料方案制成的灯丝生产了四批灯泡，今从中分别抽样进行使用寿命的试验，得到下表的结果（单位：小时），问这几种配料方案对使用寿命有无显著影响？（）试验号寿 命1234567816001610165016801700172018001850164016401700175014601550160016201640166017

14、401820151015201530157016001680 解 ，查附表5得 为简化计算从上表的试验结果中都减去1600再除以10得下表寿命序号12345678015810122025441015145024614229873085658291912431363364841361448672.8105.12560.1671286.0927349829572642937 ， ， ， 方差分析表方差来源平方和自由度均方F值配 料误 差6.94716.5093222.3130.7273.18总 和23.45625 因为，故不显著. 3在单因素试验方差分析模型式（9.2）中，是未知参数，求的点估计和

15、区间估计. 解 因为，所以的点估计为. 由定理9.1知，再由定理6.1知与相互独立，又由独立，知与独立，从而与独立，又由分布的定义知其中 对于给定的，查分布表求出临界值，使在上式括号内将暴露出来得在置信度下的置信区间 4在单因素试验方差分析模型式（9.2）中，是未知参数，试证是的无偏估计，且的下的置信区间为 证：因为，所以，即于是故 是的无偏估计； 因为 所以对于给定的，查分布表求出临界值和使得式中将暴露出来得故的置信度为下的置信区间为 证毕 5验证式（9.24）的解能使达到最小值. 证：是函数的驻点. 而 由柯西不等式知，而所以是的极小点，而存在最小值，故能使达到最小值. 6利用定理9.2证

16、明，在假设成立的条件下，统计量并利用它检验9.2中例1所得的回归方程的显著性 证：因为 所以 在成立的条件下又由分布的定义知. 证毕 今利用统计量检验回归方程的显著性.对于给定的查分布表得临界值. 因为，所以回归方程显著. 7利用定理9.2证明回归系数的置信区间为并利用这个公式求9.2中例1的回归系数的置信区间（置信度为0.95）. 解 由定理9.2知对于给定的，查分布表求出临界值，使在上式的大括号内，将暴露出来得故的置信度为下的置信区间为 证毕在例1中 ， .所以的置信度为0.95下的置信区间为 8在钢线碳含量对于电阻时，微欧）效应的研究中，得到以下的数据0.010.300.400.550.

17、700.800.951518192122.623.826 设对于给定的为正态变量，且方差与无关. （1）求线性回归方程; （2）检验回归方程的显著性； （3）求的置信区间（置信度为0.95）； （4）求在处的置信度为0.95的预测区间. 解 我们用下表进行计算序号12345670.100.300.400.550.700.800.951518192122.623.8260.010.090.160.30250.490.640.9025225324361441510.76566.446761.55.47.611.5515.8219.0424.73.8145.42.5953104.285.61平均0.

18、54320.77 , , , , （1） , ， 所以回归方程为 （2）我们用方差分析表来检验回归方程的显著性方 差 分 析 表方差来源平方和自由度均 方F值回 归1剩 余5总 和6其中 . 查F分布表求出临界值 因为 所以回归方程高度显著. （3）由第7题知，的置信度为下的置信区间为此处, . 所以的置信度为0.95下的置信区间为（11.112, 13.987） （4）, .故在处的置信度为0.95的置信区间为 9在硝酸钠的溶解度试验中，对不同的温度测得溶解于100ml水中的硝酸钠质量的观测值如下：041015212936516866.771.076.380.685.792.999.6113

19、.6125.1从理论知与满足线性回归模型式（9.20） （1）求对的回归方程； （2）检验回归方程的显著性； （3）求在时的预测区间（置信度为0.95）. 解 计算表如下序号123456789041015212936516866.771.076.380.685.792.999.9113.6125.10161002254418411296260146244448.895041.005821.696496.367344.498630.419980.0112904.9615560.01028476312091799.72694.13596.45793.68506.8234811.81014476317.8224646.6 , （1）对的回归方程为 ； （2）方差分析表如下方差来源平方和自由度均 方F 值回 归3086.2513086.25=2996.36剩 余7.2171.03总 和3093.468 查F分布表求出临界值 因 ，故方程高度显著. （3）在时的置信度为0.95下的预测区间为. 10某种合金的抗拉强度与钢中含碳量满足线性回归模型式（9.20）今实测了92组数据并算得 （1）求对的回归方程； （2）对回归方程作显著性检验； （3）当含碳量时求的置信度为0.95的预测区间； （4）若要控制抗拉强