模n的剩余类环的子环

1、模的剩余类环的子环作者：* 指导老师：*摘要：模剩余类环是一种比较透彻的特殊环，模的剩余类环为有限可换环、整环及域都提供了丰富的例证，剩余类环对Euler函数关系式、Eis emstein判别法、整数多项式无整数根、Euler定理及Fermat小定理等数论的古典结果给出纯代数的证明.并从代数的角度观察熟知完全及简化剩余系的一些性质.关键字：模剩余类环的子环 幂等元 理想1 引言 环是有两个二元运算建立在群的基础上的一个代数系统，因此它的许多基本概念与理论是群的相应内容的推广，同时环也有一些特殊的问题，例如因子分解问题等.2 模的剩余类环的子环的性质和运用2.1 基本概念定义 任取正整数, 令

2、则为个剩余类的集合，对任意，规定，则关于这两个运算做成一个环, 且是一个具有单位元的交换环, 称之为以为模的剩 余类环, 或简称模剩余类环. 定义 对任意, 若类中有一个整数与互素, 则这个类中所有整数均同互素, 因此称类与互素. 定义 称环的一个非空子集 叫做的一个理想子环, 假如: (i), (ii), 在代数运算中, 我们都知道若, 则必有, 相反若, 则必有或成立, 而在环中是否还存在这样的运算性质呢?我们有 ：定义 模剩余环中, 如果任意元, 但, 那么称 为的一个左零因子, 为的一个右零因子, 若的左零因子与右零因子都为,称为的零因子. 定义 一个环中若有元素使得, 有, 那么称元

3、素 叫做环的单位元，记作1.定义 在环中, 如果, 满足: 任意, 有, 则称是中的逆元，且与互逆.定义 设为任意一个环,而是的理想.那么称作 关于理想的剩余类环(也叫商环或差环),其中中, 每个元素叫作模的剩余类.定义 模剩余环的乘法群 (当为素数,中的所有非零元作成乘法群, 当为合数,中的所有可逆元作成乘法群)中, 适合的元素 称为环的一个幂等元.定义 设,若存在使得, 则称整除 ,记为,称为的因数,而称为的倍数. 否则,称不整除.2.2 剩余类环的基本性质定理 在模 剩余环中,若,则有.定理在中,每个元素的倍均为零.即.定理 设, 则的充要条件为.2.3 剩余类环的一般性质利用已有的定义

4、和基本性质,可以得出模剩余环 的更一般的一些性质.1 模剩余环是交换环.2 在模剩余环中,所有左右零因子都是其零因子.3 模剩余环是无零因子环的充分必要条件是为素数.4 设为无零因子环(模大于1),那么加群中每一个非零元素的阶必相同.5 模剩余环为整环的充分必要条件是为素数.6 对于, (1)是特征为的有单位元的可换环; (2) 环是域为素数. 7 模剩余类环的所有子群(对加法)是循环子群.例：设,若,则.证明: 因为 ,故,从而有整数使 ,如果,则由上式可知,是与的一个公因数,这与矛盾.因此 .2.4 群与其子群有相同的单位元，环与其子环有相同的零元，但子环不一定有单位元.例如是的子环，无单

5、位元，而且子环即使有单位元，单位元也不一定与环的单位元相同，与都是的子环，但的单位元是，的单位元是，它们都与的单位元不同.2.5 是素数的充要条件是模的剩余类环是域.它的每个非零元都是可逆元，全体非零元关于环的乘法组成一个阶的群.由域是整环以及易证：当是素数时，（）是整数环的素理想，也是整数环的极大理想，事实上，有是含幺交换环，的理想（)是素理想是整环是素数，由是含幺交换环，的理想（)是极大理想是域为素数. 另外，由域的特征数是素数且是一个素数.任意一个素域的特征数或者为0或者为素数，当为0时，当为素数时，.3 的子环、域、零环3.1 定义设是正整数，是素数，是模的剩余类环，是的子环.我们将得

6、到如下结果：（1）设，则是有零因子无单位元的环；（2）设，当，则是域，当时，是零环.（3）设，则是有零因子无单位元的环.3.2 命题证明命题 当，其中是素数时，则的阶子环是含零因子无单位元的环.证明 的阶子环，（1) 当时，则，所以是无单位元的零元.（2) 当时，取，是有零因子的环下证是无单位元的环设有单位元，有，即,得到 取 ，则因为所以而 不整除 故故不是整数，无单位元.命题 若，是素数，是大于1的正整数，当时.的阶子环是域；且；当时，的阶子环是零环.证明 的阶子环（1） 当时，所以是零环.（2） 当时，若，只要时，所以有，即是无零因子环，又有限，所以是域.设是的单位元，则，有即，取，得.

7、因为为整数，只要适当选取使为整数，即可求得单位元.命题 设，其中是合数，则的阶子环是含零因子的无单位元的环.证明 因是合数，设，的阶子环，取，则，故含有零因子.设有单位元，,有，即，（1) 设时，在取，如有整数解，即整数方程中有整数解，所以方程有整数解的充要条件为，与假设矛盾，所以无单位元.（2） 设，在式中取，有整数解即为整系数方程有整数解，有整数解的充要条件是：.因，故不整除与假设矛盾，故无单位元.我们还相应的讨论了商环在什么条件下是域或是有零因子无单位元的环.命题 设是正整数，是由生成的环，则商环（是正整数，且）是含零因子，无单位元的环.证明 当时，是有限零环.事实上，当时，取，所以是含

8、零因子的环.设有单位元，则,有，即,取，,因为，,所以不存在整数，故无单位元.命题 设是正整数，是素数，是由生成的环，则商环，当时是域且，当时是零环.证明 设,1 时，,如果,因为，所以,当时，即,所以是无零以你的环，中消去率成立，又是有限，所以是域.设是的单位元，有对应于,即可得.2 时，,，所以是零环.命题 设是正整数，且是合数，是由生成的环，则商环是含零因子无单位元的环.证明 是阶环.设，取，则所以是有零因子的环.设有单位元，有，即所以 (*)（1) 当时，在(*)式中取，即找到正整数使得，有整数解的充要条件是，而与假设矛盾，所以无单位元.4 模的剩余类环，对幂等元的存在4.1 设是一个

9、模的剩余类环，考察中的乘法群（当为素数，中非零元作成乘法群;当为合数则有中可逆的元作成乘法群），我们首先定义如下.定义：群中适合=的元素称为环的一个幂等元由定义可知群中的单位元是的一个幂等元，且显然有反之，若是环的一个幂等元，则必是的一个乘法群的单位元;例如是一元群的单位元.在一个低阶的模的剩余类环，例如中，不难通过测试的方法确定其幂等元；一般地，在模的剩余类环中则可如下考虑.设施环中的一个幂等元，那么，我们有 （1） 因而 （2）即和是互素的、相邻的整数；且若为整数，有，若为合数，不妨设n=，不考虑的幂等元（即e既非环的零元也非单位元），或将分别是的因子的倍数；此时可考虑取该因子的倍数判断是

10、否为环的幂等元.例如，设，于是在中若是取，则首先我们有9（9-1）0或者即是中的一个幂等元；其次，由于9和（9-1）=8互素，故在上式两端分别加上，则可推算出并得到适合（2）式得两个相邻整数64和63，于是由，又可得到中的另一个幂等元10.对于上述中的两个幂等元9和10，容易看出它们还具有如下有趣的性质：10+91（），1090() 因而，我们有如下4.2 命题：设R是一个有单位元的环，是的非零非单位元的幂等元，则也是的幂等元，且具有性质：.证明 事实上，由是的一个幂等元；又，.于是命题得证.运用该命题，我们已经可以容易地从中的一个非零非单位元幂等元求出另一个幂等元例：已知=13是的一个幂等元

11、,则由F=1-e=1-13=-12=14(mod n)故=14也是的一个幂等元由命题，我们还可以得出关于中的幂等元与元素之间另一关系的如下结果：设n=,且幂等元是或其倍数，则中每一个元素均可表为中幂等元和的唯一组合： （*）其中幂等元的系数,而幂等元的系数,例如：在上述中，=26=132,幂等元为13；任取=17,则由（*）有其中，而. 以上讨论了模的剩余类环中幂等元的存在和求法，那么，对于给定的一个整数，可以是哪一个模的剩余类环的幂等元呢？若要为的幂等元，则应有：于是对于给定的一个整数，取定一个的因子,便可在模的最小非负剩余系中确定以为幂等元的包含于的群，为此，对于,令 （4）则 (1)Zn

12、中以，幂等元为单位元的乘法群；(2)R中属于G的元必须是一个关于R和G共同的单位元的的有逆元的元.为此，令：,则是一个满足要求的、由R的可逆元作成、包含幂等元的乘法群.例： 设=25，则n是的一个因子，不妨设=30，则显然有，而由（4）式得：不难判断R中关于单位元=25的可逆元为5,25，因此为所求中包含幂等元=25的乘法群.至此，上述对于模n的剩余类环及其乘法群的一些讨论，阐述了群与环的部分关系;有群的单位元导出了幂等元，并给出了如何在中去确定幂等元；反之，对于给定的一个整数，也可以确定以其为幂等元的换及其所构成的乘法群.5 模剩余类环的理想结论：模剩余类环的所有理想都是主理想.证明： 对循

13、环子群(对加法), ,根据理想的定义,有1) ;2) ,同理;所以做为一个理想,显然是主理想.由定理上叙定理的证明过程可以看出:所有循环子群(对加法)加上乘法都是模剩余类环的主理想.定理5.1 环有且只有T ()个子环(其中T ()表示的正因子的个数), 而且是一个阶循环环,从而其子加群、子环、理想是一致的.定理5.2 设是模剩余类环,则（1） 若是素数,是域,则只有零理想和单位理想;（2） 是域充分必要条件是()是的极大理想.证明 (1) 显然成立. （2）由上述定理6知是域充分必要条件是为素数. 因此只须证明()是的极大理想的充分必要条件是为素数.由于是有单位元的交换环, 设主理想.若()

14、为极大理想,如果不是素数,则必有,于是,但,是的真包含()的理想.由()为极大理想知.但矛盾,所以是素数.反之,设是素数,是的理想,且, 则存在. 因为是素数, 所以与互素.于是存在,使 ,由可知因为, 所以( n )是极大理想在模剩余类加群及其子群中，是单位元（有时也称零元），的逆元是.但在模剩余类环中，必称零元，的负元记作.又知“是的可逆元”，“是的零因子（注意这里）.6剩余类环的应用本节将利剩余类环对Euler函数关系式、Eisenstein判别法、整系数多项式无整数根、Euler定理及Fermat小定理等数论的古典结果给出纯代数的证明.并从代数的角度观察熟知完全及简化剩余系的一些性质.

15、定理6.1 (Euler函数关系式)为Euler函数当时,有.证 时,而 , , ,所以.注:为方便起见下面出现的函数,都是Euler函数.定理6.2 (Eisenstein判别法):设是一个整系数多项式,如果有一个质数,使得满足条件:i) P不整除;ii) P|();iii) 不整除,那么在中不可约.证 首先令,其中表示的模剩余类.现反设在中可约,其中.,.于是,另一方面.因|()不整除,故,于是有,，这说明的常数项,的常数项,那么|且|,所以|,这与不整除矛盾,故不可约.定理6.3(整系数多项式无整数根):设是整系数多项式,且及都是奇数,则无整数根.证 令,其中表示的模2剩余类,反设有一整

16、数根.而或,若,则有,故有2|矛盾.若,则有,故2|,矛盾.故反设不成立,即无整数根.定理6.4(Euler定理)设是大于1的整数,则.证 因,又,a-U(Z/(n),但单位群的阶为,所以,即,所以).定理6.5(Fermat小定理)若是质数,则.证 若,由Euler定理及,即得,因而,若,则,故.下面从代数的角度观察完全及简化剩余性质.定理6.6设为模的完全剩余系,则也是模的完全剩余系.证 由题设知,而从得可逆,故有,从而也是模的完全剩余系.定理6.7设为模的简化剩余系,则也是模的简化剩余系.证 由题设知,又因,得知可逆,故,从而是模的简化剩余系.结束语模剩余类环是一种比较透彻的特殊环，模的

17、剩余类环为有限可换环、整环及域都提供了丰富的例证.模剩余类环的所有理想是主理想，并且它们都可由的所有因子作为生成元生成的(或者由与其所有因子的差作为生成元生成)，它们的个数都为的欧拉数.使我们得以迅速求解其子环和理想.且当是素数时，模剩余类环只有零理想和单位理想.参考文献 1 朱德高. 关于模n剩余类环J. 高等函授学报(自然科学版), 1996,(02) . 2 唐再良. 论模n剩余类环Z_n的性质与扩张J. 绵阳师范学院学报, 2008,(08) . 3 陈水林. Z/(n)模n剩余类环的构造J. 咸宁师专学报, 1994,(04) . 4 单桂华,张琴,叶涛. 模n的剩余类Z/(n)的几

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