椭圆专题复习讲义

1、椭圆专题复习知识梳理1. 椭圆定义：（1）第一定义：平面内与两个定点的距离之和为常数的动点的轨迹叫椭圆,其中两个定点叫椭圆的焦点.（2）椭圆的第二定义:平面内到定点与定直线(定点不在定直线上)的距离之比是常数()的点的轨迹为椭圆（利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）.2.椭圆的方程与几何性质:标准方程性质参数关系焦点焦距范围顶点对称性关于x轴、y轴和原点对称离心率准线考点1 椭圆定义及标准方程 题型1:椭圆定义的运用OxyDPABCQ例1 (湖北部分重点中学2009届高三联考)椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆

2、的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是A4aB2(ac)C2(a+c)D以上答案均有可能 解析按小球的运行路径分三种情况:(1),此时小球经过的路程为2(ac);(2), 此时小球经过的路程为2(a+c);(3)此时小球经过的路程为4a,故选D【名师指引】考虑小球的运行路径要全面1.短轴长为，离心率的椭圆两焦点为F1，F2，过F1作直线交椭圆于A、B两点，则ABF2的周长为（ ）A.3 B.6 C.12 D.242.已知为椭圆上的一点，分别

3、为圆和圆上的点，则的最小值为（ ） A 5 B 7 C 13 D 15 3设k1，则关于x，y的方程（1k）x2+y2=k21所表示的曲线是（）A.长轴在x轴上的椭圆 B.实轴在y轴上的双曲线C.实轴在x轴上的双曲线 D.长轴在y轴上的椭圆 4椭圆的长轴长为（ ）A2 B.3 C.6 D. 9 5已知椭圆（）的两个焦点为,以为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另外两条边，且，则等于_.题型2 求椭圆的标准方程例2 设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为4，求此椭圆方程.【解题思路】将题中所给条件用关于参数的式子“描述”出来解

4、析设椭圆的方程为或，则，解之得：，b=c4.则所求的椭圆的方程为或.【名师指引】准确把握图形特征，正确转化出参数的数量关系警示易漏焦点在y轴上的情况1. 如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数k的取值范围是_.2已知是椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，若的周长为8，则椭圆方程为（ ）A. B. C. D.3已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，它的长轴长等于圆的半径，则椭圆的标准方程是（ ）A B C D4.已知方程,讨论方程表示的曲线的形状5. 椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是，求这个椭圆方程.考点2 椭圆的几何性质

5、题型1:求椭圆的离心率（或范围）例3 在中，若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 【解题思路】由条件知三角形可解，然后用定义即可求出离心率解析 ，【名师指引】（1）离心率是刻画椭圆“圆扁”程度的量，决定了椭圆的形状；反之，形状确定，离心率也随之确定（2）只要列出的齐次关系式，就能求出离心率（或范围）（3）“焦点三角形”应给予足够关注【新题导练】1.如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍,那么这个椭圆的离心率为 . . . . 2.已知m,n,m+n成等差数列，m，n，mn成等比数列，则椭圆的离心率为 3已知椭圆方程，椭圆上点M到该椭圆一个焦点F1的距离是2，N是MF1的中点，O是椭圆的中心，那

6、么线段ON的长是（）A.2 B.4 C.8 D.4设分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，线段的中点在轴上，若，则椭圆的离心率为（ ）A B C D5椭圆与渐近线为的双曲线有相同的焦点,为它们的一个公共点,且,则椭圆的离心率为（ )（A） （B) （C） （D) 6已知椭圆的上、下顶点分别为、，左、右焦点分别为、，若四边形是正方形，则此椭圆的离心率等于A B C D7过点M（1，1）作斜率为的直线与椭圆C：+=1（ab0）相交于A，B，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为（ ）A B C D8椭圆的两个焦点分别是，若上的点满足，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A B C D或 9椭圆1(a

7、>b>0)的两顶点为A(a,0)，B(0，b)，且左焦点为F，FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为()A B C D题型2:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）例4 已知实数满足,求的最大值与最小值【解题思路】 把看作的函数 解析 由得,当时,取得最小值,当时,取得最大值6【新题导练】1.已知点是椭圆（，）上两点,且,则= 2.如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点则_3已知椭圆上存在两点、关于直线对称，求的取值范围.考点3 椭圆的最值问题例5 椭圆上的点到直线l:的距离的最小值为_【解题思路】把动点到直线的

8、距离表示为某个变量的函数 解析在椭圆上任取一点P,设P(). 那么点P到直线l的距离为：【名师指引】也可以直接设点，用表示后，把动点到直线的距离表示为的函数，关键是要具有“函数思想”【新题导练】1.椭圆的内接矩形的面积的最大值为 2. 是椭圆上一点，、是椭圆的两个焦点，求的最大值与最小值3.已知点是椭圆上的在第一象限内的点，又、，是原点，则四边形的面积的最大值是_4已知是曲线上的动点，则的最大值为A. B. C. D.5点是椭圆上的一个动点，则的最大值为（ ）A B C D6若点和点分别为椭圆的中心和右焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最小值为A B C D17动点在椭圆上,若点坐标为,且,则的

9、最小值是（ )A. B. C. D.8在椭圆上有两个动点，为定点，则的最小值为（ ）A.6 B. C.9 D.92014·福建调研若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为()A.2 B.3 C.6 D.8中点弦问题1已知椭圆，则以点为中点的弦所在直线方程为( )A BC D2已知椭圆，则以点为中点的弦所在直线方程为( )A BC D3.椭圆的一条弦被平分,那么这条弦所在的直线方程是 A B C D焦点弦问题1已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且2，则C的离心率为_2（2011浙江）设F1，F2分别

10、为椭圆+y2=1的焦点，点A，B在椭圆上，若=5；则点A的坐标是_考点4 椭圆的综合应用题型：椭圆与向量、解三角形的交汇问题例6 已知椭圆的中心为坐标原点,一个长轴端点为,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且（1）求椭圆方程；（2）求m的取值范围【解题思路】通过，沟通A、B两点的坐标关系，再利用判别式和根与系数关系得到一个关于m的不等式解析（1）由题意可知椭圆为焦点在轴上的椭圆，可设由条件知且，又有，解得 故椭圆的离心率为，其标准方程为： （2）设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2） 得（k22）x22kmx（m21）

11、0（2km）24（k22）（m21）4（k22m22）>0 （*）x1x2， x1x2 3 x13x2 消去x2，得3（x1x2）24x1x20，3（）240整理得4k2m22m2k220 m2时，上式不成立；m2时，k2，因3 k0 k2>0，1<m< 或 <m<1容易验证k2>2m22成立，所以（*）成立即所求m的取值范围为（1，）（，1） 【名师指引】椭圆与向量、解三角形的交汇问题是高考热点之一，应充分重视向量的功能【新题导练】1.设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于、两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若，且，则点的轨迹方程是 （ ）

12、A. B. C. D. 解析 ，选A.2. 如图，在RtABC中，CAB=90°，AB=2，AC=。一曲线E过点C，动点P在曲线E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变，直线l经过A与曲线E交于M、N两点。 （1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程； （2）设直线l的斜率为k，若MBN为钝角，求k的取值范围。解：（1）以AB所在直线为x轴，AB的中点O为原点建立直角坐标系，则A（1，0），B（1，0）由题设可得动点P的轨迹方程为，则曲线E方程为（2）直线MN的方程为由方程有两个不等的实数根MBN是钝角即解得：又M、B、N三点不共线综上所述，k的取值范围是基础巩固训练1. 如图所示,椭

13、圆中心在原点,F是左焦点,直线与BF交于D,且,则椭圆的离心率为( ) A B C D 2. 设F1、F2为椭圆+y2=1的两焦点，P在椭圆上，当F1PF2面积为1时，的值为A、0B、1C、2D、34.在中，若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 5. 已知为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,若, 则此椭圆的离心率为 _.6.在平面直角坐标系中，椭圆1( 0)的焦距为2，以O为圆心，为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率= 综合提高训练1、已知椭圆与过点A(2，0)，B(0，1)的直线l有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率求椭圆方程2、已知A、B分别是椭圆的左右两个焦点，O为坐标原点，

14、点P）在椭圆上，线段PB与y轴的交点M为线段PB的中点。 （1）求椭圆的标准方程； （2）点C是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于ABC，求的值。3. 已知长方形ABCD, AB=2,BC=1.以AB的中点为原点建立如图8所示的平面直角坐标系.()求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的标准方程;OABCD图8()过点P(0,2)的直线交()中椭圆于M,N两点,是否存在直线,使得以弦MN为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.解析 ()由题意可得点A,B,C的坐标分别为.设椭圆的标准方程是.椭圆的标准方程是()由题意直线的斜率存在,可设直线的方程为.设M,N两点的坐标

15、分别为联立方程: 消去整理得, 有若以MN为直径的圆恰好过原点,则,所以,所以,即所以,即得所以直线的方程为,或.所以存在过P(0,2)的直线:使得以弦MN为直径的圆恰好过原点. 参考例题：1、从椭圆上一点向轴引垂线,垂足恰为椭圆的左焦点,为椭圆的右顶点，是椭圆的上顶点,且.、求该椭圆的离心率.、若该椭圆的准线方程是，求椭圆方程.解析 、 ，,， 又，, 而. 、为准线方程，, 由 所求椭圆方程为2、设是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，若，证明：的面积只与椭圆的短轴长有关 解析由 得，命题得证综合椭圆试题1已知椭圆（ab0）和直线l：ybx2，椭圆的离心率e，坐标原点到直线l的距离为（1）求椭圆

16、的方程；（2）已知定点E（1，0），若直线ykx2（k0）与椭圆相交于C，D两点，试判断是否存在实数k，使得以CD为直径的圆过定点E？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由2已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于 ，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.（）求椭圆C的方程；（）点P(2，3)， Q（2，-3）在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两恻的动点，若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；当A、B运动时，满足于APQ=BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由.3已知椭圆的离心率为，且过点（1）求椭圆的标准方程：（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC，BD

17、过原点O，若（）求的最值：（）求证：四边形ABCD的面积为定值.4已知椭圆E：的离心率，并且经过定点（1）求椭圆 E 的方程；（2）问是否存在直线y=-x+m，使直线与椭圆交于 A, B 两点，满足,若存在求 m 值，若不存在说明理由5已知椭圆的方程为，双曲线的左、右焦点分别是的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点（1）求双曲线的方程；（2）若直线与双曲线恒有两个不同的交点A和B，且（其中为原点），求实数的范围6设分别是椭圆的左，右焦点.（1）若是椭圆在第一象限上一点，且，求点坐标；（2）设过定点的直线与椭圆交于不同两点，且为锐角（其中为原点），求直线的斜率的取值范围.7已知椭圆的离心

18、率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切是椭圆的右顶点与上顶点，直线与椭圆相交于两点（1）求椭圆的方程； （2）当四边形面积取最大值时，求的值7如图所示，、分别为椭圆：的左、右两个焦点，、为两个顶点，已知顶点到、两点的距离之和为.（1）求椭圆的方程；（2）求椭圆上任意一点到右焦点的距离的最小值；（3）作的平行线交椭圆于、两点，求弦长的最大值，并求取最大值时的面积.8椭圆与直线交于、两点，且，其中为坐标原点.（1）求的值；（2）若椭圆的离心率满足，求椭圆长轴的取值范围.9已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆右焦点，且（）求椭圆的标准方程；（）若直线：与椭圆相交于，两点（都不是顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标10已知椭圆的一个顶点为，焦点在轴上，若右焦点到直线的距离为（）求椭圆的方程；（）是否存在斜率为，且过定点的直线，使与椭圆交于两个不同的点，且？若存在，求出直线的方程;若不存在,请说明理由11给定椭圆，称圆心在坐标原点，半径为的圆是椭圆的“伴随圆”.若椭圆C的一个焦点为，其短轴上的一个端点到距离为（）求椭圆及其“伴随圆”的方程；（）若过点的直线与椭圆C只有一个公共点，且截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为，求的值；（）过椭圆C“伴随圆”上一动点Q作直线，使得与椭圆C都只有一个公共点，试判断直线的