双曲线解答题5

1、双曲线解答题52 280、设双曲线 笃一与=1(a>0,b>0)上一点M(xo,yo),左、右焦点为Fi、F2,离心 a b率为e,记r|MF, ,r2 = MF2| ,求证该双曲线的焦半径公式是：ri= a +ex（）, r2 = a ex381、求证：以双曲线焦半径为直径的圆，必与以双曲线实轴为直径的圆相切82、求证：等轴双曲线上任一点到中心的距离是这点到两个焦点的距离的比例 中项83、已知双曲线的焦点为Fi、F2( F1F2 = 2c),实轴长为2a试证明：平面内到两 焦点Fi、F2的距离的平方差的绝对值等于(2a)2的点的轨迹是已知双曲线的两条 准线84、等轴双曲线的顶点A

2、,平行于实轴的弦MN,求证： AMN是直角三角形.85、 求证：双曲线上任一点到两条渐近线的距离的积等于定值.2 286、 经过双曲线-y1的右焦点F的直线I与一条渐近线I 1垂直于A，交8 16另一条渐近线l2于B，求证：线段AB被双曲线的左准线平分。2 287、已知双曲线C:笃-爲 JF1、F2分别是它的左右焦点 抛物线l的焦点与a bC的右焦点重合,l的准线与C的左准线重合,P是C和l的一个交点.求证：世d 一血九| PF2 | PF1 |288、点P在双曲线-a2 y b2=1 上,F1、F2为焦点, PF1F2的内切圆切x轴于A点,如图,求证：A为双曲线的顶点.2 289、已知AB是

3、双曲线务-占=1过焦点F1的任意一条弦，以AB为直径的圆 a2 b2被F1相应的准线截得圆弧 MN,求证：弧MN的度数为定值.90、求证：经过双曲线上任一点，作两条直线分别平行于两条渐近线，则围成的平行四边形的面积为定值91、 F1MF2的顶点Fl、F2是双曲线b2x2-a2y2=a2b2的两个焦点，点M在双曲线2 白上若/ FiMF2=r,求证： F1MF2的面积 S=b2ctg丁2 292、AB是双曲线笃-爲=1的一条弦,AB的中点为M,双曲线中心为O,如果AB、a bb2OM的斜率分别为k、ko,求证：kko=.a93、设一直线交双曲线于点 A、B,交双曲线的渐近线于点 C、D,求证：I

4、 AC = BD2 294、已知点A是双曲线笃-与=1上的动点，0是双曲线中心，线段0A的中点a b为M.试求点M的轨迹方程，并证明点M的轨迹是与已知双曲线离心率相等的双 曲线.95、 证明：两条准线把两焦点间的线段分成 1： 2： 1的双曲线是等轴双曲线.96、设双曲线的实轴长、虚轴长、焦距、离心率分别为 2a、2b、2c、e;焦点到 相应准线的距离叫焦准距，记为p;过焦点垂直于实轴的弦叫通径，其长度记为d.求b2证：(1)p= (2)d = 2ep.c97、设双曲线的焦点在渐近线上的射影为 G,求证：G是准线与渐近线的交点2 298、已知直线I和双曲线 笃-与=1(a>0,b>

5、0)及其渐近线依次交于 A,B,C,D a b四点(如图),求证：|AB|=|CD|.99、证明：双曲线的一条渐近线和一条准线交于 H点则由双曲线中心O到H 的线段长等于双曲线的实半轴长.2 2100、双曲线 牛-专=1( b> a> 0)上有两点A、B,它们与中心O的连线互相垂a b直'求证丘+a是定值.2 2101、双曲线x2 -yT=1中一条准线和一渐近线的交点为 M，与这条准线相对a b应的焦点为F,求证：MF与这条渐近线垂直。102、设A、B是等轴双曲线x2 y2=a2的两个顶点，MN是该双曲线垂直于x 轴的弦，如图所示，求证：/ MAN +Z MBN=1800.

6、2yz =1(a>0, b>0)的左焦点和右焦点，P是其右b2103、设F1、F2为双曲线2-a支上的一点(非顶点)，设/ PF1F2=a，/ PF2F1= B，e为双曲线的离心率,e -1求证：t *ctg 104、求证：双曲线的渐近线、过焦点与该渐近线垂直的直线以及对应此焦点 的准线经过同一点。105、过点P( 2,2 )的直线被双曲线x2 2y2=8截得的弦MN的中点恰好为P,求|MN|的值.，点M(3.2,2.4)是其准线和渐近线的交点,求106、已知双曲线以两坐标为对称轴 此双曲线的方程.2 2107、一个圆的圆心在双曲线釘bk% 0,b0)的右焦点F2上该圆过双曲线的中

7、心，交双曲线于点P直线PF1(F1是双曲线的左焦点)是该圆的切线，求双曲 线的离心率e.108、已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为C-3,0)。(1)求双曲线C的方程； 若直线I: y =kx 2与双曲线C恒有两个不同的交点 A和B，且OA OB 2（其中0为原点），求k的取值范围双曲线解答题5 解答与提示80、提示：利用双曲线第二定义81、提示：利用双曲线定义和三角形中位线定理证明两圆圆心距等于半径之 和或半径之差的绝对值。82、利用焦半径公式.2 283、设 Fi (- c, 0)、F2(c, 0), M(x , y)为轨迹上任意一点，则 |(x+c) +y -222a

8、(x - c) +y |=4a 所以 x =： c84、提示：证明MA、NA的斜率乘积为-1_2.285、提示：用距离公式计算，定值为光86、F(2.6,0), l_h =丨:JT¥6），代入渐近线方程2y16得.设AB中点的坐标为（X0,y0),贝U X0=(xa + xb)=-22.63左准线方程为x=-3、6, AB被左准线平分87、证明：|PFi |IPF2Ic又lPF1ITP护a -专晋12a2ca _ IPF21 cIPF1 |PFi | |FiF2 | |PFJ _ I PFi |PFi|-|PF2| IF1F2I|PiF2 |= | PF2 |88、证明： 如图：|P

9、Fi|=|PM|+ |MFi|=|PM|+ |FiA| |PF?|=|PN|+ |NF2|=|PN|+ |F2A| 又|PF1|PF2|=2a |FiA| + |F2A|=|FiF2|=2c, |PM|=|PN|得 |FiA| |F2A|=|FiF2| |F2A| |F2A|=2a 2|F?A|=2c 2a 二 |F2A|=c a A(a,O)即卩A为双曲线一个顶点，同理可证，点P在左支上时，点A ' ( a,0).89、先证圆与准线相交,然后得弧MN的弧度数为2arccose为双曲线离e 心率).90、定值为丄ab,a、b为双曲线的实半轴长、虚半轴长.291、提示：在厶FiMF2中使

10、用余弦定理，并结合|MFi - MF2 = =2a93、提示：设双曲线方程为92、提示：类比于椭圆。b2x2-a2y2=a2b2,则渐近线方程为b2x2-a2y2=0,再设直线方程，利用韦达定理证明线段AB与CD的中点重合.94、X2a 2(2)2=1离心率都为.a2 b2a95、略96、略97、略98、证明：若直线I不与x轴垂直，则可设I的方程为y=kx+m,代入双曲线方程 b2x2 a2y2 a2b2=0,并整理得 (b2 a2k2)x2 2a kmx a2(m2+b2)=0,设A(X1,y1),D(X2,y2),则捲 x?2 a2 km2 2 2 b -a k.再将y=kx+m代入双曲线

11、渐近线方程得 b2x2 a2y2=0,并整理得(b2 a2k2)x2 2a2kmx a2m2=0,设 B(X3,y3),C(X4,y4),则2a2kmX3 X422 2 .X1+X2=X3+X4.b -a k这说明线段AD的中点和线段BC的中点重合,故|AB|=|CD|.99、略100、定值为 丄-厶.提示：选择中心为极点的极坐标系a ba2X 2101、解：M : $ c，M( ,-ab)，F(c, 0)，bc cy = _ x. aKmf=-,b MF与渐近线y= -x垂直 a102、略解.记/ MAX= a，/ MBX= B ,贝U 0v a V B V 90°. 由对称性/

12、MNA= 2 a，/ MBN=2 B ,设 M(X1, y1)(x1>0, y1>0),则 X12 y12=a2.tg a =tgZ MAX= tg B = / MBN= ,捲 +aXj a2 tga tg B = y1 = =1二 tga =tg B =tg(900 B ).X1 + aX1 - a x1 - a0v 90 B V 90 , 0V a V 90 . a =90 B 由此，可得结论，/ MAN +Z MBN=1800.103、提示：应用正弦定理及比例的性质.104、 略105、2 . 3022小 22106、x -y 才或-9xy =1169256 16107、2解

13、：双曲线务a2=1 (a> 0,b> 0)冲心(0,0),c2=a2+b2, b左焦点F1(-1,0),右焦点F2(c,0)圆的方程为(x-c)2+y2=c2由题意,PF1为圆的切线 PF1丄PF2, |PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2(1)又点 P在双曲线上，.|PF1|-|PF2|=2 又|P冋I是圆的半径， |PF2匸c,2 2 2|PF1|=2a+c,|F1F2|=2c代入(1)式，得(2a+c) +c =(2c),22 c 2 c4si+4ac-2c2=0,A ()2 - 2() - 2 =0.a ac1 二.、3，又 e> 1,二 e=1. 3 .a2 2108、解：（1）设双曲线方程为 笃-爲=1 （a 0,b 0）.a b由已知得a二、.3,c =2,再由a2b2=22,得 b2 =1.2=1.1 得 (1 -3k2)x2 - 6. 2kx - 9 = 0.故双曲线C的方程为-y232(2)将y = kx 、2代入3由直线 I 与双曲线交于不同的两点得1 -3k2 =0,：=(6、2k)2 36(1 -3k2) =36(1-k2)