九年级数学上册 第2章 命题与证明 第2章综合 名师教案 湘教版

1、第二章  小结与复习 【教学目标】  1. 了解命题的概念，知道什么是命题，真命题、假命题、逆命题，能区分命题的题设和结论，会把一个命题写成“如果，那么”的形式。  2. 了解定义、公理、定理的概念以及公理与定理的区别，能举例将所学过的定理、公理进行说明，能较准确地表达学过的定义、定理等。  3. 了解证明的必要性、公理的方法，综合证明的格式，理解推理中要步步有据，会根据题意画出图形，写出已知、求证，并完成一个简单命题的证明。  4. 通过举反例判定一个命题是假命题，能掌握用反证法证明的思想方法。 二. 重点、难点：

2、0; 1. 教学重点：    理解证明的必要性；了解定义、命题的概念并会判断真假命题，理解本节所给出的公理及相关定理。  2. 教学难点：    对证明的逻辑推理过程要熟练掌握，并能较严密地写出证明过程。  3. 思想方法：    经历探索、猜测、证明的过程，体会证明的必要性，发展学生初步的演绎推理能力；分析、解决问题时强调转化的思想、化难为易、转化的方式有代换转化，已知与未知的转化、特殊与一般的转化等。 三. 主要内容：（一）本章知识结构图   

3、;  （二）基本内容  1. 理解推理证明的必要性  2. 定义：    对一个概念的特征本质的描述，称为它的定义。  3. 命题：    （1）定义：判断一件事情的句子，叫做命题。    （2）结构：每个命题都由条件和结论两部分组成。    命题一般可以写作“如果，那么”或“若，则”的形式。    （3）分类：命题包括真命题和假命题两类。  4. 公理、定理、证明：  

4、60; 人们在长期实践中总结出来的公认的真命题，称为公理。    通过推理论证、判断其为真命题，称为定理。    推理的过程叫做证明。  5. 命题与逆命题：    两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题。    其中一个命题称为另一个命题的逆命题。    任何一个命题都有其逆命题，但一个真命题的逆命题不一定是真命题，所以，不是所有的定理都有其逆定理。  6. 证明的一般步

5、骤：    （1）弄清题意，能正确画出图形。    （2）根据题意和图形，写出“已知”和“求证”。    （3）条理清晰地写出证明过程。    （4）检查表达过程是否正确、完善。 【典型例题】  例1. 请写出下列命题的逆命题，并判断是真命题还是假命题。    （1）直角都相等。    （2）如果两个数中有一个数是正数，那么这两个数之和是正数。    （3）对角相等的

6、平行四边形是矩形。    分析：写逆命题应先弄清命题的条件和结论。    解：（1）相等的角是直角。（假命题）    （2）如果两个数之和是正数，那么两个数中有一个数是正数。（真命题）    （3）矩形是对角相等的平行四边形。（假命题）    说明：一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题。   例2. 有一次四人游泳比赛，比赛前，四名选手A、B、C、D进行预测性会谈，A说：“我肯定得第一名”，B说：“我绝对不会得最末名”，

7、C说：“我不可能是第一名，也不会得最后一名”，D说：“那只有我是最末的！”。经过比赛成绩揭晓，发现他们之中只有一位预测错误，请指出是哪一位选手？    分析：我们先将四人谈话内容列出表格，再来讨论。        解：从表中可看出D没有估计错误。    如果D预测错误，那么自然另有一个选手预测错了，否则就不会出现最末名；如果C预测错误，则他在这次比赛中应得第一名或第四名，但在此情况下，第一名和第四名已分别由A和D占据；如果B预测错误，则他只能是第四名，这里D也成了预测者，但按

8、条件，预测错误的只有一人。    因此预测错误的只能是A，他应是第二名或第三名。    这样，名次可能是：    （1）第一名：B，第二名：A，第三名：C，第四名：D；    （2）第一名：B，第二名：C，第三名：A，第四名：D。    这类题型主要是训练同学们的逻辑推理能力，让同学们看到逻辑推理在解决问题的价值，同时体验到用逻辑思维方法成功的快乐。   例3. 有一矩形钢板ABNM，现加工成零件形状，如图，按规定ADE、BC

9、E应分别是45°和55°，检验工人量得DEC95°，就非常肯定地判定这个零件不合格，你能说明这是为什么吗？    分析：这也是一道训练逻辑思维的题目，零件是否合格、取决于角度之间是否相等。    即若ADEBCEDEC，则零件合格，否则零件不合格。    解：过E作EFAD    ADEFED    又AMBN，EFBC    FECECB     

10、;   现量得DEC95°    这个零件不合格   例4. 如图，已知ABCD，EF交CD于H，交AB于I，EGAB，垂足为G，若GHE125°，求FEG的度数。    分析：略    解：ABCD，CHE125°（已知）    AIECHE120°    又EGAB（已知）    EGI90°（垂直定义） 

11、0;  又AIE是EIG的一个外角    AIEFEGEGI       例5. 证明：顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点得到的四边形是矩形。    已知：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，对角线ACBD。    求证：四边形EFGH是矩形。    分析：要证四边形EFGH是矩形，先需证明它是平行四边形。    由于E、F、G、H分别是各边中点

12、。    由三角形中位线定理易证EFGH是平行四边形，再根据ACBD去证明EFGH中有一个角为直角即可。    证明：E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点（已知）            四边形EFGH是平行四边形    又ACBD，EFAC    190°    又EHBD（三角形中位线定理）    211

13、80°    即290°    四边形EFGH是矩形   例6. 先阅读第（1）问的题目及证明过程，然后完成（2）问的问题。    （1）如图，在梯形ABCD中，ADBC，ABADBC，E为CD中点。    求证：AEBE    证明：过点E作EFBC交AB于F    E是CD的中点    F是AB的中点    EF是

14、梯形ABCD的中位线                         （2）在第（1）题的证明过程中，第_步（填写（1）题中证明步骤中的序号），我们用到了定理：“如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。”    现在请你证明这个定理（要求写出已知、求证和证明）。    解：本题（1）中第<4>步的理由是定理“如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。”，证明如下：        求证：ACB是直角三角形。    分析：略    证明：CD是AB边上的中线