2.4常用的连续分布ppt课件

1、2.4 2.4 常用的连续分布常用的连续分布一、均匀分布一、均匀分布 Xf xab 1ab)(xfy clc ,c c lcclXP当当 ,a b时时c lc( )f x dxc lc1dxbalaxb1ba0其他其他EX 2abDX 2()12baba时时bxa ab)(xFy 1求求 的分布函数：的分布函数：Xxa时时0 xb时时1 Xf x)(xfy xaxb1ba其他其他ab 1abxx( )F x P Xxx f t dtx 0dt( )F x f t dtx a 0dtxa 1btad ba xa( )F x P Xx f t dtx a 0dtba 1btad xb 0dt( )

2、F xxaaxbxbxaba 010( )F xab)(xFy 1xa01xbaxbxaba 例如例如, ,51535 一个公共汽车站一个公共汽车站, ,每隔每隔5 5分钟有一辆汽车分钟有一辆汽车一位乘客在一个随机的时刻到达该站一位乘客在一个随机的时刻到达该站, ,他侯他侯XXf x( ) x050其它其它15P X 33经过经过, ,车的时间车的时间分布函数为分布函数为( )F x0 x 005x5x5x 1)3(F051二、指数分布二、指数分布定义定义 fx dx 可以证明可以证明, , ( )Xe 0)(xfy 如果随机变量如果随机变量( )Xf x其中其中为常数为常数则称则称 服从参数

3、为服从参数为 的的X指数分布指数分布, ,记为记为00001指数分布的数学期望指数分布的数学期望和方差分别为和方差分别为: :()xexe 00 x 0 x 0 0dxxxed 0 ()xe()dx ()xe1 EX 1 21 DX limxxe0EX x ( )f x dx00dxxdx( )Xf x0 x xe0 x 00)(xfy xe0 xxdexex 00 xedxxxe00 xe()dx1 1 xe01 xe01 0)(xfy 时时0 xx时时0 xx 000( )10 xxF xex指数分布的分布函数为：指数分布的分布函数为： ( )Xf x0 x xe0 x 0时时0 x时时0

4、 x时时0 x0 xtted0 x()dttete te10 x0 xxe1xe01( )F x P Xx f t dtx x0dt00 x0dttted ( )F x 例例 解解 110001 e某元件的寿命某元件的寿命X服从指数分布服从指数分布, ,平均使用寿命平均使用寿命为为1000小时小时, 求该元件使用求该元件使用10001000小时没坏的概率小时没坏的概率. .( )Xf x0 x xe0 x 0EX 10001( )Xf x0 x 1000 xe0 x 0110001000P X 1000( )f x dx10001000 xe11000dx10001000 xe1000 xd

5、10001000 xe1000 xe1000解解 11000 ( )Xf x0 x xe 0 x 0EX 10001 已求得指数分布的分布函数为已求得指数分布的分布函数为 1000P X 1 1000P X 1 ()1000F1 100010001()e1 e( )F x0 x 00 x 1xe 1000 x 例例 某元件的寿命某元件的寿命X服从指数分布服从指数分布, ,平均使用寿命平均使用寿命为为1000小时小时, 求该元件使用求该元件使用10001000小时没坏的概率小时没坏的概率. .指数分布满足指数分布满足: :XaXbaPbP X(0,a 0 )b ( )Xf x0 x xe0 x

6、000( )10 xxF xex证证XaXbaPP XaP XbaXa且且P XaP Xba1P Xab1P Xa11F ab F a11a1e()a b1eae()a bebe右右= =P Xb1P Xb1 F b1 (1)bebe左左= = =右右在已经使用了在已经使用了 小时小时a还没坏的条件下还没坏的条件下, , 能够再能够再使用使用b小时的概率小时的概率等于其寿命超过等于其寿命超过b b小时小时的无条件的无条件概率概率. .这个性质称为这个性质称为 即元件以前曾经即元件以前曾经不影响它以后的使用寿命不影响它以后的使用寿命. . “ “无后效性无后效性”.”.无故障使用的时间无故障使用

7、的时间指数分布满足指数分布满足: :XaXbaPbP X(0,a 0 )b 三、正态分布三、正态分布( )x2( ,)XN 0e12( ) 21如果随机变量如果随机变量X的概率密度为的概率密度为122()22xe其中其中 和和 为常数为常数, ,且且0则称则称 服从参数为服从参数为X正态分布正态分布, ,记为记为( )x122()22xe12是是 的最大值的最大值. .( )x() t 1222e() t 的图象关于的图象关于( )xx 对称对称lim( )xf xlimx122()22xe0( ) 为渐近线为渐近线. . 的图象以的图象以()x轴轴x2() t, 的的2()221( )2xX

8、xe 21越小越小, ,曲线越陡峭曲线越陡峭. .可以证明可以证明,的图象的图象( )x在点在点处有拐点处有拐点. .12 越大越大, ,和和与与越接近越接近, 21越大越大, ,曲线越平缓曲线越平缓. .12 越小越小, ,和和与与距离越远距离越远,可以证明可以证明( )x满足归一性满足归一性. .当当 0,1 标准正态分布的密度函数标准正态分布的密度函数0( )x0( )yx 正态分布正态分布N 0, 1称为标准正态分布称为标准正态分布. .122e1211即即2()2212xedx1时，时，记为记为0( )xEX 2DX 正态分布的期望和方差分别为正态分布的期望和方差分别为2( ,)XN

9、 即即( )Xx标准正态分布的期望为标准正态分布的期望为0,方差为方差为1 1122()22xe2x1. 1. 正态分布的分布函数正态分布的分布函数( )Xx对于正态分布对于正态分布12其分布函数记为其分布函数记为( )x ( )x PXxx( ) ttdx12dt标准正态分布标准正态分布的分布函数的分布函数0( )x 0( )x P Xxx0( ) ttdx12dt2()22xe2()22te22te0()yx 12x记为记为x2. 2. 标准正态分布表标准正态分布表标准正态分布具有性质：标准正态分布具有性质：0(1)(0)0.50(0)120P X 01222te1222tedt120(

10、)x PXxx0( ) ttdx12dt22te()yx 12xx 0(2)()x01()xdt例例 设设0.8P X 08()0. 0 7881.0.4P X 04()0.04()0. 0 6554.12P X 3P X03( )0 1( )10.99865(P270)(P270)P(0,1)XN10.4P X 11X 22 P3X 1 1P X 01() 03( ) 1 0.8413( )yx 12ac知知0.701P Xa0.50a a 0.530.2981P Xc0.50c 0()c0.701901( )c10.2981c 0.530.53c0( )a一般地，一般地，则对任意则对任意有

11、有事实上事实上,(0,1)XN0,a PXa02()1a PXaXaa PaP XP Xa 0()a 0()a0()a 01()a02()1a 例例知知0.9242PXb求求b解解PXb02()1b由已知条件，由已知条件，0.92420()b1.924220.9621b 1.78假设假设0b 3. 3. 一般正态分布一般正态分布与标准正态分布的关系与标准正态分布的关系定理定理2.6 2.6 设随机变量设随机变量 2( ,)XN YabX其中其中,a b为常数，为常数， 且且0a 那么那么YNEY EaXbbXaEab ,ab DY D a Xb2Xa D()D aX22a 22a 定理定理2.

12、6 2.6 设随机变量设随机变量 2( ,)XN YabX其中其中,a b为常数，为常数， 且且0a 那么那么YN,ab 22a 证证PYy( )YFy yPaXb当当 时，时，0a P Xybayba122()22xedx( )Yfy ( )YFyyba122()22xe dx12 222e ybaa12 ()a 22()ae y 2()ab YN,ab 22a 证证P Yy( )YFy yPaXb当当 时，时，0a P Xaybyba12 2()22xe dx( )Yfy ( )YFy1yba12 2()22xe dx12 222e ybaa12a 22()ae y 2()ab YN,ab

13、 22a PXayb1PXayb 1 2()a 定理定理2.6 2.6 设随机变量设随机变量 2( ,)XN YabX其中其中,a b为常数，为常数， 且且0a 那么那么YN,ab 22a 推论推论1 1 X 那那么么设随机变量设随机变量2( ,)XN N定理定理2.6 2.6 设随机变量设随机变量 2( ,)XN YabX其中其中,a b为常数，为常数， 且且0a 那么那么YN,ab 22a 0, 1 证证 在定理在定理2.62.6中，中， 取取a 1 b N那那么么ab 1 00,22a 11aXb1X 推论推论2 22( ,)XN 存在随机变量存在随机变量 0,1NX使得使得证证2( ,

14、)XN X 0,1NX 反之反之, ,若存在若存在 0,1NX 使得使得XNEX E E,DX D()D2( )D22定理定理2.6 2.6 设随机变量设随机变量 2( ,)XN YabX其中其中,a b为常数，为常数， 且且0a 那么那么YN,ab 22a 推论推论1 1 X 那那么么设随机变量设随机变量2( ,)XN N0, 1 那那么么假假设设那那么么推论推论3 3 ( )x设随机变量设随机变量 2( ,)XN 的分布函数的分布函数X任一实数任一实数,x有有0 x为为( ),x 标准正态分布的标准正态分布的分布函数为分布函数为0( ),x 证证( )xPXxxXPP x0 x 则对则对推论推论1 1 X 那那么么设随机变量设随机变量2( ,)XN N0, 1 例例 设设0