新概率习题-ppt课件

1、总体总体X，样本，样本(X1,X2,Xn)，样本容量，简单随机样本，样本容量，简单随机样本，样本值样本值(x1,x2,xn) ，统计量，统计量g(X1,X2,Xn)样本的数字特征：样本均值，样本方差，样本样本的数字特征：样本均值，样本方差，样本k阶矩阶矩,样本样本k阶中心矩阶中心矩三大统计分布三大统计分布);(1212nXnii )(,),(22ntnYXTYXnY 相互独立，则相互独立，则若若 设总体设总体 X XN(0,1), (X1,X2N(0,1), (X1,X2，Xn)Xn)为样本为样本, ,那么那么3 设设U 2(n1), V2(n2),且且U与与V相互独立相互独立,则称随机变则称

2、随机变量量),(/2121nnFnVnUF 单个正态总体单个正态总体);,(12nNX );1(13222 nSn ).1(/)(4 ntnSX )1 ,0(/2NnXU 设总体设总体 XN(，2), (X1,X2，Xn)为样本为样本, 那么那么两个正态总体两个正态总体设总体设总体X XN(N(1,1,12),Y 12),Y 2,2,22), 22), 且且X X与与Y Y相互独立相互独立, , (X1 ,X2 (X1 ,X2，Xn1), (Y1 ,Yn2)Xn1), (Y1 ,Yn2)分别为取自总体分别为取自总体X,YX,Y的样本的样本, ,那么那么1 1 一般情况时有一般情况时有)1 ,

3、0()()(22212121NnnYX )1, 1(/2122222121 nnFSS 33矩估计：将要估计的总体参数矩估计：将要估计的总体参数表示成总体表示成总体X的矩的函数，然的矩的函数，然 后用样本的相应的矩的函数作为其估计量进行估计。后用样本的相应的矩的函数作为其估计量进行估计。 区间估计：区间估计： 1)(21P极大似然估计：极大似然估计：当我们用样本值估计总体的参数时，应使得当参数当我们用样本值估计总体的参数时，应使得当参数取这些值时，所观测到的样本值出现的概率为最大。取这些值时，所观测到的样本值出现的概率为最大。从已知条件出发，求得一个含有待估参数从已知条件出发，求得一个含有待估

4、参数的、分布为已知的、分布为已知（分布与（分布与无关的样本函数无关的样本函数Z=Z(X1,X2,Xn,Z=Z(X1,X2,Xn,) )，然后根，然后根据据Z Z分布的双侧分布的双侧分位点，即可求得分位点，即可求得的的( 1-( 1-) )的置信区间。的置信区间。)2(11)()(212121 nntnnSYX 2 2 当当 12= 12= 2222时时2)1()1(212222112 nnSnSnS 其其中中,)12(21)(22 nzn 当当n 45时，有近似公式：时，有近似公式：)(2n 2)(22n 2)(221n 1)()(22221nYnP),24(2201. 0 ),54(2201

5、. 01 t-分布、分布、F-分布与此类似！分布与此类似！ 一旦一旦r.vX的分布为已知，那么的分布为已知，那么X的取值就必定以一定的概率落在的取值就必定以一定的概率落在一些特定区间内。一些特定区间内。575. 2005. 0995. 0 zz解解: 1) 的矩估计量的矩估计量. 其其它它, 010,)1()(xxxf 其中其中 -1-1是未知参数是未知参数,X1,X2,Xn,X1,X2,Xn是来自是来自X X的一个容量为的一个容量为n n的简单的简单随机样本随机样本, ,分别用矩估计法和极大似然估计法求分别用矩估计法和极大似然估计法求 的估计量的估计量. .1建立待估参数建立待估参数 与总体

6、的矩之间的关系式；与总体的矩之间的关系式；2用相应的样本矩做总体矩的估计量，代入关系式得到用相应的样本矩做总体矩的估计量，代入关系式得到的的 估计量。估计量。3代入样本值得到代入样本值得到的估计值。的估计值。21)1(110 dxx dxxxfXE)()(由于总体由于总体X的数学期望为的数学期望为令其等于样本均值令其等于样本均值,11 niiXnXX 21 即即解得未知参数解得未知参数 的矩估计量为的矩估计量为XX112 2) 的极大似然估计量的极大似然估计量.其其它它, 0),.2 , 1(10,) 1()(1nixxLiniin 设设(x1,xn)是来自样本是来自样本(X1,Xn)的一个观

7、测值的一个观测值,则参数则参数 的似然的似然函数为函数为 niixnL1ln)1ln(ln 时时,恒有恒有L( )0,故故),.2 , 1(10nixi 因而因而,似然方程为似然方程为0ln1ln1 niixndLd 解之解之,得得 的极大似然估计值的极大似然估计值, niixn1ln1 从而得从而得 的极大似然估计量为的极大似然估计量为, niiXn1ln1 (4) 在最大值点的表达式中在最大值点的表达式中, 用样本代入就得参数的极大似然估计量用样本代入就得参数的极大似然估计量.(2) 由总体分布导出似然函数由总体分布导出似然函数L();（其中（其中为自变量，为自变量， x1 , x2 ,x

8、n 是已知常数）是已知常数）,似然函数为分布律似然函数为分布律 (或概率密度或概率密度)乘积乘积;(3) 求似然函数求似然函数L()的最大值点的最大值点(常转化为求常转化为求ln L()的最大值点的最大值点);(1)设设x1 , x2 ,，xn)为样本为样本(X1,X2, ,Xn)的一个观察的一个观察值；值；练习：设总体练习：设总体X X的概率密度为的概率密度为 P133T9P133T93 3）0,)();,.,(1111 iniixnnxxexxLnii 0, 00,)();(1xxexxpx 其中其中00是未知参数是未知参数, ,00是已知常数是已知常数, ,试根据来自总体试根据来自总体X

9、 X的的简单随机样本简单随机样本X1,X2,Xn,X1,X2,Xn,求求的极大似然估计量的极大似然估计量. .解解: :对数似然函数对数似然函数 niiniixxnnL111lnlnlnln 令令0ln1 niixndLd 解得解得的极大似然估计值的极大似然估计值 niixn1 设设(x1,xn)是来自样本是来自样本(X1,Xn)的一个观测值的一个观测值,那么那么似然函数似然函数 niiXn1 故故 的极大似然估计量的极大似然估计量例例2：投资的回收利润率常常用来衡量投资风险：投资的回收利润率常常用来衡量投资风险，随机地调查，随机地调查26个年回收利润率个年回收利润率(%),得样本标准得样本标

10、准差差S=15(%),设回收利润率为正态分布设回收利润率为正态分布,求它的方求它的方差的区间估计差的区间估计(置信度为置信度为0.95）解：解：) 1(22 Sn) 1(2n 查自由度为查自由度为26-1=25的的2分布表得：分布表得：646.40)25(,120.13)25(2025. 02975. 0 于是得于是得2的置信度为的置信度为0.95的置信区间的置信区间为为 25()1(,)25()1(2975. 022025. 02 SnSn将将S2=152, n=25代入得方差代入得方差2的置信度为的置信度为0.95的区间估计为的区间估计为 (138.39,428.73),若要求标准差若要求

11、标准差 的置信度为的置信度为0.95的区间估计的区间估计为为 )71.20,76.11()73.428,39.138( 95. 0)25()1()25(2025. 0222975. 0 SnP由由 从已知条件出发，寻求一个含有从已知条件出发，寻求一个含有（而不含有其（而不含有其 它未知参数的样本函数它未知参数的样本函数, ,使得随机变量使得随机变量Z Z的分布的分布 为已知的最好是常用的分布；为已知的最好是常用的分布； 根据根据Z Z的分布的的分布的分位点，解出分位点，解出的置信区间的置信区间由于总体的均值未知，故选用由于总体的均值未知，故选用r.v 例例3 3 在一批货物的容量为在一批货物的

12、容量为100100的样本中的样本中, ,经检经检验发现验发现1616个次品个次品, , 试求这批货物次品率的试求这批货物次品率的95%95%的置信区间的置信区间. . 货货物物为为正正品品货货物物为为次次品品, 0, 1X那么那么 =E(X)=p ,=E(X)=p ,)1 ()(2ppXD 由独立同分布中心极限定理由独立同分布中心极限定理)1(1pnpnpXini 分析分析: :)1(pnpnpXn ) 1 , 0(/ )1 (NnpppX 设设X1 ,X2 ,X100X1 ,X2 ,X100为容量为容量100100的样的样本本研究货物的次品率，故设总体研究货物的次品率，故设总体设设p p为货

13、物次品率为货物次品率, , pX=1=p,pX=1=p,05. 0,16. 0,100 xn已已知知这是一个什么样的总体？服从什么分布？这是一个什么样的总体？服从什么分布？要估计的是总体的什么参数？要估计的是总体的什么参数？ 求总体参数求总体参数 p 的的 95%的置信区间的置信区间.95. 01/)1(2/2/ znpppXzP于于是是有有代入得代入得等等价价于于而而2/|/)1(| znpppX 0)2()(222/222/ XnpzXnpzn 96. 1,16. 0,1002/ zxn056. 28416.358416.1032 pp解得次品率解得次品率p p的置信区间为的置信区间为(0

14、.101,0.244)(0.101,0.244)关于关于p的一元的一元二次不等式二次不等式非正态总体参数区间估计的大样本法非正态总体参数区间估计的大样本法例例4 4：设总体：设总体X X的密度函数的密度函数 elsexxxf, 00,3);(23 (X1,X2,Xn)来自总体来自总体X的样本，的样本，Yn=maxX1,X2,Xn）nYnnX31334 (1)(1)证明：证明： 和和 都是都是 的无偏估计量；的无偏估计量；(2) (2) 两个估计量哪个更有效？两个估计量哪个更有效？证证:(1):(1) 433)()(023 dxxxdxxxfXE )(34)(34)34(XEXEXE又总体又总体

15、X的分布函数为的分布函数为 xxxxxFX, 10,0, 0)(33 0是未知参数是未知参数,因此因此Yn的分布函数为的分布函数为 niXYxFxFin1)()( xxxxnn, 10,0, 033 1333)()(0313 nndxnxxdxxxfYEnnnn )()(nnYEnnYnnE313313nYnnX31334 和和都是都是 的无偏估计量的无偏估计量(2)(2)由于方差越小，估计量越有效，因而只需要算出这由于方差越小，估计量越有效，因而只需要算出这 两个估计量的方差即可。又，两个估计量的方差即可。又，222228034353 )()()()(XEXEXD202322533 dxxx

16、XE)(故故Yn的密度函数的密度函数 elsexnxxfnnn, 00,3)(313 同样求得同样求得)()(2333132nnYnnDn 222222)13)(23(3)133(233)()()( nnnnnnnYEYEYDnnn 20313222333 nndxnxxYEnnn)()()(XDYnnDn34313更有效。更有效。nYnn313 nnXDnXDXD158031916)(1916)(916)34(22 P132T3 P132T3 利用定理利用定理2 2的结论计算的结论计算2 2分布分布的期望与方差的期望与方差. .)(,212nYXYnii 则则 由期望的性质得由期望的性质得

17、E(Y)=nE(X2) E(Y)=nE(X2) dxexx 2/4221 dxxeexxx22/2/3321|2122 2/3221xdex 解：由定理解：由定理2 2知：知：X X N(0,1),(X1,Xn)N(0,1),(X1,Xn)为其样本为其样本, ,记记由方差的性质得由方差的性质得 D(Y)= nD(X2)= nE(X4) nE(X2)2 D(Y)= nD(X2)= nE(X4) nE(X2)2 = nD(X)+nE2(X)=n= nD(X)+nE2(X)=n )(4XE而而3)(32 XE0 1. 1. 设总体设总体X X方差为方差为1,1,根据来自根据来自X X的容量为的容量为100100的简单随机的简单随机 样本样本, ,测得样本均值为测得样本均值为5,5,则则X X的数学期望的置信度近似等的数学期望的置信度近似等 于于0.950.95的置信区间为的置信区间为? ?(4.802,5.196)(4.802,5.196) 2. 2. 设来自正态总体设来自正态总体X XN(N(,0.92),0.92)