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文档简介

1、§3 初等函数连续性(一) 教学目的：了解指数函数的定义，掌握初等函数的连续性(二) 教学内容：指数函数的定义；初等函数的连续性基本要求：(1) 掌握初等函数的连续性(2) 掌握指数函数的严格定义(三)教学建议： (1) 本节的重点是初等函数的连续性要求学生会用初等函数的连续性计算极限(2) 本节的难点是理解和掌握指数函数的性质 从前面两节知道基本初等函数中：常函数，三角函数，反三角函数，以及有理指数幂函数，都是定义域上的连续函数.本节将讨论指数函数、对数函数与实指数幂函数在其定义域内的连续性，以及初等函数在其定义域内的连续性。1 / 10一 指数函数的连续性在第一章中，我们已定义了

2、实指数的乘幂，并证明了指数函数在上是严格单调的.下面先把关于有理指数幂的一个重要性质推广到指数幂,然后证明指数函数的连续性。先回忆一下指数的定义和相应的结论：在中学讲过，为有理数情况的定义： 和指数的运算性质： ， （1）第一章给出了为无理数时的定义，这样，对任意实数， 都有了定义：自然要问：对于指数为一般实数的情况，运算性质（1）是否还成立呢？下面的定理就回答了这个问题。定理4.10 设 为任意实数，则有 证明定理之前先回顾一下，第一章讲过的几个结论：1）时是严格递增的； 是严格递减的。2）确界的定义： i) （是上界）; ii) ，使得 （是最小上界）定理的证明 不妨设 ，先证 由指数的定

3、义由上确界的定义，使得 ，使得 ，（有理数，）因为 ，由刚才回顾的结论：时是严格递增的 由的任意性 再相反的不等式： 由 ，使得 记，由有理数的稠密性，存在有理数，使得 ， 由的任意性 定理4.11 指数函数在R上是连续的.证明 先设.有第三章§2例4知 ，这表明在连续.现任取.由定理4.10得 .令则当时有,从而有.这证明了在任一点处连续.当时,令,则有,而可看作函数与的复合，所以此时亦在上连续。 利用指数函数的连续性，以及第三章§5例4中已证明的，可知的值域为（）(时也是如此).于是的反函数对数函数在其定义域()内也连续. 例1 设.证明 . 证明 补充定义 ,则连续,从而知在连续,所以在连续.由此得.二 初等函数的连续性由于幂函数（为实数）可表为，它是函数与的复合，故有指数函数与对数函数的连续性以及复合函数的连续性，推得幂函数在其定义域（）上连续。前面已经指出，常函数，三角函数，反三角函数都是定义域上的连续函数.因此我们有下述定定理 4.12 一切基本初等函数都是定义域上的连续性函数.由于任何初等函数都是由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到,所以有定理4.13 任何初等函数都是定义域上的连续性函数.例 1 求 解 利用对数函数的连续性， 例 2 求 解 由于是初等函数 定义域内的点，利用初等函数连续性， 例3 作倒代换例4 解 I =

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