2018年文科数学全国三卷真题及答案)

1、精心整理2018 年数学试题文（全国卷3）一、选择题（本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求的. ）1已知集合 Ax | x 1 0 ， B0，1，2 ，则 AI B（）A 0B 1C 1，2D 0 ，1，22 1 i 2 i （）A 3 iB 3 iC 3 iD 3 i3中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）4若 sin1 ，则3cos2（）A 8B 7C 7 8999D95若某群体中的

2、成员只用现金支付的概率为0.45 ，既用现金支付也用非现金支付的概率为 0.15 ，则不用现金支付的概率为（）A0.3B0.4C0.6D0.76函数 f xtan x2的最小正周期为（）1tanxAB2CD 247下列函数中，其图像与函数 yln x 的图像关于直线 x1 对称的是（）A y ln 1 xB y ln 2 xC y ln 1 xD y ln 2 x精心整理精品文档x y 2 0分别与x轴，y轴交于 A ， B 两点，点 P 在圆 x 2222上，则 ABP直线y面积的取值范围是（）A 2，6B 4，8C2，3 2D22，329函数 yx4x22的图像大致为（）10已知双曲线 C

3、：x222y2 1 （ a0 ，b 0 ）的离心率为2 ，则点4 ，0到 C 的ab渐近线的距离为（）A 2B 2C3 2D2 2211ABCCa bcABC的面积为a2b2c2的内角 A ，B ， 的对边分别为，若4，则 C（）ABC4D62312设 A ， B ， C ， D 是同一个半径为4 的球的球面上四点， ABC 为等边三角形且其面积为 93 ，则三棱锥 DABC 体积的最大值为（）A12 3B18 3C24 3D54 3二、填空题（本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分）13已知向量 a = 1,2 ， b = 2, 2 ， c= 1, 若 c 2a + b ，则_4某公司有

4、大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是5若变量2 xy 3 0，1满足约束条件 x2 y 40则 zy 的最大值是xx ，y ，3_x2 0.6已知函数 fx ln 1 x2x 1， f a 4 ，则 fa_.精品文档三、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第1731 题为必考题，每个试考生都必须作答，第22、23 题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60 分。17（ 12 分）等比数列an中， a11 ，a54a3 求an的通项公

5、式；记 Sn 为 an 的前 n 项和若 Sm63 ，求 m 18（ 12 分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式为比较两种生产方式的效率，选取40 名工人，将他们随机分成两组，每组20 人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数m ，并将完成生产任务所需时间超过 m 和不超过 m 的工人数填入下面的列联表：超过 m不超过 m第一种生产方式第二种生产方式根据中的列表，能否有99

6、%的把握认为两种生产方式的效率有差异？.精品文档附： K2nadbc2P K 2 k0.050 0.010 0.001 a b cdac b d，k3.841 6.635 10.82819（ 12 分）如图，矩形 ABCD 所在平面与半圆弧所在平面垂直， M 是上异于 C ，D的点证明：平面AMD 平面 BMC ；在线段 AM 上是否存在点 P ，使得 MC 平面 PBD ？说明理由0（ 12 分）已知斜率为k的直线 l 与椭圆 C：x2y21交于 A ， B 两点线段 AB 的中点为431，m m0 证明：k1 ；2设F为 C 的右焦点，P为C上一点,且uuuruuuruuuruuuruuu

7、ruuurFPFAFB0证明: 2 FPFAFB1（ 12 分）已知函数ax2x1fxex求由线f x在点0，1处的切线方程；y证明：当a 1 时，fxe 0 （二）选考题：共10 分，请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分2 选修 44：坐标系与参数方程 （10 分）在平面直角坐标系xOy 中，O 的参数方程为xcosysin（为参数），过点 0 ，2且倾斜角为的直线 l 与O 交于 A，B 两点求的取值范围；.精品文档求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程23 选修 45：不等式选讲 （10 分）设函数 fx2x 1 x 1 画出 yfx 的图像；当 x 0

8、， f x axb ，求 ab 的最小值参考答案一、选择题1答案： C解答： A x | x10 x | x1 ， B0,1,2 ， A I B1,2 . 故选 C.2答案： D解答： (1 i )(2i )2ii 23i ，选 D.3答案： A解答：根据题意， A选项符号题意；4答案： B解答： cos2 1 2sin 21 27. 故选 B.995答案： B解答：由题意P10.450.150.4 . 故选 B.6答案： C解答：tan xsin xsin x cos x1cos xsin 2 x，f ( x)sin 2xsin 2 x cos2 xsin x cos x1 tan2 x21

9、cos2 x. f ( x) 的周期 T 2 27答案： B精品文档.故选 C.解答： f ( x) 关于 x1 对称，则f (x)f (2x)ln(2x) . 故选 B.8答案： A解答：由直线 xy2 0 得 A( 2,0), B(0,2)，|AB|22222 2，圆(x2)2y22 的圆心为 (2,0) ，圆心到直线 xy20 的距离为222 ，点 P 到直线 xy20的距离的取值范围为1212 22d222，即2d32， S ABP1 | AB | d2,6 .29答案： D解答：当 x0 时， y2 ，可以排除A、B 选项；又因为 y4x32x4x( x2 )( x2 ) ，则 f(

10、 x) 0 的解集为22( ,2) U(0,2 ) ， f (x) 单调递增区间为 ( ,2) ，(0,2 ) ； f ( x)02222的解集为 (2 ,0) U(2 , )，f ( x)单调递减区间为(2,0) (2,).222，2结合图象，可知D选项正确 .10答案： D解答：由题意 ec2 ，则 b1，故渐近线方程为 x y0 ，则点 (4,0) 到渐aa近线的距离为 d|4 0|2 2.故选D.2.精品文档11答案： C解答：a2b2c22ab cosC1ab cosC ，又 S ABC11，S ABC442absin C ，故 tan C2 C.故选C.412答案： B解答：如图，

11、ABC 为等边三角形， 点 O为 A ，B ，C ，D 外接球的球心， G 为ABC 的重心，由SABC9 3，得 AB6，取 BC 的中点 H ， AHAB sin60 33， AG2AH 2 3，3球心 O 到面 ABC 的距离为 d42(2 3)22，三棱锥 DABC 体积最大值VD ABC118 3.93(2 4)3二、填空题13答案：解答：12rrrrr4 0，解得1 .2ab(4, 2) ， c / /(2 ab) ， 1 2214答案：分层抽样解答：由题意，不同龄段客户对其服务的评价有较大差异，故采取分层抽样法.15答案： 3解答：由图可知在直线 x2 y40 和 x2 的交点

12、(2,3) 处取得最大值，故1z 23 3 .316答案：2解答： fxln1x2x1(xR)f (x) f (x)ln(1x2x)1ln(1x2x) 1 ln(1 x2x2 ) 2 2 ， f (a)f (a)2 ，f (a)2.精品文档三、解答题17答案：（ 1） an2n 1 或 an( 2)n 1 ；（ 2） 6 .解答：（ 1）设数列 an 的公比为 q ， q2a54 ， q2 .a3 an2n 1 或 an ( 2) n 1 .（2）由（ 1）知， Sn12n2n1或 Sn 1(2) n11 (2) n ，12123 Sm2m 1 63 或 Sm1 1( 2)m 63 （舍），3

13、 m6.18解答：（1）第一种生产方式的平均数为x1 84 ，第二种生产方式平均数为x274.7，x1x2 ，所以第一种生产方式完成任务的平均时间大于第二种，第二种生产方式的效率更高 .（2）由茎叶图数据得到 m80 ，列联表为K2n(ad bc) 240(15 15 5 5)26.635( a b)(c d )(a c)(bd ) 20 20 20 2010（3），有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.19解答：（ 1）正方形 ABCD半圆面 CMD ， AD半圆面 CMD ， AD平面 MCD . CM 在平面 MCD 内， ADCM ，又 M 是半圆弧 CD 上异于 C, D 的

14、点， CMMD . 又 AD I DMD ， CM平面 ADM ， CM 在平面 BCM内， 平面 BCM平面 ADM .精品文档（2）线段 AM 上存在点 P 且 P 为 AM 中点，证明如下：连接 BD, AC 交于点 O ，连接 PD, PB, PO ；在矩形 ABCD 中，O 是 AC 中点， P 是 AM 的中点； OP / / MC ， OP 在平面 PDB 内， MC 不在平面 PDB 内， MC / / 平面PDB .20解答：（1）设直线 l方程为 ykxt ，设 A( x1, y1) , B( x2 , y2 ) ,ykxt联立消 y 得 (4k 23) x28ktx 4t

15、 2 12x2y20 ，431则64k 2t 24(4t212)(34k2 ) 0 ，得 4k 23t 2 ，且 x1x28kt2 ， y1y2k( x1x2 ) 2t6t2m，34k24k23 m0， t0且 k0.且 t34k2.4k由 得 4k23(3 4k 2 ) 2，16k2 k1 或 k1 .221 . k0 ， k2uuruuruurruuruuurr（2） FPFAFB0 ，FP2FM0 , M (1,m) ， F (1,0) ， P 的坐标为 (1, 2m) .由于 P 在椭圆上，14m21， m3，M(1,3) ，4342又 x12y121， x2 2y2 21，4343.

16、精品文档两式相减可得 y1y23x1x2，x1x24y1y2又 x1x22 ， y1y23 ， k1 ，32直线 l 方程为y( x1) ，47 ，即 yx4y7x4，x2y2143消去 y 得 28x256x1 0， x1,2143 21，14uuruur( x1 1)2y121)2y223 ，|FA| |FB|( x2uur(11)2(30)23 ,|FP |22uuuruuuruuur|FA| |FB|2| FP |.21解答：（ 1）由题意： f xax2x x1 得e(2ax1)ex(ax2x1)exax22axx2 ，f (x)(ex )2ex f (0)22 ，即曲线 yfx在点

17、 0,1 处的切线斜率为 2 ，1 y ( 1)2( x0)，即 2xy10；（2）证明：由题意：原不等式等价于：ex 1ax2x10 恒成立；令g( x) ex 1ax2x 1， g ( x)ex 12ax1g( x)ex12a， a1 ， g ( x) 0 恒成立， g (x)，在 (,) 上单调递增， g ( x) 在 (, ) 上存在唯一 x0 使 g ( x0 ) 0 ， ex012ax0 1 0，即 ex012ax01，且 g (x) 在 (, x0 ) 上单调递减， 在 ( x0 , )上单调递增， g( x)g(x0 ) .精品文档又 g( x0 ) ex0 1ax0 2x01

18、 ax02(1 2a) x0 2 (ax0 1)( x02) ，1111 ， g(x0 )1， a1， 011 e 1， x00 ，得g ( 1) e ae aaa证.综上所述：当 a1 时， fxe0 .22解答：（1） e O 的参数方程为xcos ， e O 的普通方程为 x2y21 ，当ysin90 时，直线： l : x0 与 e O 有两个交点，当90时，设直线 l 的方程为yxtan2 ，由直线 l 与 e O 有两个交点有 | 002 |1 ，得 tan21，1tan2tan1或 tan1， 4590 或90135 ，综上(45,135 ) .（2）点 P 坐标为 ( x, y) ，当90 时，点 P 坐标为(0,0)，当90时，设直线 l 的方程为 y kx 2x2y21有， A(x1, y1 ), B(x2 , y2 ) ，kx2yx2(kx2) 21，整理得 (1k 2 ) x22 2kx1 0 ， x1x222k