数学不等式高考真题

1、.1.（2018?卷）设函数（ 1）当时，求不等式的解集；（ 2）若，求的取值范围2.（2013?辽宁）已知函数f（ x）=|x a| ，其中 a1（ 1）当 a=2 时，求不等式f（ x） 4 |x 4| 的解集；（ 2）已知关于x 的不等式 |f （ 2x+a） 2f（ x）| 2的解集 x|1 x，2求 a 的值3.（2017?新课标） 选修 4-5：不等式选讲已知函数f（ x） =|x+1| |x 2| （）求不等式f（x） 1的解集；2（）若不等式f（x） x x+m 的解集非空，求m 的取值范围4.（2017?新课标） 选修 4-5：不等式选讲33已知 a0， b 0， a +b

2、=2，证明：55（）（ a+b）（ a +b ） 4；（） a+b25.（2017?新课标卷） 选修 4-5：不等式选讲已知函数f（ x） =x2+ax+4， g（x） =|x+1|+|x 1| （ 10 分）（ 1）当 a=1 时，求不等式 f（ x） g（ x）的解集；（ 2）若不等式 f （ x） g（ x）的解集包含 1， 1，求 a 的取值范围6.（2017?新课标） 选修 4-5：不等式选讲已知 a0， b 0， a3+b3=2，证明：（）（ a+b）（ a5+b5） 4；（） a+b27.（2018?卷）已知（ 1）当时，求不等式的解集（ 2）若时，不等式成立，求的取值范围8.（

3、2018?卷）已知f(x)=|x+1|-|ax-1|（ 1）当 a=1 时 ,求不等式 f(x)>1 的解集（ 2）若 x (0,1)时不等式 f(x)>x 成立 ,求 a 的取值范围9.（2017?新课标） 选修 4-5：不等式选讲已知函数f（ x） =|x+1| |x 2| （ 1）求不等式f （ x） 1的解集；2（ 2）若不等式f （ x） x x+m 的解集非空，求m 的取值范围10.（ 2014?新课标 II）设函数f （ x） =|x+|+|x a| （ a0）;.（ 1）证明： f（ x）2；（ 2）若 f（3） 5，求 a 的取值范围11.（ 2015 ·

4、;福建 )选修 4-5：不等式选讲已知，函数的最小值为4（ 1）求的值；（ 2）求的最小值12.（ 2014?新课标 I）若 a 0， b 0，且+=（ 1）求 a3 +b3 的最小值；（ 2）是否存在 a，b ，使得 2a+3b=6？并说明理由13.（ 2017?新课标）已知函数f（x） =lnx+ax2+（ 2a+1） x（ 12 分）（ 1）讨论 f（ x）的单调性；（ 2）当 a 0 时，证明 f （x） 214.（ 2017?新课标）已知函数f（x） =x1 alnx（）若f（ x） 0，求 a 的值；（）设m 为整数，且对于任意正整数n，（ 1+）（ 1+） （1+） m，求 m

5、的最小值15.（ 2018?卷）设函数（ 1）画出的图像（ 2）当时，求的最小值。16.（ 2013?福建）设不等式|x 2| a（ a N* ）的解集为A，且（ 1）求 a 的值（ 2）求函数 f （ x）=|x+a|+|x 2| 的最小值;.17.（ 2013?新课标）（选修4 5：不等式选讲）已知函数f（ x） =|2x 1|+|2x+a| ， g（ x） =x+3（ 1）当 a= 2 时，求不等式f （ x） g（x）的解集；（ 2）设 a 1，且当时， f（x） g（ x），求 a 的取值范围18.（ 2016?全国）选修45：不等式选讲已知函数f(x)= x- +x+， M 为不等

6、式f(x) 2 的解集 .（ 1）求 M；（ 2）证明：当 a,b M 时， a+b 1+ab。19.（ 2016?全国） 选修 4-5：不等式选讲已知函数f（ x） =|2x a|+a （ 1）当 a=2 时，求不等式 f（ x） 6的解集；（ 2）设函数 g（x） =|2x 1| ，当 x R 时， f （x） +g（ x） 3，求 a 的取值范围20.（ 2012?新课标）已知函数f（ x） =|x+a|+|x 2|（ 1）当 a= 3 时，求不等式 f （ x） 3的解集；（ 2）若 f（x） |x 4| 的解集包含 1， 2，求 a 的取值范围21.（ 2012?辽宁）选修45 ：不

7、等式选讲已知 f （ x） =|ax+1| （ a R），不等式f（ x） 3的解集为 x| 2x1（ 1）求 a 的值；（ 2）若恒成立，求k 的取值范围;.答案解析部分一、解答题1.【答案】 （1） a=1 时，时，由当 x2时，由 f（ x） 0得： 6-2x0，解得： x3；当 -1 xx 时， f（x） 0；当 x-1 时，由 f（ x） 0得： 4+2x0，解得 x-2所以fx0x|- 2x3（ ）的解集为（ 2）若 f（x） 1，即恒成立也就是 xR，恒成立当 x=2 时取等，所以x R，等价于解得： a2或 a-6所以 a 的取值范围 (-， -6 2， +）【解析】 【分析】

8、（ 1）由绝对值不等式的解法易得；（2）由绝对值几何意义转化易得.2.【答案】 （1）解：当a=2 时， f（ x）4 |x 4| 可化为 |x 2|+|x 4| 4，当 x2时，得 2x+64，解得 x1；当 2 x 4 时，得 24，无解；当 x4时，得 2x 64，解得 x5；故不等式的解集为 x|x 5或 x1（ 2）解：设 h（ x） =f（ 2x+a） 2f（ x），则 h（ x） =由 |h （ x） | 2得，又已知关于x 的不等式 |f （ 2x+a） 2f（ x） | 2的解集 x|1 x，2所以，故 a=3;.【解析】 【分析】（ 1）当 a=2 时， f（ x） 4 |

9、x 4| 可化为 |x 2|+|x 4| 4，直接求出不等式|x 2|+|x 4| 4的解集即可（2）设 h（x）=f（ 2x+a） 2f（ x），则 h（ x）=由 |h （ x）| 2解得，它与 1x2等价，然后求出a 的值3.【答案】 解：（） f（ x） =|x+1| |x 2|=，f（ x）1，当 1x2时， 2x11，解得 1x2；当 x 2 时， 31恒成立，故 x 2；综上，不等式 f（ x） 1的解集为 x|x 1（）原式等价于存在xR 使得 f（ x） x2+x m成立，22即 mf（ x） x +xmax， 设 g（ x） =f（ x） x +x由（ 1）知， g（x）

10、=，当 x 1 时， g（ x） = x2+x 3，其开口向下，对称轴方程为x= 1 ， g（ x） g（ 1） = 1 1 3= 5；2x= （ 1， 2），当 1 x2 时， g（ x） = x +3x 1，其开口向下，对称轴方程为 g（ x） g（）=+ 1=；当 x2时， g（ x） = x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x= 2， g（ x） g（ 2） =4+2=3=1；综上， g（ x） max = ， m 的取值范围为（，;.【解析】 【分析】（）由于f（ x）=|x+1| |x 2|=，解不等式f （ x） 1可分1 x2与x 2 两类讨论即可解得不等式f（ x） 1的解

11、集；（）依题意可得22mf（ x） x +xmax， 设 g（ x）=f（ x） x +x，分 x1、 1 x 2、x2三类讨论，可求得 g（ x） max=，从而可得 m 的取值范围4.【答案】 证明：（）由柯西不等式得：（a+b）（ a5+b5） （+） 2=（ a3+b3）2 4，当且仅当=，即 a=b=1 时取等号，33（） a +b =2，（ a+b）（ a2 ab+b2） =2，（ a+b） （ a+b） 2 3ab=2，（ a+b） 33ab（ a+b）=2，=ab，由均值不等式可得：=ab（）2，（ a+b） 32，（ a+b） 32， a+b2，当且仅当 a=b=1 时等号成

12、立【解析】 【分析】（）由柯西不等式即可证明，33转化为=ab，再由均值不等式可得：=ab （）2（）由 a +b =2， 即可得到（ a+b） 32，问题得以证明2x= 的二次函数，5.【答案】 （1）解：（ 1）当 a=1 时， f（ x） =x +x+4，是开口向下，对称轴为g（ x）=|x+1|+|x 1|=，;.当 x（ 1， +）时，令 x2+x+4=2x，解得 x=，g（ x）在（ 1， +）上单调递增， f（ x）在（ 1， +）上单调递减，此时f （ x）g（ x）的解集为（1， ；当 x 1， 1时， g（ x） =2， f（x） f（ 1） =2当 x（ ， 1）时， g

13、（ x）单调递减， f （ x）单调递增，且g（ 1）=f（ 1）=2综上所述， f （ x） g（x）的解集为 1，；（ 2）（ 2）依题意得： x2+ax+4 2在 1， 1恒成立，即 x2 ax 20在 1，1恒成立，则只需，解得 1 a1，故 a 的取值范围是 1， 1【解析】 【分析】（ 1.）当 a=1 时， f（x）= x2+x+4， g（x）=|x+1|+|x 1|=，分 x 1、x 1，1、 x（ ， 1）三类讨论，结合g（ x）与 f （x）的单调性质即可求得f（ x）g（ x）的解集为1，；（ 2.）依题意得： x2 +ax+4 2在 1， 1恒成立 ?x2ax 20在

14、1， 1恒成立，只需，解之即可得 a 的取值范围6.【答案】 证明：（）由柯西不等式得：（55） （+2332a+b）（ a +b） =（ a +b） 4，当且仅当=，即 a=b=1 时取等号，（） a3+b3=2，（ a+b）（ a2 ab+b2） =2，（ a+b） （ a+b） 2 3ab=2，（ a+b） 33ab（ a+b）=2，=ab，由均值不等式可得：=ab（）2，;.（ a+b） 32，（ a+b） 32， a+b2，当且仅当 a=b=1 时等号成立【解析】 【分析】（）由柯西不等式即可证明，33转化为=ab，再由均值不等式可得：=ab （）2（）由 a +b =2， 即可得到

15、2，问题得以证明7.【答案】 （1）解：当时，即故不等式的解集为（ 2）解：当时成立等价于当时成立若，则当时；若，的解集为，所以，故综上，的取值范围为【解析】 【分析】 (1)通过对 x 分类讨论去掉绝对值,解不等式 ,求出解集 ;(2)不等式恒成立等价于f(x)-x>0 对于恒成立 ,即函数 f(x)-x 的最小值大于0,由此求出 a 的范围 .8.【答案】 （1）解：当a=1 时，当时， -21 舍当时， 2x 1;.当时， 2 1,成立，综上所述结果为（ 2）解： ax0 a 0.ax 2又所以综上所述【解析】 【分析】通过对x 分类讨论去掉绝对值,解不等式 ,求出解集 ;(2)不

16、等式恒成立等价于f(x)-x>0 对于恒成立 ,即函数 f(x)-x 的最小值大于0,由此求出a 的范围 .9.【答案】 （1）解： f （ x） =|x+1| |x 2|=， f （x） 1，当 1x2时， 2x11，解得 1x2；当 x 2 时， 31恒成立，故 x 2；综上，不等式 f（ x） 1的解集为 x|x 1（ 2）原式等价于存在x R使得 f（ x） x2+x m成立，即 mf（ x） x2+xmax， 设 g（ x） =f（ x） x2+x由（ 1）知， g（x） =，当 x 1 时， g（ x） = x2+x 3，其开口向下，对称轴方程为x= 1 ， g（ x） g（

17、 1） = 1 1 3= 5；当 1 x2 时， g（ x） = x2+3x 1，其开口向下，对称轴方程为x= （ 1， 2）， g（ x） g（）=+ 1=；;.当 x2时， g（ x） = x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x= 2， g（ x） g（ 2） =4+2=3=1；综上， g（ x） max = ， m 的取值范围为（，【解析】 【分析】（ 1.）由于 f（ x）=|x+1| |x 2|=，解不等式f（ x） 1可分1 x2与x 2 两类讨论即可解得不等式f（ x） 1的解集；（ 2.）依题意可得mf（ x） x2+xmax， 设 g（ x） =f（ x） x2+x，分 x

18、1、 1 x 2、 x2三类讨论，可求得 g（ x） max=，从而可得 m 的取值范围10.【答案】 （ 1）解：证明：a 0， f（ x） =|x+|+|x a| |（ x+）（ x a） |=|a+|=a+ 2=2，故不等式f（ x） 2成立（ 2）解： f（ 3） =|3+|+|3 a| 5，当 a3 时，不等式即a+ 5，即 a2 5a+1 0，解得 3 a当 0 a3时，不等式即6a+ 5，即a2 a 10 ，求得a3综上可得， a 的取值范围（，）【解析】 【分析】（ 1）由 a 0， f （x） =|x+|+|x a| ，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f（ x）2成立（

19、2）由 f（3） =|3+|+|3 a| 5，分当 a 3 时和当 0 a3时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求;.11.【答案】 （ 1） 4（ 2）【解析】 【解答】1.因为,当且仅当时，等号成立，又,所以,所以的最小值为，所以.2.由 1 知，由柯西不等式得,即.d 当且仅当,即时，等号成立所以的最小值为【分析】当的系数相等或相反时，可以利用绝对值不等式求解析式形如的函数的最小值，以及解析式形如的函数的最小值和最大值，否则去绝对号，利用分段函数的图象求最值利用柯西不等式求最值时，要注意其公式的特征，以出现定值为目标12.【答案】 （ 1）解： a 0，b 0，

20、且+=，=+2， ab2，当且仅当 a=b=时取等号 a3+b3 2 2=4，当且仅当 a=b=时取等号，33的最小值为 4 a +b（ 2）解： 2a+3b2=2，当且仅当 2a=3b 时，取等号而由（ 1）可知， 22=46，故不存在 a， b，使得 2a+3b=6 成立【解析】 【分析】（ 1）由条件利用基本不等式求得ab2，再利用基本不等式求得a3 +b3 的最小值（ 2）根据 ab4及基本不等式求的 2a+3b 8，从而可得不存在a， b，使得 2a+3b=613.【答案】 （ 1）解：因为f （ x）2=lnx+ax +（ 2a+1） x，求导 f （ x） =+2ax+（ 2a+

21、1） =，（ x 0），;. 当 a=0 时， f （ x） =+1 0 恒成立，此时y=f（ x）在（ 0，+）上单调递增； 当 a0，由于 x 0，所以（ 2ax+1）（ x+1） 0 恒成立，此时y=f（ x）在（ 0， +）上单调递增； 当 a0 时，令 f （ x）=0，解得： x=因为当 x（ 0，）时， f （ x） 0、当 x（， +）时， f （x） 0，所以 y=f （ x）在（ 0，）上单调递增、在（， +）上单调递减综上可知：当a0时 f （ x）在（ 0，+）上单调递增，当 a 0 时， f（ x）在（ 0，）上单调递增、在（， +）上单调递减；（ 2）证明：由 （

22、1）可知：当 a 0 时 f（ x）在（ 0，）上单调递增、在（， +）上单调递减，所以当 x=时函数 y=f（ x）取最大值f（x） max=f（） = 1ln2+ln（）从而要证f（ x） 2，即证 f（） 2，即证 1 ln2+ln（） 2，即证（） +ln（） 1+ln2 令 t=，则 t 0，问题转化为证明：t+lnt 1+ln2（* ）令 g（ t）=t+lnt ，则 g（ t ） =+，令 g（ t） =0 可知 t=2，则当 0 t 2 时 g（ t ） 0，当 t 2 时 g（ t） 0，所以 y=g（ t ）在（ 0， 2）上单调递增、在（ 2， +）上单调递减，即 g（

23、t）g（ 2） = ×2+ln2= 1+ln2，即（ *）式成立，所以当 a 0 时， f（ x） 2 成立;.【解析】 【分析】（ 1.）题干求导可知f （ x）=（ x0），分 a=0、 a0、 a 0 三种情况讨论f （ x）与 0 的大小关系可得结论；（ 2.）通过（ 1）可知 f（ x）max=f（）=1ln2 +ln（），进而转化可知问题转化为证明：当 t 0 时t+lnt 1+ln2 进而令g（ t） =t+lnt ，利用导数求出 y=g（ t）的最大值即可14.【答案】 解：（）因为函数f （ x） =x 1 alnx， x 0，所以 f （ x） =1=，且 f （

24、 1） =0所以当 a0时 f （ x） 0 恒成立，此时y=f（ x）在（ 0， +）上单调递增，所以在（0,1）上 f(x)<0,这与 f（ x） 0矛盾；当 a 0 时令 f （ x） =0，解得 x=a，所以 y=f （ x）在（ 0，a）上单调递减，在（a， +）上单调递增，即f（ x） min=f（ a），又因为 f （x） min=f（ a） 0，所以 a=1；（）由（）可知当a=1 时 f（ x） =x 1lnx 0，即 lnx x1，所以 ln（ x+1） x当且仅当 x=0 时取等号，所以 ln（ 1+）， k N* ,所以， k N* 一方面，因为+ +=1 1，所

25、以，（ 1+）（ 1+） （ 1+） e；另一方面，（1+）（ 1+） （1+）（ 1+）（ 1+）（ 1+） =2，同时当 n3时，（ 1+）（ 1+） （1+）（ 2， e）因为 m 为整数，且对于任意正整数n（ 1+）（ 1+）（ 1+） m，所以 m 的最小值为3;.【解析】 【分析】（）通过对函数f（ x） =x 1 alnx（ x 0）求导，分a0、 a 0 两种情况考虑导函数f （ x）与 0 的大小关系可得结论；（）通过（）可知lnx x1，进而取特殊值可知ln（ 1+）， k N* 一方面利用等比数列的求和公式放缩可知（1+）（ 1+） （ 1+） e；另一方面可知（1+）（

26、 1+） （ 1+） 2，且当 n3时，（ 1+）（ 1+） （ 1+）（ 2， e）15.【答案】 （ 1）解：（ 2）解：由（ 1）中可得： a3， b2，当 a=3， b=2 时， a+b 取最小值，;.所以 a+b 的最小值为5.【解析】 【分析】（ 1）画图像，分段函数;（ 2）转化为一次函数分析.16.【答案】 （ 1）解：因为，所以且，解得，因为 aN*， 所以 a 的值为 1（ 2）解：由（ 1）可知函数 f（x） =|x+1|+|x 2| |（ x+1）（ x 2） |=3 ，当且仅当（ x+1）（ x 2） 0，即 x2或 x 1 时取等号，所以函数 f（ x）的最小值为

27、3【解析】【分析】（ 1）利用，推出关于a 的绝对值不等式，结合a 为整数直接求a 的值（ 2）利用 a 的值化简函数f （ x），利用绝对值三角不等式求出|x+1|+|x 2| 的最小值17.【答案】 （ 1）解：当a= 2 时，求不等式f（ x） g（ x）化为 |2x 1|+|2x 2| x 3 0设 y=|2x 1|+|2x 2| x 3，则y=，它的图象如图所示：结合图象可得，y 0 的解集为（ 0， 2），故原不等式的解集为（0， 2）（ 2）解：设 a 1，且当时，（f x）=1+a，不等式化为1+ax+3，故 xa 2 对;.都成立故a 2，解得a，故 a 的取值范围为（1，【

28、解析】 【分析】（ 1）当 a= 2 时，求不等式f （ x） g（ x）化为 |2x 1|+|2x 2| x 3 0设 y=|2x 1|+|2x 2| x 3，画出函数y 的图象，数形结合可得结论（2）不等式化即1+ax+3，故xa 2 对都成立故a 2，由此解得a 的取值范围18.【答案】 （ 1）解：当时，若；当时，恒成立；当时，若，综上可得，（ 2）证明：当时，有，即，则，则，即，证毕【解析】 【分析】（ 1）分当 x时，当x 时，当 x时三种情况，分别求解不等式，综合可得答案； （ 2）当 a，b M 时，（ a2 1）（ b21） 0，即 a2b2+1 a2+b2， 配方后，可证得结论;.19.【答案】 （ 1）解：当a=2 时， f（ x） =|2x 2|+2 ， f（ x） 6， |2