数列的通项与求和经典教案.

1、数列等差数列等比数列数列 an 的后一项与前一项的差数 列 an 的 后 一 项 与 前 一 项 的 比定义an an 1 为常数 danan 1 为常数 q（ q 0）专有名词d 为公差q 为公比通项公式an=a1+（ n 1） dan=a1·qn 1前 n 项和na1n( n 1)da1 an na1 1 q n22Sn= 1 qSn=通项公式一、 利用公式求通项公式已知一个数列是特殊的数列，只要求出首项和公差或公比代入公式即可求出通项例 1等差数列的前n 项和记为Sn ，已知 a1030，a2050 ，求通项 an 解： a10 a19d 30 ，a20a119d50 ，得 1

2、0d20，d2 代入，得a112 an2n10例 3等差数列an是递增数列，前n 项和为 Sn ，且 a1, a3 ,a9 成等比数列， S5a52求数列 an 的通项公式 .解：设数列an公差为 d ( d0) a1 ,a3 , a9 成等比数列， a32a1a9 ，即(a 2d )2a ( a 8d )d 2a d1111 d0 ， a1d 25a154d (a 4d) 2 S5a521 a133由得：d5 ，5an3(n1)33 n555二、由 an 的前 n 项和 Sn 与 an 间的关系，求通项S1，an( n 1)利用SnSn(n 2).1此处应注意 anSnSn 1 并非对所有的

3、nN 都成立，而只对当n 2 且为正整数时成立，因此由 Sn 求 an 时必须分 n1 和 n 2 两种情况进行讨论例 1设数列an 的前 n 项和 Sn 3 n 2n(nN ) ，求数列 an的通项公式解： 当 n1 时， a1S13 121 2 ；当 n 2 时， anSnSn13n2n3(n1)2n1 6n4 此式对 n1 也适用an6n4(nN ) 例 2（1）Sn2n 23n 1Sn2n1.求数列an的通项公式；【解析】当 n1时， a1S12123114 ，当 n2 时， anSnSn 1( 2n23n1)2(n1)23(n1) 14n1 .an4(n1)而 n1时，4 115a1

4、 ，4n1(n2) .当n 1时，a1S12 13，当n 2时，anSnSn 1(2n1)(2n 11)2n 1 .an3(n1)而 n 1 时， 21 11a1 ，2n 1 (n 2) .（ 3） . 已知 Sn 为数列an 的前 n 项和， a11 ， Snn 2 an ，求数列an 的通项公式（ 4）已知 Sn 为数列an 的前 n 项和， Sn3an2(nN , n 2) ，求数列 an 的通项公式 .（ 5）已知数列 an的前 n 项和 Sn 满足 Sn2an( 1) n , n 1 求数列 an 的通项公式。（08 全国卷理节选）设数列an的 前 n 项 和 为 Sn， 已 知a1

5、 a, an 1Sn3n (nN ) ，设 bnSn3n ，求数列 bn的通项公式【解析】依题意，an 1Sn 1SnSn3n，即 Sn 12Sn3n ，由此得 Sn 13n 12( Sn3n ) ，bnSn3n(a3) 2n 1.点评： 利用数列的前 n 项和 Sn求数列的通项公式an 时，要注意 a1 是否也满足anSn Sn 1 (n 2) 得出的表达式，若不满足，数列的通项公式就要用分段形式写出三、 利用递推关系，求通项公式根据题目中所给的递推关系， 可构造等差数列或采取叠加， 叠乘的方法， 消去中间项求通项公式例 .数列an中， a2，an 13( n2) ；2 3 an求数列的通项

6、公式an (nN ) 1.叠加法例 1：数列 an中， a11， an 1an3n ，求数列的通项公式an (nN )解： 因为 an 1an3n ，所以 a2a131 ， a3a23 2 ， a4a333 ，an an 13(n1) 将上面 n1 个式子叠加，得ana13(12 3n1)3(n1)n3( n2n)22，an13 (n 2n)3 n23 n 1所以222【例 2】已知数列an中， a12, anan 12n 1( n 2) ，求数列an 的通项公式；2. 叠乘法例 1. （ 1） 数列 an中， a1，an 1ananan ( n N )1n1 ，求数列的通项公式解： 由 an

7、ananan1n21n1 ，变形为ann1 ，a23a34ann1a2， ，n12 ，3an 1aann1将上面的式子叠乘，得a12an1(n1)2（ 2）、已知数列an中， a12, (n2)an1(n1)an0( nN) ，求数列an 的通项公式 .an 1n1【解析】由 (n2)an 1(n1)an0 得， ann2ananan 1 an 2a3 a2 a1n n 1 n 23 2 24an 1 an 2 an 3a2a1n 1 nn 14 3n 1 .（ 3） . 已知数列an中，, 求数列 an的通项公式 .an 满足 a12an 1nan ，求 an 。（ 4）已知数列3 ，n 1

8、【反思归纳】迭加法适用于求递推关系形如“an 1anf (n) ”； 迭乘法适用于求递推关系形如“ an 1an f (n) “；迭加法、迭乘法公式： an(anan 1 ) ( an 1an 2 ) ( an 2 an 3 )( a2 a1 ) a1ananan 1an 2a3a2a1an 1 an 2an 3a2a1.3. 构造等比数列求通项（构造法）【例 1】已知数列an中， a11, an 12an3 ，求数列an 的通项公式 .【解析】an12an3，an 1 32(an3)an 3 是以 2为公比的等比数列，其首项为a13 4an3 4 2n 1an2n 13.例 2设数列an ：

9、 a1 4, an3an 1 2n1,( n2) ，求 an(2006. 重庆 .14 ）在数 列an中，若a1 1, an 1 2an 3(n 1)， 则该数列的通项an【例 3】已知数列an中， a11, an12an3n ，求数列 an的通项公式 .an 1an3nan【解析】an 12an3n ，2n2n 1(2 )，令 2n 1bnbn 1bn( 3)nbn(bnbn 1 ) (bn 1bn 2 )( b2b1 ) b1则2，( 3 )n 1( 3) n 2( 3)n 3(3)2312 ( 3) n2222222an3n2n【反思归纳】递推关系形如“an 1panq ” 适用于待定系

10、数法或特征根法：令 an1p(an) ；an1anxxq 在 an 1pan1p ，an 1x p(an x) ；q 中令由 an 1panq 得 anpan1q ，an 1anp(anan 1 ) .4. 倒数法数列 ana11, an 12an ( n N )，则 an的通项 an例 1.中，2 an.an22an111【解析】2n1由an 1an22an ，得 an 1例 2： anan 1,a113an 1 1，求数列的通项公式an .数列求和1、公式法：如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前 n 项和的公式来求 .n a1an

11、n n1Sn2na1d等差数列求和公式：2na1q1Sna 1qnaa q11nq 1等比数列求和公式：1q1q例 1. 已知数列 bn 是等差数列， b1=1,b1+b2+ +b10=145. 求数列 bn 的通项 bn；2、倒序相加法：类似于等差数列的前 n 项和的公式的推导方法。 如果一个数列 an ，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和， 可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和。这一种求和的方法称为倒序相加法.fx2x2x2例 1、 已知函数（ 1）证明： fxf 1x1；1289ffff的值 .（ 2）求 10101010解：（ 1）先利用指数的相关性质对函

12、数化简，后证明左边=右边（ 2）利用第（ 1）小题已经证明的结论可知，192f8551fff10ff1010101010令 S1f2f89f1010f1010则 S9f8f21f1010f1010两式相加得：2S 91999ffS1010所以2.小结：解题时， 认真分析对某些前后具有对称性的数列， 可以运用倒序相加法求和 .S12223210210222923282102 12例 2、求值：123、错位相减法：类似于等比数列的前 n 项和的公式的推导方法。 若数列各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘得到，即数列是一个“差·比”数列，则采用错位相减法 .若 anbncn ，其中

13、bn 是等差数列，cn 是公比为 q 等比数列，令Snb1 c1b2 c2n b 1n c 1n bn c则 qSnb1 c2b2 c3n b n1 cn bn c两式相减并整理即得【例 1】 求数列 1， 3x， 5x2n-1前 n 项的和, ,(2n-1)x解设 Sn=1+3+5x2+ +(2n-1)x n-1 (2)x=0 时， Sn=1(3) 当 x 0 且 x 1 时，在式两边同乘以x 得xSn=x+3x 2+5x3+ +(2n-1)x n，-，得(1-x)S n=1+2x+2x 2+2x3+ +2xn-1 -(2n-1)xn例 2、（ 2008 年全国 第 19 题第（ 2）小题，

14、满分 6 分）已知 ann 2n 1，求数列 a 的前 n 项和 Snn .解： Sn1 202 21(n 1) 2n 2n 2n 12S 1212 22(n 1) 2n 1n 2nn得Sn n 2n1 20212n 1n 2n2n14.裂项法：把通项公式整理成两项( 式多项 ) 差的形式，然后前后相消。常见裂项方法：1111111（ 1） n nkknnk，特别地当 k1时， n n1nn 111nkn1n 1n（ 2） nk1时kn，特别地当 kn 1n（ 3）【 1】注：在消项时一定注意消去了哪些项，还剩下哪些项，一般地剩下的正项与负项一样多。在掌握常见题型的解法的同时，也要注重数学思想

15、在解决数列问题时的应用。5、分组求和法：有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列.若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可例 1、求和： Sn23 5 1435 263 5 32n 3 5 n解： Sn 2 3 5 1435263532n 3 5 n2462n3 5 15 25 35 nn1 11nn n1355n2n 3 1111455小结：这是求和的常用方法，按照一定规律将数列分成等差（比）数列或常见的数列，使问题得到顺利求解 .例：求和： Sna1a22a33ann巩固练习题：1 等差数列an 是递增数列， 前 n 项和为 Sn ，且

16、a1 ,a3 , a9 成等比数列， S5 a52 求数列an的通项公式 .1an 1an12 已知数列an 满足a12n ，求 an2 ，n3.4 . (2004 全国卷 I.15) 已知数列 an ，满足 a1=1，an=a1+2a2+3a3+ +(n1)an 1(n 2)，求 an的通项 .1 , 3, 5, , 2n 1, ;5.2222 32n的前 n 项和为 _6. 2数列 an 、 bn 都是公差为1 的等差数列，若其首项满足a1 b1 5，a1 b1，且 a1，b1 N* ，则数列 abn 前 10 项的和等于()A100B85C70D 5511117.2 4.3) =_35 4 6( n1)(n8. 数列 anan1n( n1) ，求它的前 n