第四讲　函数的单调性

1、 第四讲函数的单调性第四讲函数的单调性学习目标基础落实金典例题1.理解函数的单调性及其几何意义理解函数的单调性及其几何意义.2.会运用函数图象理解和研究函数的性质会运用函数图象理解和研究函数的性质.3.能够熟练地应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性能够熟练地应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性.1函数的单调性函数的单调性增函数增函数减函数减函数定定义义 一般地，设函数一般地，设函数f(x)的定义域为的定义域为I：如果对于定义：如果对于定义域域I内某个区间内某个区间D上的任意两个自变量上的任意两个自变量x1, x2 当当x1x2时时, 都都 有有_ ,那么函数那么函数f(x)在区间在区间

2、D上是增函数上是增函数 当当x1x2时，都有时，都有_ , 那么函数那么函数f(x)在区间在区间D上是减函数上是减函数图图象象描描述述自左向右看图象是自左向右看图象是_自左向右看图象是自左向右看图象是_f(x1) f(x2)上升的上升的下降的下降的(1)单调函数的定义单调函数的定义(2)单调区间的定义单调区间的定义 若函数若函数f(x)在区间在区间D上是上是_或或_,则称函则称函数数f(x)在这一区间具有在这一区间具有(严格的严格的)单调性，单调性，_叫做叫做 yf(x)的单调区间的单调区间增函数增函数减函数减函数区间区间D1. 1. 下列函数下列函数f（x）中，满足）中，满足“对任意对任意x

3、1 1, ,x2 2（0,0,），），当当x1 1 x2 2时，都有时，都有f（x1 1） f（x2 2）”的是的是( () )A.A.f（x）B.B.f（x）（）（x1 1）2 2C.C.f（x）e ex xD.D.f（x x）l ln（x1 1）1x选选D.根据单调性定义，满足条件的函数根据单调性定义，满足条件的函数f（x）在）在（0,）上为增函数，作出图象（如下图），根据图象特征）上为增函数，作出图象（如下图），根据图象特征进行判断进行判断.由图象可知，应选由图象可知，应选D.4.4.对于对于R上可导的任意函数上可导的任意函数f( (x) )，若满足，若满足( (x-1)-1)f(x)0

4、)0，则必有则必有( () )A.f(0)+f(2)2f(1)B.f(0)+f(2)2f(1)C.f(0)+f(2)2f(1)D.f(0)+f(2)2f(1)依题意，当依题意，当x1时，时，f（x）0，函数，函数f（x）在（）在（1，）上是增函数；）上是增函数；当当x1时，时，f（x）0，f（x）在（）在（，1）上是减函数，）上是减函数，故当故当x1 1时时f（x）取最小值，）取最小值，所以所以f（0 0）f（1 1），），f（2 2）f（1 1），），所以所以f(0)+(0)+f(2)2(2)2f(1)(1)，故选，故选C.C.函数单调性的判定与证明证明：函数在证明：函数在(0,+)上是增函

5、数上是增函数.xxeexf1)(证法证法1：(利用单调性的定义证明利用单调性的定义证明)设设0 x1x2,且且x1,x2(0+).由由x10，x20，x2-x10，21212111xxxxeeeexfxf)()(211212121122112211111xxxxxxxxxxxxxxxxxeeeeeeeeeeee)()(可知可知x1+x20，e(x2-x1)-10，1-ex2+x10,ex1+x20，ex10，所以，所以f(x1)-f(x2)0，所以，所以f(x)在在(0，+)上是增函数上是增函数.证法证法2：(利用导数证明利用导数证明)由，由，得得,当当x(0,+)时时,有有e-x0,e2x-

6、10,此时此时f(x)0,所以所以f(x)在在(0,+)上是增函数上是增函数.xxeexf1)()()()(122xxxxxxxeeeeeeexf单调性的判定与证明的常用方法：单调性的判定与证明的常用方法：（1）定义法：一设，二作差，三比较）定义法：一设，二作差，三比较.（2）导数法：若）导数法：若f(x)在某个区间内可导，当在某个区间内可导，当f(x)0时，时，f(x)为增函数；当为增函数；当f(x)0时，时，f(x)为减函数为减函数.1.用定义证明：函数用定义证明：函数在在x1,）上是增函数）上是增函数.xxxf1)(证明：设1x1x2，则2121212121212122112111111

7、11xxxxxxxxxxxxxxxxxxxfxf)()()()()(又因为又因为1x1x2，所以，所以x1x20,所以所以,即即f（x1）0,所以所以x2或或x1,又又f(0)=f(x)f(-x)=1.所以所以f(x) 0.又当又当x0时时, f(x)10，所以所以xR时，恒有时，恒有f(x)0.1( )f x(3)证明：设证明：设xx2，则，则x-x0，所以所以f(x)=f(x-x+x）=f(x-x)f(x）.因为因为x-x0，所以，所以f(x-x)1.又又f(x）0，所以，所以f(x-x）f(x）f(x）.所以所以f(x）f(x）.所以所以f(x)是是R上的增函数上的增函数.(4)由由f(

8、x)f(2x-x）1, f(0)=1,得得f(3x-x）f(0).又又f(x)是是R上的增函数，上的增函数，所以所以3x-x0，所以，所以0 x3.所以所以x的取值范围为的取值范围为(0，3).（1）抽象函数问题常采用赋值法）抽象函数问题常采用赋值法.（2）注意灵活应用题目条件，如在第）注意灵活应用题目条件，如在第(3)问的证明中，问的证明中，“f(x)=f(x-x)+x”是证明单调性的关键，这里体现是证明单调性的关键，这里体现了用条件化归的策略了用条件化归的策略.（3）单调性的应用表现在两个方面：根据自变量的大）单调性的应用表现在两个方面：根据自变量的大小关系得到函数值的大小关系；根据函数值的大小关系得小关系得到函数值的大小关系；根据函数值的大小关系得到自变量的大小关系到自变量的大小关系.3.函数函数f（x）对任意的）对任意的a、bR，都有，都有f（ab）f（a）f（b）1,并且当并且当x0时，时，f（x）1.（1）求证：）求证：f（x）是）是R上的增函数；上的增函数；（2）若）若f（4）5,解不等式解不等式f（3m2m2）3.（1）设）设x1,x2R，且，且x10,所以所以f（x2x1）1,f（x2）f（x1）f（x2x1）x1f（x1）f（x2x1）f（x1）1f（x1）f（x2x1）10,所以所以f（x2）f（x1）.即即f（x）在）在R上是增函数上是增函数