数学物理方程第一章-复变函数ppt课件

1、第一篇第一篇 复复 变变 函函 数数 论论复变函数复变函数微分和积分微分和积分泰勒展开和洛朗展开泰勒展开和洛朗展开留数定理留数定理傅立叶变换傅立叶变换拉普拉斯变换拉普拉斯变换zyx11O第一章 复变函数代数表示代数表示: x ,y 为实数，为实数，i 为单位虚数，为单位虚数，那么那么iyxz且 x 为其实部，y 为虚部，记zxRezyIm1.1. 复数12i为复数iez 且)/(22xyarctgyx和sincosyxzArgz)20( Argz主值复共轭ieiyxz又称为模其它概念其它概念x 轴为实轴，y 轴为虚轴，构成复数平面复数 z 为此平面上的一点几何表示几何表示从几何上看，复数又是此

2、平面上的一个矢量为矢量长度为幅角记复数的运算复数的运算222111,iyxziyxz加法)()(212121yyixxzz2121zzzz减法)()(212121yyixxzz2121zzzz乘法)()(1221212121yxyxiyyxxzz除法)(2122222112222221212121ieyxyxyxiyxyyxxzz幂n整数）innnez 根ninnez/迫近000,yyxxzz12i测地投影和无限远点测地投影和无限远点如左图，一球的南极与复数平面的原点相切，平面上任意点 A 与球的北极由一条直线相连，直线与球相交于 A 。由此，每一有限的复数 投影到球上一点 。这个投影叫测地投

3、影，这个球叫复数球。所有的无穷大复数平面上无限远点投影到唯一的北极 N。故我们为方便，将无穷远点看作一个点。其模无穷大，幅角无意义。复数 z 是两个独立变量 (x, y) 的集合。它在数值计算中是一个整体，服从通常的四则运算规则和虚单位的特殊规则；它可以看作具有两个独立分量的量来表示矢量和计算。小结小结1.2. 复变函数比较与实变函数相对应的定义实函数：实函数：)(xfyxx)(xfy定义域、值域y=f(x)y=f(x)ivu0zxyzvu0)(zf复函数()fz0zxyzvu0)(zf定义域值域定义定义 在复平面上一点集在复平面上一点集 E 中每一点，都有一个或几个复中每一点，都有一个或几个

4、复数数 与之对应，称与之对应，称 为为 z 的函数，的函数，E 为定义域，为定义域，Ezzf)(记 0zxyzvu0)(zf定义域值域E实函数：实函数：定义定义: 对于实数域中一区域对于实数域中一区域 B 中的每一实数中的每一实数 x ，都有唯一的一个实数都有唯一的一个实数 y 与之对应。则称与之对应。则称 y 为为 x 的的函数。函数。 B为此函数的定义域，记为此函数的定义域，记 。连续，可微：连续，可微： )(xfynCCn 次可微无限可微邻域邻域区域区域 B 的内点的内点外点外点境界点境界点 境界线境界线区域区域内点组成的连通集合闭区域闭区域区域和境界线的全体全体境界点的集合不是内点，也

5、不是外点的点。z 和它的邻域都不属于 B， 那么 z 为 B 的外点。z 和它的邻域都属于 B， 那么 z 为 B 的内点。复平面上圆 内点的集合 几个概念几个概念zzrrzz00z区域例多项式多项式nnzazazaa2210有理分式有理分式mmnnzbzbzbbzazazaa22102210根式根式nnzazazaa2210指数函数指数函数)sin(cosyiyeeeeexiyxiyxz三角函数三角函数ieezeeziziziziz2sin,2cos双曲函数双曲函数2sinh,2coshzzzzeezeez对数函数对数函数iezilnlnln幂函数幂函数isssez 连续：连续：0zz )(

6、)(0zfzf或：00yyxx.),(),(),(),(000000yxvyxvyxuyxu视 z 为矢量),(),()(yxv jyxuizyjxiz这是平面上的矢量场可以设矢量函数1.3. 1.3. 导导数数zzfzzfzzz)()(limlim00定义定义dzdf运算规则运算规则;)(,1,)(,)(,)(222121212121212121dzddzdFFdzdddzdzddzddzddzddzddzddzddzd.1ln,sincos,cossin,1zzdzdzzdzdzzdzdeedzdnzzdzdzznn复函数是一个二元函数实部和虚部），复数空间又是个二元空间，故复函数类似于一

7、个矢量场，其导数一般应与方向有关。可导：对任何方向的可导：对任何方向的 ，极限都存在并唯一。，极限都存在并唯一。zx0y),(yxu1r2r1r2r1u2u可导：对任何方向的可导：对任何方向的 ，极限都存在并唯一。，极限都存在并唯一。zxyzzz zz复数0 xxx实数因而，复函数的可导性是比实函数的可导性强的多的条件。柯西柯西黎曼方程黎曼方程z沿实轴0yxvixuzxvixuzz0limz沿虚轴yiviyiuz0 xyuiyvzz0lim可导，要求二者相等可导，要求二者相等yvxu必要条件必要条件yuxv柯西柯西黎曼方程黎曼方程yvxu必要条件必要条件可导的充分条件:)(zf的yvxvyux

8、u,存在，连续且满足柯西黎曼方程。yuxv1.4. 1.4. 解析函数解析函数)(zf在点 解析，即在这点可导。0z为在区域 B 中解析函数，即在区域的点点解析。性质性质曲线族21),(),(CyxvCyxu相互正交。yvyuxvxu即由柯西黎曼方程vuyvyuxvxu0两族曲线的梯度正交两族曲线正交(1)知 U 求 V当它们是某解析函数的实部和虚部dyxudxyudyyvdxxvdvyxv),(可由 (1) 曲线积分 (2) 凑全微分显式 (3) 不定积分 求出满足拉普拉斯方程由柯西黎曼方程)()(xvyuyyvxux02222yuxu02222yvxv调和函数(2)例例22),(yxyxu求)(),(zfyxv解解:2, 22222yuxu u 是调和函数;Cxdyydxdyxudxyuyxv22),(1)二元函数的线积分，将来在热力学中出现。全微分的积分与路径无关CxyCydxCxdyydxxdyydxyxvyxyyxyy222222),(),(), 0(),(), 0(), 0()0 , 0(2)2(22),(xydxdyydxyxdvCxyv 2(3)(2)(2),(xxyxxdyyxv视 x 为参量，对 y 积分yyuxyxv2)( 2求 满足的方程)