新广义积分4-7ppt课件

1、二、无界函数的反常积分二、无界函数的反常积分第七节第七节常义积分常义积分积分限有限积分限有限被积函数有界被积函数有界推广推广一、无穷限的反常积分一、无穷限的反常积分反常积分反常积分 ( (广义积分广义积分) )反常积分 第四章 adxxf)(tatdxxf)(lim一、无穷限的广义积分一、无穷限的广义积分(无穷积分无穷积分)bttdxxf)(lim)(xf,(b bt 类似地，设函数类似地，设函数在区间在区间上连续，上连续， 如果极限如果极限 则称此极限为函数则称此极限为函数，存在，存在， bdxxf)(bttdxxf)(lim dxxf)( 0)(dxxf 0)(dxxf)(xf,(b bd

2、xxf)(在区间在区间上的无穷积分，记作上的无穷积分，记作.当极限存在时，称该无穷积分收敛；当极限不存在时，当极限存在时，称该无穷积分收敛；当极限不存在时，称无穷积分发散称无穷积分发散.xdxfa)( 上的一个原函数，则上的一个原函数，则在区间在区间是函数是函数上连续，上连续，在区间在区间函数函数若若)()()( a,xfxFa,xf tatdxxf)(lim)()(limaFtFt xdxfa)( ;)(lim)(xFFx )(lim)(xFFx 引入记号引入记号则有类似牛则有类似牛 - - 莱公式的计算表达式莱公式的计算表达式 : :)()(aFF axF)(xdxfb)( )()( Fb

3、Fxdxf)( )()( FFbxF )( )(xF同样得同样得例例1 1 计算反常积分计算反常积分.1d2 xx解解: :21dxx xarctan)2(2xoy211xy考虑考虑: : ?012对吗对吗 xxdx分析分析: :)1ln(211d22xxxx原积分发散原积分发散 ! !注意注意: : 对反常积分对反常积分, , 只有在收敛的条件下才能使用只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零的性质偶倍奇零的性质. . 证证, 1)1( p 11dxxp 11dxx 1ln x, , 1)2( p 11dxxp 111pxp 1,111,ppp因此当因此当1 p时广义积分收敛，其值为时广义积分收

4、敛，其值为11 p；当当1 p时广义积分发散时广义积分发散.例例2 2 证明第一类证明第一类 p p 积分积分1dpxx当当 p 1 时收敛时收敛 ; p1 时发散时发散 .例例3 3 计算广义积分计算广义积分解解.1sin122 dxxx 21sin12dxxx 211sinxdx 21cosx. 1 例例4 4 计算反常积分计算反常积分.ptdettp)0(0 解解: :tpept 原式原式 0 0de1tptptpep 21021p 二、无界函数的广义积分二、无界函数的广义积分(瑕积分瑕积分).xfaaxf常常积积分分也也称称为为瑕瑕积积分分的的瑕瑕点点，无无界界函函数数的的反反函函数数

5、为为则则称称点点的的任任一一邻邻域域内内都都无无界界，在在点点若若函函数数)()(,xfax )(lim的的瑕瑕点点，是是函函数数即即)(xfax btatdxxf)(lim)(xf,(ba,dxxfba )()(xf,(ba定义定义2 设函数设函数在区间在区间上连续，上连续， 存在，则称此极限为函数存在，则称此极限为函数在区间在区间记作记作如果极限如果极限上的瑕积上的瑕积分，分， badxxf)(btatdxxf)(lim badxxf)(即即,dxxftabt )(lim badxxf)( cadxxf)( bcdxxf)(,xfbx )(lim的的瑕瑕点点，是是函函数数即即)(xfbx

6、tabtdxxf)(lim)(xf)b ,a,dxxfba )()(xf)b ,a类似地，设函数类似地，设函数在区间在区间上连续，上连续， 存在，则称此极限为函数存在，则称此极限为函数在区间在区间记作记作如果极限如果极限上的瑕积上的瑕积分，分，并称该广义积分并称该广义积分( (瑕积分瑕积分) )收敛收敛. . 当极限不存在时，当极限不存在时，该广义积分发散该广义积分发散.称称 cadxxf)( bcdxxf)(如果两个瑕积分如果两个瑕积分和和都收敛，都收敛，上上除除点点在在区区间间设设函函数数)(ba,xf,)(外外连连续续bcac .xfc的的瑕瑕点点是是函函数数点点)(则定义则定义并称该广

7、义积分并称该广义积分( (瑕积分瑕积分) )收敛收敛. . 当极限不存在时，当极限不存在时，该广义积分发散该广义积分发散.称称,xfxF的原函数的原函数是是设设)()(的计算表达式的计算表达式 : : xxfbad)()()(aFbFxxfbad)()()(aFbF则也有类似牛则也有类似牛- -莱公式的莱公式的假设假设 b b 为瑕点为瑕点, , 那么那么假设假设 a a 为瑕点为瑕点, , 那么那么, ),(bac那那么么xxfbad)()()( cFbF )()(aFcFbaxF)( 若瑕点若瑕点baxF)( 例例5 5 计算反常积分计算反常积分解解).0(022 axadxa,1lim2

8、20 xaax原式原式0arcsinaax 1arcsin2112dxx211111x下述解法是否正确: , 积分收敛例例6 6 讨论反常积分讨论反常积分112dxx的收敛性的收敛性 . . 解解: :112dxx012dxx102dxx101x011x所以反常积分所以反常积分112dxx发散发散 . .例例7 7 证明反常积分证明反常积分baqaxx)(d证证: : 当当 q = 1 q = 1时时, ,当当 q 1 q 1 时收敛时收敛;q1 ;q1 时发散时发散 . .baaxxdbaax ln当当 q1 q1 时时baqaxx)(dabqqax1)(11q,1)(1qabq1q,所以当

9、所以当 q 1 q 1 时时, ,该广义积分收敛该广义积分收敛, ,其值为其值为;1)(1qabq当当 q 1 q 1 时时, , 该广义积分发散该广义积分发散 . .例例8 8 求反常积分求反常积分.xxdx031)( ,tx,tx,tx001令令.tdttdtxxdx0230303111)()()(则则02112)(-t2解解例例9 9解：解：,xxxxxf)2()1()1()(32 设设求求.d)(1)(312xxfxfI)(20 xfxx为 与的无穷间断点的无穷间断点, ,xxfxfd)(1)(2)(1)(d2xfxfCxf)(arctan012d)(1)(xxfxfI202d)(1)

10、(xxfxf322d)(1)(xxfxf)(arctanxf)(arctanxf02)(arctanxf232222732arctan222732arctan10 作作 业业 P303 1 (3)(6)(7)(10)(15)(16)(21)无界函数的广义积分瑕积分）无界函数的广义积分瑕积分）无穷限的广义积分无穷限的广义积分 dxxf)( bdxxf)( adxxf)( cabcbadxxfdxxfdxxf)()()(（注意：不能忽略内部的瑕点）（注意：不能忽略内部的瑕点） badxxf)(三、小结三、小结思考题思考题积分积分 的瑕点是哪几点？的瑕点是哪几点？ 101lndxxx思考题解答思考题

11、解答积分积分 可能的瑕点是可能的瑕点是 101lndxxx1, 0 xx1lnlim1 xxx, 11lim1 xx1 x不是瑕点不是瑕点, 101lndxxx的瑕点是的瑕点是. 0 x一、一、 填空题：填空题：1 1、 广义积分广义积分 1pxdx当当_时收敛；当时收敛；当_时时发散；发散；2 2、 广义积分广义积分 10qxdx当当_时收敛；当时收敛；当_时发时发散；散；3 3、 广义积分广义积分 2)(lnkxxdx在在_时收敛； 在时收敛； 在_ 时发散；时发散； 4 4、广广义义积积分分 dxxx21= =_ _ _ _ _；练练 习习 题题5 5、 广义积分广义积分 1021xxd

12、x_；6 6、 广义积分广义积分 xdttf)(的几何意义是的几何意义是_ _. .二二、 判判别别下下列列各各广广义义积积分分的的收收敛敛性性，如如果果收收敛敛，则则计计算算广广义义积积分分的的值值：1 1、 0coshtdtept )1( p； 2 2、 222xxdx ；3 3、 0dxexxn（为为自自然然数数n） ；4 4、 202)1(xdx；5 5、 211xxdx； 6 6、 022)1(lndxxxx；7 7、 10ln xdxn. .三、三、 求当求当为为何何值值时时k，广义积分，广义积分)()(abaxdxbak 收敛？又收敛？又为为何何值值时时k，这广义积分发散？，这广义积分发散？四、四、 已知已知 xxxxxf2,120,210,0)(，试用分段函数表示，试用分段函数表示 xdttf)(. .一、一、1 1、1, 1 pp；2 2、1,1 qq； 3 3、1,1 kk；4 4、发散；、发散； 5 5、1 1； 6 6、过点、过点轴轴平平行行于于 yx的直的直线左边线左