第九章 重积分(上)

1、1特点特点：平顶：平顶.曲顶柱体体积曲顶柱体体积=？特点特点：曲顶：曲顶.),(yxfz D曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积第九章第九章 重重 积积 分分 第一节第一节 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质 一、二重积分的概念一、二重积分的概念柱体体积柱体体积=底面积底面积 高高2播放播放 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和分割、求和、取极限、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示3步骤如下：步骤如下：用若干个小平用若干个小平顶柱体体积之顶柱体体积之和近似表示曲和近似表示曲顶柱体的体积，顶柱体的体积，xzyoD),(yxfz i),(ii先分割曲顶柱体的底，先分割

2、曲顶柱体的底，并取典型小区域，并取典型小区域，.),(lim10iiniifV 曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积4 设设有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的闭闭区区域域D，在在点点),(yx处处的的面面密密度度为为),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上连连续续，平平面面薄薄片片的的质质量量为为多多少少？求平面薄片的质量求平面薄片的质量i),(ii将薄片分割成若干小块，将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似取典型小块，将其近似看作均匀薄片，看作均匀薄片， 所有小块质量之和所有小块质量之和近似等于薄片总质量近似等于薄片总质量.),(lim10iiniiM xyo5二重积分的定

3、义定义定义 设二元函数),(yxfz 是有界闭区域D上的有界函数,若将D任意分割成n个小闭区域n,21,并用同样的记号记它们的面积,任取iii),(,作和niiiif1),(,记的直径ini1max,若极限 niiiif10),(lim 存在,则称函数),(yxf在D上可积可积,该极限称为),(yxf在D上的二重积分二重积分,记作Dyxfd),(. 6即即 Ddyxf ),(iiniif ),(lim10. . 7 在直角坐标系下用平在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划行于坐标轴的直线网来划分区域分区域D， DDdxdyyxfdyxf),(),(dxdyd 故二重积分可写为故二重积分可写为

4、xyo则面积元素为则面积元素为当当),(yxf在闭区域上连续在闭区域上连续或或分分片片连续连续时，定时，定义中和式的极限必存在，即二重积分必存在义中和式的极限必存在，即二重积分必存在. 8二、二重积分的性质二、二重积分的性质下面假定下面假定f( (x,y) ), ,g( (x,y) )在闭区域在闭区域D上连续上连续, ,A为为D的面积的面积. . 性质性质1 1 线性性质线性性质 DDDyxgyxfyxgyxfd),(d),(d),(),( DDyxfkyxkfd),(d),( (k为常数). 性质性质 2 2 区域可加性区域可加性 设21DDD,有 21d),(d),(d),(DDDyxfy

5、xfyxf. 9性性质质 3 3 若若在在D上上1),(yxf, ,则则由由定定义义可可知知, ,ADd1， 性性质质 4 4 比比较较性性质质 若若),(),(yxgyxf, ,Dyx),(, ,则则 DDyxgyxfd),(d),(， 特别地，特别地，d),(d),(DDyxfyxf. . 性性质质5 5 估估值值性性质质 设设),(yxf在在有有界界闭闭区区域域D上上的的最最大大值值为为M, ,最最小小值值为为m, , D的的面面积积为为A, ,则则 MAyxfmADd ),(. 这里这里A为为D的面积的面积. . 10性质性质 6 6( (二重积分的中值定理二重积分的中值定理) ) 若

6、若),(yxf在在D上上连连续续, ,则则存存在在一一点点D),(, ,满满足足: : AfyxfD),(d ),( 证证 由由性性质质 5 5 知知, , MAyxfmADd ),(, , 由由于于0A, ,得得 MyxfAmDd ),(1, 由由闭闭区区间间上上连连续续函函数数的的介介值值定定理理, , 存存在在一一点点D),(, ,使使 ),(d ),(1fyxfAD, ,即得证即得证 11例例 1 1 不作计算，估计不作计算，估计 deIDyx )(22的值，的值， 其中其中D是椭圆闭区域：是椭圆闭区域： 12222 byax )0(ab . 在在D上上 2220ayx ,12220a

7、yxeee 由由性性质质 5 知知 ,222)(aDyxede 解解 deDyx)(22 ab.2aeab 区区域域 D的的面面积积 , ab12例例 2 2 估估计计 DxyyxdI16222 的的值值，其其中中 D： 20, 10 yx.区域面积区域面积2 ,16)(1),(2 yxyxf在在D上上),(yxf的的最最大大值值)0(41 yxM),(yxf的的最最小小值值5143122 m)2, 1( yx 故故4252 I. 5 . 04 . 0 I解解13例例 3 3 判断判断 122)ln(yxrdxdyyx的符号的符号.当当1 yxr时时, 1)(0222 yxyx故故 0)ln(

8、22 yx;又又当当 1 yx时时, 0)ln(22 yx于是于是0)ln(122 yxrdxdyyx.解解14例例 4 4 比较积分比较积分 Ddyx )ln(与与 Ddyx 2)ln( 的大小的大小, 其中其中 D 是三角形闭区域是三角形闭区域, 三顶点各为三顶点各为(1,0), (1,1), (2,0). 解解三三角角形形斜斜边边方方程程2 yx在在 D 内内有有 eyx 21,故故 1)ln( yx, 于是于是 2)ln()ln(yxyx , 因因此此 Ddyx )ln( Ddyx 2)ln(.oxy121D15如果积分区域为：如果积分区域为：其中函数其中函数 、 在区间在区间 上连续

9、上连续.)(1x )(2x ,ba一、利用直角坐标系直角坐标系计算二重积分先先y 后后x )(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy 第二节 二重积分的计算法,xyx21)()( , bxa 16为曲顶柱体的体积为曲顶柱体的体积以曲面以曲面为底，为底，的值等于以的值等于以设设)()d(0)(y,xfzDy,xf,y,xfD 应用计算应用计算“平行截平行截面面积为已知的立面面积为已知的立体求体积体求体积”的方法的方法,a0 xbzyx)(0 xA),( yxfz)(1xy)(2xy.yy,xfxy,xfDba)x()x(21 d)(dd)(得得17.d),(dd),()()( D

10、dcyy21xyxfyyxf 如果积分区域为：如果积分区域为：. dyc , )()(yxy21 先先x 后后y )(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx D18先先y 后后x ： 穿过区域且平行于穿过区域且平行于y轴的直线与区域轴的直线与区域边界相交不多于两个交点边界相交不多于两个交点.先先x后后 y ：穿过区域且平行于穿过区域且平行于x轴的直线与区域轴的直线与区域边界相交不多于两个交点边界相交不多于两个交点.若区域如图，若区域如图，3D2D1D在分割后的三个区域上分别在分割后的三个区域上分别使用积分公式使用积分公式.321 DDDD则必须分割则必须分割.19xy 1原原式式

11、 解解积分区域如图积分区域如图例例 1 1 改变积分改变积分 的次序的次序. xyyxfx1010d),(d yxyxfy1010d),(d20解解 设设 21DDd),(d),( yxfyxf .20, 10 :21xxyxD .20, 21 :2xyxD则则xyo1211Dxy 22D例例 2 2 改改变变下下面面积积分分的的次次序序 xxxyyxfdxyyxfx20212010d),(d),(d2 xxxyyxfdxyyxfx20212010d),(d),(d221于是，于是，xyo1211Dxy 22D设设21DDD 将将 D 向向 y 轴投影。轴投影。 . 10,211 :2yyxy

12、D d ),(D yxf原式原式xyo121D 102112d),(dyyxyxfy22例例 3 3 求求 Ddxdyyx)(2，其中，其中 D 是由抛物是由抛物线线2xy 和和2yx 所围平面闭区域所围平面闭区域. 解解两曲线的交点两曲线的交点),1 , 1( ,)0 , 0(22 yxxy Ddxdyyx)(2 1022)(xxdyyxdxdxxxxxx)(21)(42102 .14033 2xy 2yx 23例例 4 求求 Dydxdyex22，其其中中 D 是是以以),1 , 1(),0 , 0( )1 , 0(为为顶顶点点的的三三角角形形. dyey2无法用初等函数表示无法用初等函数

13、表示解解积积分分次次序序应应先先x后后y Dydxdyex22 yydxexdy02102dyyey 10332210262dyyey ).21(61e 24例例 5 5 计计算算积积分分 yxydxedyI212141 yyxydxedy121. 解解 dxexy不不能能用用初初等等函函数数表表示示先先改改变变积积分分次次序序.原原式式 xxxydyedxI2211 121)(dxeexx.2183ee 2xy xy 25例例 6 6 求由下列曲面所围成的立体体积，求由下列曲面所围成的立体体积，yxz ，xyz ，1 yx，0 x，0 y. 解解 曲面围成的立体如图曲面围成的立体如图.26,

14、 10 yx,xyyx 所求体积所求体积 DdxyyxV )( 1010)(xdyxyyxdx 103)1(21)1(dxxxx.247 所所围围立立体体在在xoy面面上上的的投投影影是是27二、利用极坐标系极坐标系计算二重积分在下述两种情况下,往往利用极坐标来计算二重积分： 1)当积分区域D为圆域、环域或扇形域等时, D的边界用极坐标表示较为简单； 2)被积函数具有 等形式时,用极坐标积分较为容易. )(22yxf 直角坐标与极坐标的转换关系为： sin ,cosryrx , 28AoDiirr iirrriiiiiiiiirrr 2221)(21iiiirrr )2(21iiiiirrrr

15、 2)(,iiirr DDrrrrfyxyxf dd)sin,cos(dd),(所以面积元素为所以面积元素为 dddrr 29 )()(21d)sin,cos(d rrrrf ADo)(1 r)(2 r Drrrrf dd)sin,cos(二重积分化为极坐标下二次积分的公式二重积分化为极坐标下二次积分的公式区域特征如图区域特征如图, ).()(21 r30例例 1 1 计算计算dxdyeDyx 22，其中，其中 D 是由中心在是由中心在原点，半径为原点，半径为a的圆周所围成的闭区域的圆周所围成的闭区域. 解解在在极极坐坐标标系系下下D：ar 0， 20.dxdyeDyx 22 arrdred0

16、202).1(2ae 31例例 3 3 DxyI darctan, ,其中其中D是由圆周是由圆周422 yx, , 122 yx及直线及直线0 y, ,xy 所围成的在第一象限内的闭区域所围成的在第一象限内的闭区域. . 解解 Dxy darctan 2140ddrr 2643 . 例例 2 2 290222230d)6(dxyyxyxxI 解解 化为极坐标化为极坐标, 20302d)6(d rrrrI 89)948127(2 . 32例例 4 4 DyxI d)4(, ,其中其中 yyxyxD2),(22 . . 解解 sin200d)sincos4(drrrrI d)sin38cossin

17、38sin8(4032 204202dsin316dsin16 32214331622116 . 注：注： xyxyxD2),(22 可表示为可表示为 cos20 ,22),(rrD. 33解解32 sin4 r sin2 rdxdyyxD)(22 yyx422 yyx222 03 xy rdrdrD 261 03 yx例例 5. 5. 计算计算dxdyyxD)(22 ， 其中其中 D 为由圆为由圆 yyx222 ，yyx422 及直线及直线yx3 0 ， 03 xy 所围成的平面闭区域所围成的平面闭区域. 6 3 sin4 r sin2 r34dxdyyxD)(22 36sin4sin22

18、rdrrd).834(15 rdrdrD 2 36sin4sin244 dr 364 sin60 d 362 22cos1 15 d6 3 sin4 r sin2 r35例例 6 6 计算二重积分计算二重积分 Ddxdyyxyx2222)sin(, 其中积分区域为其中积分区域为41| ),(22 yxyxD. 解解由由对对称称性性，可可只只考考虑虑第第一一象象限限部部分分， 注意：注意：被积函数也要有对称性被积函数也要有对称性. Ddxdyyxyx2222)sin(4 12222)sin(Ddxdyyxyx 210sin42rdrrrd. 4 1D36例例 7 7 写写出出积积分分 Ddxdy

19、yxf),(的的极极坐坐标标二二次次积积分分形形式式，其其中中积积分分区区域域,11| ),(2xyxyxD 10 x. 1 yx122 yx解解在极坐标系下在极坐标系下, 圆圆方方程程为为 1 r, 直直线线方方程程为为 cossin1 r, Dyxyxfdd),( 201cossin1d)sin,cos(d rrrrf37例例 8 8 求求Poisson积积分分： xxde2. . 解解 记记 xIxde2, 则则 yxIyxdede222 222de)(Ryx ararr020dedlim2 )e1(lim2aa, 所所以以 xxde2. 另另外外, 00dedede222xxxxxx

20、0de22xx, 所所以以 2de02 xx. 38第三节 三重积分一、三重积分的概念定定义义 设为空间有界闭区域,),(zyxf为上的有界函数,将任意划分成n个小区域:nvvv,21,并任取iiiiivM),(,记max1的直径iniv,若极限 niiiiivf10),(lim 存在,则称此极限为函数),(zyxf在闭区域上的三三重重积积分分,记作vzyxfd),(,即 niiiiivfvzyxf10),(limd),( 其中vd称为体积元素,在直角坐标系中,d dv v 又记为zyxddd,即三重积分又可记为zyxzyxfddd),(. 当函数),(zyxf在上连续时,则三重积分必存在.

21、391. 利用直角坐标计算三重积分利用直角坐标计算三重积分二、三重积分的计算xyzo D1z2z2S1S),(1yxzz ),(2yxzz ab)(1xyy )(2xyy ),(yx如图，如图，,Dxoy面上的投影为闭区域面上的投影为闭区域在在闭区域闭区域 ),(:),(:2211yxzzSyxzzS ,),(作直线作直线过点过点Dyx 穿穿出出穿穿入入，从从从从21zz方法一：方法一：“先一后二先一后二”法法(“(“穿线穿线”法法).). 40的函数，则的函数，则只看作只看作看作定值，将看作定值，将先将先将zzyxfyx),(, ),(),(21),(),(yxzyxzdzzyxfyxF上上

22、的的二二重重积积分分在在闭闭区区间间再再计计算算DyxF),(.),(),(),(),(21 DyxzyxzDddzzyxfdyxF ,),()(:21bxaxyyxyD 得得 vzyxfd),(.),()()(),(),(2121 baxyxyyxzyxzdzzyxfdydx次序：先z, 次y, 后x.41例例 1 1 计算三重积分 zyxxddd,其中为三个坐标面及平面12 zyx所围成. 解解 将投影到xOy面上,投影区域为 10,210),(xxyyxDxy, 在此区域内任取点穿越,穿进为平面0z,穿出为平面yxz21, 所以 zyxxddd yxDzxyxxy210ddd yxxzx

23、yx21021010ddd (先z,次y,后x) 21010d)21 (dxyyxxx 102d)1(41xxx481 . 42例例 2 2 化三重积分化三重积分 dxdydzzyxfI),(为三次积分，其中积分区域为三次积分，其中积分区域为由曲面为由曲面 222yxz 及及22xz 所围成的闭区域所围成的闭区域. 解解由由 22222xzyxz, 得得交交线线投投影影区区域域, 122 yx43故故 ： 22222221111xzyxxyxx,.),(11221122222 xyxxxdzzyxfdydxI44方法二方法二: : “先二后一”法“先二后一”法( (切片法，截面法切片法，截面法

24、).). 若若 bzaDyxz),( :, zD为平面为平面)(bzazZ 截截的截面在的截面在xOy面的投影区域面的投影区域, ,则有则有 ZDbayxzyxfzvzyxfdd),(dd),( 45例例 3 3 计计算算三三重重积积分分dxdydzz 2，其其中中是是由由 椭椭球球面面1222222 czbyax所所成成的的空空间间闭闭区区域域. : ,| ),(czczyx 1222222czbyax 原式原式,2 zDccdxdydzzxyzozD解解46)1()1(222222czbczadxdyzD ),1(22czab ccdzzczab222)1(.1543abc | ),(yx

25、Dz 1222222czbyax 原式原式47例例 4 4 计计算算三三重重积积分分zyxzyxddd)(22 , ,是是由由锥锥面面 22yxz 与与柱柱面面122 yx以以及及0 z围围成成的的空空间间闭闭区区域域. . zxy解解法法一一（穿穿线线法法） 积积分分区区域域如如图图, ,由由于于在在xOy面面的的投投影影区区域域为为D: :122 yx, ,指指向向z轴轴正正向向的的射射线线由由坐坐标标面面0 z穿穿入入, ,从从锥锥面面22yxz 穿穿出出, ,所所以以 原式原式 220 22dd)d(yxDzzyxyx Dyxyxdd)(21222 （用极坐标计算）（用极坐标计算） 1

26、 0 52 0 dd21rr6 . 48zxy解解法法二二（切切片片法法） 原原式式 1 0 22dd)(dzDyxyxzz 由于由于在在z轴上的投影区间为轴上的投影区间为1 , 0, ,而而zZ 与与所交平面区域所交平面区域为为圆圆环环zD: :1222 yxz, ,故故 （对对内内层层的的二二重重积积分分作作极极坐坐标标代代换换） rrzzzddd1 0 2 0 1 3 1 0 2 0 4)d-(1d41zzz 6d)(21 0 5 zzz. zD49,0 r,20 . z二、利用柱面坐标计算三重积分的柱面坐标的柱面坐标就叫点就叫点个数个数，则这样的三，则这样的三的极坐标为的极坐标为面上的

27、投影面上的投影在在为空间内一点，并设点为空间内一点，并设点设设MzrrPxoyMzyxM,),( 规定：规定：xyzo),(zyxM),(rPr50 .,sin,coszzryrx 柱面坐标与直角坐柱面坐标与直角坐标的关系为标的关系为为常数为常数r为常数为常数z为常数为常数 如图如图,三坐标面分别为三坐标面分别为圆柱面；圆柱面；半平面；半平面；平平 面面),(zyxM),(rPrzxyzo51 dxdydzzyxf),(.),sin,cos( dzrdrdzrrf drxyzodzdr rd如图，柱面坐标系如图，柱面坐标系中的体积元素为中的体积元素为,dzrdrddv 52例例 1 计计算算

28、zdxdydzI,其其中中是是球球面面4222 zyx与与抛抛物物面面zyx322 所所围围的的立立体体. 解解由由 zzryrx sincos, zrzr34222, 3, 1 rz知交线为知交线为 23242030rrzdzrdrdI,面上面上投影到投影到把闭区域把闭区域xoy .20, 30 r，2243:rzr .413 53例例 计计算算 dxdydzyxI)(22， 其其中中是是曲曲线线 zy22 ，0 x 绕绕z轴轴旋旋转转一一周周而而成成的的曲曲面面与与两两平平面面, 2 z8 z所所围围的的立立体体. 解解由由 022xzy 绕绕 z 轴轴旋旋转转得得 旋旋转转面面方方程程为

29、为,222zyx 所围成的立体如图，所围成的立体如图， 54:2D, 422 yx.222020:22 zrr:1D,1622 yx,824020:21 zrr所围成立体的投影区域如图，所围成立体的投影区域如图， 2D1D55,)()(21222221 dxdydzyxdxdydzyxIII 12821DrfdzrdrdI,345 22222DrfdzrdrdI,625 原式原式 I 345 625 336. 82402022rdzrrdrd 22202022rdzrrdrd56三、利用球面坐标计算三重积分的球面坐标的球面坐标做点做点就叫就叫，这样的三个数这样的三个数面上的投影，面上的投影，在

30、在为点为点的角，这里的角，这里有向线段有向线段轴按逆时针方向转到轴按逆时针方向转到看自看自轴来轴来为从正为从正所夹的角，所夹的角，轴正向轴正向与与为有向线段为有向线段间的距离，间的距离，与点与点为原点为原点来确定，其中来确定，其中，的数的数可用三个有次序可用三个有次序点，则点点，则点为空间内一为空间内一设设MrxoyMPOPxzzOMMOrrMzyxM ),(Pxyzo),(zyxMr zyxA57,r 0.20 ,0 规定：规定：为常数为常数r为常数为常数 为常数为常数 如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别为圆锥面；圆锥面；球球 面；面；半平面半平面58 .cos,sinsin,cossi

31、n rzryrx球面坐标与直角坐标的关系为球面坐标与直角坐标的关系为Pxyzo),(zyxMr zyxA，轴上的投影为轴上的投影为在在点点，面上的投影为面上的投影为在在设点设点AxPPxoyM.,zPMyAPxOA 则则59 zyxzyxfddd),( .dddsin)cos,sinsin,cossin(2rrrrrf球面坐标系中的体积元素为球面坐标系中的体积元素为,dddsind2 rrv drxyzodr dsinr rd d d sinr如图，如图，60例例 1 1 求半径为R的球体的体积. 解解 RrrV 0 2 0 2 0 ddsind 334R . 61例例 2 2 求求半半径径为

32、为a的的球球面面与与半半顶顶角角为为的的内内接接锥锥面面所所围围成成的的立立体体的的体体积积. . 解解 设设球球面面通通过过原原点点O, ,球球心心在在z轴轴上上, ,又又内内接接锥锥面面的的顶顶点点在在原原点点O, ,其其轴轴与与z轴轴重重合合, , 则球面方程为则球面方程为 cos2ar, ,锥面方程为锥面方程为 , ,所以所以 0 cos2 0 22 0 ddsindarrV 0 cos2 0 2ddsin2arr 0 33dsincos316 a )cos1 (3443 a 62例例 3 3 计计算算 dxdydzyxI)(22，其其中中是是锥锥面面222zyx 与与平平面面 az

33、)0( a所所围围的的立立体体. 解解 1 采采用用球球面面坐坐标标az ,cos ar222zyx ,4 ,20,40,cos0: ar63 dxdydzyxI)(22drrdda 40cos03420sin da)0cos(51sin255403.105a 64解解 2 采用柱面坐标采用柱面坐标 ,:222ayxD dxdydzyxI)(22 aradzrrdrd2020 adrrar03)(254254aaa .105a 222zyx , rz ,20,0,: arazr65利用对称性化简三重积分计算利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：使用对称性时应注意：、积分区域关于坐标面的对称性；、积分区域关于坐标面的对称性；、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴、被积函数在积分区域上的关