高考数学 第三节 平面向量的数量积教材

1、第三节 平面向量的数量积考 点 串 串 讲1两向量的夹角如图所示，已知两个非零向量a和b，作a，b，则AOB(0180)叫做向量a与b的夹角，记作a，b当0时，a与b同向；当180时，a与b反向；如果a与b的夹角是90，我们说a与b垂直，记作ab.注意(1)作a与b所成的角时，应注意“平移共始点”(2)两条相交直线的夹角是指这两条直线所成的锐角或直角，而向量的夹角可以是钝角，其取值范围是0180.2两个向量数量积的定义已知非零向量a，b，它们的夹角为，则数量|a|b|cos叫做a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cos.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0a0.注意(1)结

2、合物理学中力做功的背景来理解向量的数量积定义(2)两个向量的数量积，其结果是数量而不是向量，它的值为两个向量的模与两个向量夹角余弦的乘积，其符号由夹角的余弦决定(3)两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，又称“点乘”，与以前所学实数的乘法是有区别的在书写时，一定要严格区分，不可省略不写或混淆3向量数量积的几何意义对于ab|a|b|cos，其中|b|cos叫做向量b在a方向上的数量(为向量a与b的夹角)当为锐角时，它是正值；当为钝角时，它是负值；当90时，它是0；当0时，它是|b|；当180时，它是|b|.注意(1)|b|cos叫做b在a方向上的数量，是实数而不是向量b在a方向上的数量|b|

3、cosb.(2)当a0时，由ab0不能推出b0，这是因为当b与a的夹角为90时，都有ab0.4平面向量数量积的运算性质(1)交换律：abba.(2)数乘结合律：(a)b(ab)a(b)(3)分配律：(ab)cacbc.注意向量数量积运算所满足的是交换律、数乘结合律及加乘分配律，但不适合乘法结合律如：(ab)c不一定等于a(bc)，这是由于(ab)c表示与c共线的向量，而a(bc)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线，故二者未必相等向量的数量积不满足运算的消去律，如abcb/ ac.5平面向量数量积的性质若a，b是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，是a与e的夹角，则(1)eaae|a|

4、cos.(2)abab0.(3)若a与b同向，则ab|a|b|，若a与b反向，则ab|a|b|.特别地，aa|a|2或|a|.(4)若为a，b的夹角，则cos.(5)|ab|a|b|.注意aaa2|a|2|a|a|，即|a|，这些性质在化简、求证中涉及向量长度的相关问题中起到重要作用cos是平面向量数量积公式的变形，常用来求两向量的夹角问题ab0a与b垂直|ab|a|b|可用于证明不等式问题6平面向量数量积的几何表示与坐标表示(1)平面向量的数量积几何表示定义：ab|a|b|cos(a0，b0,0180) 0a0坐标表示abx1x2y1y2(2)平面向量数量积的重要性质几何表示|a|cos|a

5、b|a|b|坐标表示|a|cos|x1x2y1y2|典 例 对 对 碰题型一 数量积的概念例1设a，b，c是任意的非零向量，且相互不共线给出下列命题：(ab)c(ca)b0；|a|b|ab|；(bc)a(ca)b与c不可能垂直；(3a2b)(3a2b)9|a|24|b|2.其中是真命题的有()ABC D分析由数量积的概念、性质及其运算去判断解析(ab)c是与向量c平行的向量，(ca)b是与向量b平行的向量，因此(ab)c与(ca)b不一定相等故不正确；因为a、b、c是任意的非零向量，且相互不共线，则根据三角形两边之差小于第三边可知正确；由于(bc)a(ca)bc(bc)(ac)(ca)(bc)

6、0，因此(bc)a(ca)b与c垂直，不正确；(3a2b)(3a2b)9a24b29|a|24|b|2.正确，故选D.答案D变式迁移1已知下列各式：|a|2a2，(ab)2a2b2，(ab)2a22abb2.其中正确的有()A1个 B2个C3个 D4个答案B解析中a2aa|a|a|cos0|a|2，所以正确中a，b不共线时，无意义中(ab)2(|a|b|cos)2|a|2|b|2cos2a2b2cos2，所以不正确由向量的数量积的运算律知，正确故选B.题型二 向量的模与数量积例2已知a、b满足|ab|ab|，|a|b|1，求|3a2b|.解析由|ab|ab|得，|ab|23|ab|2，即(ab

7、)23(ab)2，a22abb23(a22abb2)，8ab2a22b22|a|22|b|24，即ab，|3a2b|.点评在向量的非坐标运算中，向量的数量积与向量模的转化公式|a|2a2起着相当重要的作用，在解题中要善于根据已知条件灵活运用公式进行转化.变式迁移2若|a|13，|b|19，|ab|24，则|ab|的值为_答案22解析由(ab)2|ab|2，可得a22abb2|ab|2.整理得1692ab361576，2ab46.则有|ab|22.题型三 夹角问题例3设a(cos，sin)，b(cos，sin)，且a与b具有关系|kab|akb|(k0)(1)a与b能垂直吗？(2)若a与b的夹角

8、为60，求k的值解析(1)|kab|akb|，(kab)23(akb)2，且|a|b|1.即k212kab3(1k22kab)，ab，k210，ab0即a与b不垂直(2)a与b夹角为60，且|a|b|1，ab|a|b|cos60.k1.变式迁移3已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61求：(1)a与b的夹角；(2)|ab|和|ab|；(3)若a，b，作三角形ABC，求ABC的面积解析由(2a3b)(2ab)61，解得ab6，故(1)cos，又0180，120.(2)|ab|2a22abb213，|ab|.同理可求|ab|.(3)SABC|a|b|sin43sin1203.题型四 向量

9、的平行、垂直与数量积例4已知向量a(1,2)，b(2,1)，k，t为正实数，向量xa(t21)b，ykab，(1)若xy，求k的最小值；(2)是否存在k，t使xy？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由解析(1)a(1,2)，b(2,1)，ab0，又xy，a(t21)b(kab)0，ka2b20，化简整理得，k，t为正实数，k2，当且仅当t1时，k2，k的最小值为2.(2)xa(t21)b(2t21，t23)，ykab(k，2k)，假设存在正实数k，t使xy，则(2t21)(2k)(t23)(k)，整理得tk(t21)10，则满足上述等式的正实数k，t不存在，所以不存在k，t使xy.点

10、评本题主要考查平面向量数量积的坐标运算第(1)问关键在于正确运用两向量垂直的充要条件来建立k与t的函数关系式，进而利用均值不等式求最值；第(2)问则是利用两向量共线的充要条件列出k与t的等式，再根据k与t为正实数实施判断.变式迁移4已知A(1,2)，B(4,0)，C(8,6)，D(5,8)四点，则四边形ABCD是()A梯形 B矩形C菱形 D正方形答案B解析(4,0)(1,2)(41,02)(3，2)，(8,6)(5,8)(85,68)(3，2)，四边形ABCD为平行四边形(5,8)(1,2)(4,6)，34(2)60，四边形ABCD是矩形(8,6)(1,2)(7,4)，(5,8)(4,0)(1

11、,8)，7148390，与不垂直四边形ABCD不是菱形，也不可能是正方形.题型五 平面向量与解三角形例5在ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且(a2b2)sin(AB)(a2b2)sinC.(1)若a3，b4，求|的值；(2)若C，ABC的面积是，求的值解析由(a2b2)sin(AB)(a2b2)sinC，得(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，由两角和与差的正弦公式展开得：2b2sinAcosB2a2cosAsinB.根据正弦定理有：2sinBcosB2sinAcosA，即sin2Bsin2A，A、B为三角形的内角，AB或AB.(1)若a3，b4，则AB，AB，C

12、，|5.(2)若C，则C，AB，ab，三角形为等边三角形由SABCa2sinC，解得a2.322cos6.点评三角形中的正弦定理、余弦定理从某种意义上理解是平面向量在三角函数中应用的一种形式，运用正弦定理、余弦定理可以解三角形；反之，给出三角形中的边角关系，亦能解决有关三角形中的向量运算.变式迁移5已知ABC的面积S满足S3，且6，与的夹角为.(1)求的取值范围；(2)求函数f()sin22sincos3cos2的最小值解析(1)由题意可知，|cos6，S|sin()|sin，得tan，即3tanS.由S3，得3tan3，即tan1，又为与的夹角，0，(2)f()sin22sincos3cos

13、21sin22cos22sin2cos22sin(2)，2，2，即时，f()取得最小值3.题型六 有关数量积的综合题例6已知向量a(cos，sin)，b(cos，sin)，且a、b满足关系|kab|akb|(其中k0)(1)求证：(ab)(ab)；(2)求将a与b的数量积表示为关于k的函数f(k)；(3)求函数f(k)的最小值及取最小值时a与b的夹角.分析(1)ab，ab分别用坐标表示，只要证(ab)(ab)0即可(2)将|kab|akb|两边平方，求ab或用向量的模的计算公式求解(3)用均值不等式求最值，用向量的夹角公式求.解析(1)证法一：由a(cos，sin)，b(cos，sin)，则a

14、b(coscos，sinsin)，ab(coscos，sinsin)，又(ab)(ab)(coscos)(coscos)(sinsin)(sinsin)cos2cos2sin2sin2110，(ab)(ab)证法二：由a(cos，sin)，b(cos，sin)，则(ab)(ab)a2b2|a|2|b|2110，(ab)(ab)(2)abcoscossinsincos()解法一：kab(kcoscos，ksinsin)，akb(coskcos，sinksin)，|kab|2(kcoscos)2(ksinsin)21k22k(coscossinsin)1k22kcos()，|akb|2(coskc

15、os)2(sinksin)21k22k(coscossinsin)1k22kcos()，由|kab|akb|，得1k22kcos()31k22kcos()，8kcos()2(k21)，又k0，cos()，即ab(k0)f(k)(k0)解法二：|a|1，|b|1.由|kab|23|akb|2，得k2|a|22kab|b|23|a|26kab3k2|b|2,8kab2(k21)，即ab(k0)，故f(k)(k0)(3)k0，ab.当k1时，等号成立，所以ab的最小值为.此时ab|a|b|cos，cos.又0，.变式迁移6设坐标平面上全部向量的集合为A，已知由A到A的映射f由f(x)x2(xa)a确

16、定，其中xA，a(cos，sin)，R.(1)当的取值发生变化时，ff(x)的结果是否会发生变化？请证明你的结论；(2)若|m|，|n|，ff(m2n)与ff(2mn)垂直，求m与n的夹角解析(1)a(cos，sin)，aa1.ff(x)fx2(xa)ax2(xa)a2x2(xa)a aax2(xa)a2(xa)ax，ff(x)的结果不会随的变化而变化(2)由(1)知ff(m2n)m2n，ff(2mn)2mn，ff(m2n)ff(2mn)(m2n)(2mn)2m23mn2n23mn，由ff(m2n)与ff(2mn)垂直得3mn0，则mn|m|n|cosm，n，cosm，n1，m，n，故m与n的

17、夹角为.【教师备课资源】题型七 向量数量积的基本计算例7若a(3，4)，b(2,1)，试求(a2b)(2a3b)解析解法一a2b(3，4)2(2,1)(1，6)，2a3b2(3，4)3(2,1)(12，5)，(a2b)(2a3b)(1)12(6)(5)18.解法二(a2b)(2a3b)2a2ab6b2232(4)232(4)16(2212)18.点评向量的数量积有两种计算方法，一是依据坐标来计算，二是依据模与夹角来计算具体应用时可根据已知条件的特征来选择，本题中向量a、b坐标已知，可求a2、b2、ab，也可求a2b与2a3b的坐标，进而用(x1，y1)(x2，y2)x1x2y1y2求解.变式迁

18、移7已知a(2,3)，b(1，2)，c(2,1)，试求：a(bc)和(ab)c的值解析a(bc)(bc)a(1)2(2)1a4(2,3)(8，12)同理(ab)c(16，8).方 法 路 路 通1平面向量数量积的定义平面向量a与b的数量积：ab|a|b|cos，它是一个实数，而不是向量，它的值是两个向量的模与两个向量夹角余弦的乘积其中的取值范围是0180.2向量的数量积与实数的积的不同点实数的乘积向量的数量积结合律(ab)ca(bc)(ab)ca(bc)ab0a0或b0ab0a0或b0或ab|ab|a|b|ab|a|b|(ab)2a2b2(ab)2a2b23.公式ab|a|b|cos，abxaxbyayb，|a|2(a)2x2y2的关系非常密切，必须能够灵活、综合应用4abx1y2x2y10与abx1x2y1y20要区分清楚5数量积运算中的常用公式(ab)2a22abb2(ab)(ab)a2b26a与b的数量积在书写上是ab，而不能写成ab.7ab0与a和b的夹角为锐角不等价，ab0还包含a和b同向的情形同样ab0不仅包含a和b的