一次函数与几何综合题

1、WORD格式1（ 2013 ?天水）如图1 ，在平面直角坐标系中，已知AOB 是等边三角形，点A 的坐标是（ 0，4 ），点 B 在第一象限，点 P 是 x 轴上的一个动点， 连接 AP ，并把 AOP 绕着点 A 按逆时针方向旋转，使边 AO 与 AB 重合，得到 ABD （ 1）求直线 AB 的解析式；（ 2）当点 P 运动到点（， 0）时，求此时DP 的长及点D 的坐标；（ 3）是否存在点P，使 OPD 的面积等于？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由2（2013 ?济宁）如图，直线y= x+4 与坐标轴分别交于点A 、B ，与直线 y=x 交于点 C在线段 OA

2、上，动点 Q 以每秒 1 个单位长度的速度从点O 出发向点A 做匀速运动，同时动点P 从点 A 出发向点O 做匀速运动，当点P、 Q 其中一点停止运动时，另一点也停止运动分别过点P、 Q 作 x 轴的垂线，交直线AB 、 OC 于点 E 、F ，连接 EF 若运动时间为 t 秒，在运动过程中四边形PEFQ 总为矩形（点P 、Q 重合除外） （ 1）求点 P 运动的速度是多少？（ 2）当 t 为多少秒时，矩形 PEFQ 为正方形？专业资料整理（ 3）当 t 为多少秒时，矩形PEFQ 的面积 S 最大？并求出最大值3（ 2013 ?绥化）如图，直线MN与 x轴， y轴分别相交于A ，C两点，分别过

3、A ，C两点作x 轴， y轴的垂线相交于B 点，且OA ，OC （ OA OC ）的长分别是一元二次方程x214x+48=0的两个实数根（ 1）求C 点坐标；（ 2）求直线MN的解析式；（ 3）在直线MN 上存在点P，使以点P ， B， C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P 点的坐标4（2013 ?齐齐哈尔）如图，平面直角坐标系中，直线l 分别交x 轴、 y 轴于A 、B两点（ OA OB ）且OA、OB的长分别是一元二次方程x2（+1 ）x+=0的两个根，点C 在x 轴负半轴上，且AB ：AC=1 ：2（ 1）求A 、C两点的坐标；（ 2）若点 M 从 C 点出发，以每秒1 个单

4、位的速度沿射线CB 运动，连接AM ，设 ABM 的面积为S，点 M 的运动时间为 t，写出 S 关于 t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（ 3）点 P 是 y 轴上的点，在坐标平面内是否存在点 Q，使以 A 、 B、 P、 Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出 Q 点的坐标；若不存在，请说明理由5（ 2013 春 ?屯留县期末）如图，四边形OABC 是菱形，点C 在 x 轴上， AB 交 y 轴于点 H， AC 交 y 轴于点 M已知点 A （3，4）（ 1）求 AO 的长；（ 2）求直线 AC 的解析式和点 M 的坐标；（ 3）点 P 从点 A 出发， 以每秒 2 个单位的

5、速度沿折线A BC 运动，到达点 C 终止设点 P 的运动时间为t 秒， PMB的面积为 S 求 S 与 t 的函数关系式； 求 S 的最大值6（ 2012 ?鞍山）如图，正方形ABCO 的边 OA 、 OC 在坐标轴上，点B 坐标（ 3 ， 3），将正方形ABCO 绕点 A 顺时针旋转角度（0 ° 90 °），得到正方形ADEF ， ED 交线段 OC 于点 G， ED 的延长线交线段BC 于点 P，连 AP 、AG （ 1）求证： AOG ADG ；（ 2）求 PAG 的度数；并判断线段 OG 、 PG 、BP 之间的数量关系，说明理由；（ 3）当 1= 2 时，求直线

6、 PE 的解析式7（ 2012 ?桃源县校级自主招生）如图，点A 在 y 轴上，点B 在 x 轴上，且OA=OB=1 ，经过原点O 的直线 l 交线段AB 于点 C ，过 C 作 OC 的垂线，与直线x=1 相交于点P，现将直线L 绕 O 点旋转，使交点C 从 A 向 B 运动，但 C点必须在第一象限内，并记AC 的长为 t ，分析此图后，对下列问题作出探究：（ 1）当 AOC 和 BCP 全等时，求出 t 的值；（ 2）通过动手测量线段 OC 和 CP 的长来判断它们之间的大小关系并证明你得到的结论；（ 3） 设点 P 的坐标为（ 1 ，b ），试写出b 关于 t 的函数关系式和变量t 的取

7、值范围 求出当 PBC 为等腰三角形时点P 的坐标8（ 2012 秋 ?海陵区期末）如图1 ，在平面直角坐标系中，直线AB 与 x 轴交于点A，与 y 轴交于点B，与直线 OC 交于点 C（ 1）若直线 AB 解析式为 y= 2x+12 ，直线 OC 解析式为 y=x ， 求点 C 的坐标； 求 OAC 的面积（ 2）如图 2 ，作 AOC 的平分线ON ，若 AB ON，垂足为E ， OAC 的面积为6 ，且 OA=4 ， P、 Q 分别为线段OA 、OE 上的动点，连接AQ 与 PQ ，试探索 AQ+PQ 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由9（2012 秋 ?成都校

8、级期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线PA 是一次函数y=x+m （m 0 ）的图象，直线PB是一次函数y= 3x+n （ n m）的图象，点P 是两直线的交点，点A 、B 、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点（ 1）用m、 n分别表示点A、B、P 的坐标及 PAB的度数；（ 2）若四边形PQOB的面积是，且CQ： AO=1： 2，试求点P 的坐标，并求出直线PA与PB的函数表达式；（ 3）在（ 2）的条件下，是否存在一点D，使以 A 、B、 P、 D 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由10 （ 2012 秋 ?綦江县校级期末）如图，一次函数

9、的函数图象与x 轴、 y 轴分别交于点A、 B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作Rt ABC ，且使 ABC=30 °（ 1）求 ABC 的面积；（ 2）如果在第二象限内有一点P （m，），试用含 m 的代数式表示APB 的面积，并求当 APB 与 ABC 面积相等时 m 的值；（ 3）是否存在使 QAB 是等腰三角形并且在坐标轴上的点Q？若存在，请写出点Q 所有可能的坐标；若不存在，请说明理由2015 年 08 月 14 日初中数学组卷参考答案与试题解析一解答题（共10 小题）1（ 2013 ?天水）如图1 ，在平面直角坐标系中，已知AOB是等边三角形

10、，点A 的坐标是（0，4），点B 在第一象限，点 P 是 x 轴上的一个动点， 连接 AP ，并把 AOP 绕着点 A 按逆时针方向旋转，使边 AO 与 AB 重合，得到 ABD （ 1）求直线 AB 的解析式；（ 2）当点 P 运动到点（， 0）时，求此时（ 3）是否存在点P，使 OPD 的面积等于DP 的长及点D 的坐标；？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由考点 ：一次函数综合题专题 ：压轴题分析：（1）过点 B 作 BE y 轴于点 E ，作 BF x 轴于点 F 依题意得 BF=OE=2 ，利用勾股定理求出OF ，然后可得点 B 的坐标设直线 AB 的解析式是

11、y=kx+b ，把已知坐标代入可求解（2）由 ABD 由 AOP 旋转得到，证明 ABD AOP AP=AD ， DAB= PAO ， DAP= BAO=60 °，ADP 是等边三角形利用勾股定理求出DP 在 Rt BDG 中， BGD=90 °， DBG=60 °利用三角函数求出 BG=BD ?cos60 °， DG=BD ?sin60 °然后求出 OH ， DH ，然后求出点 D 的坐标（3）本题分三种情况进行讨论，设点P 的坐标为（ t， 0 ）： 当 P 在 x 轴正半轴上时，即t 0时，关键是求出D 点的纵坐标，方法同（2），在直角三

12、角形 DBG 中，可根据 BD 即 OP 的长和 DBG 的正弦函数求出 DG 的表达式，即可求出 DH 的长，根据已知的OPD 的面积可列出一个关于t的方程，即可求出t 的值 当 P 在 x 轴负半轴，但 D 在 x 轴上方时即 t0 时，方法同 类似，也是在直角三角形DBG 用BD 的长表示出 DG ，进而求出 GF 的长，然后同 当 P 在 x 轴负半轴， D 在 x 轴下方时，即 t 时，方法同 综合上面三种情况即可求出符合条件的t 的值解答：解：（ 1）如图1 ，过点 B 作 BE y 轴于点 E，作 BF x 轴于点 F由已知得：BF=OE=2 ， OF=，点 B 的坐标是（， 2

13、）设直线 AB 的解析式是 y=kx+b （ k0 ），则有解得直线 AB 的解析式是 y=x+4 ；（ 2）如图 2 ， ABD 由 AOP 旋转得到， ABD AOP ，AP=AD ， DAB= PAO ， DAP= BAO=60 °， ADP 是等边三角形，DP=AP=如图 2 ，过点 D 作 DH x 轴于点 H，延长 EB 交 DH 于点 G，则 BG DH 方法（一）在 Rt BDG 中， BGD=90 °， DBG=60 °BG=BD ?cos60 °=× =DG=BD ?sin60 °=×=OH=EG=， D

14、H=点 D 的坐标为（， ）方法（二）易得 AEB= BGD=90 °， ABE= BDG ， ABE BDG ，；而 AE=2 ， BD=OP=， BE=2，AB=4 ，则有，解得 BG=，DG= ；OH=， DH=；点 D 的坐标为（， ）（3）假设存在点 P，在它的运动过程中，使 OPD 的面积等于设点 P 为（ t， 0 ），下面分三种情况讨论： 当 t0时，如图， BD=OP=t ， DG=t，DH=2+t OPD 的面积等于，解得，（舍去）点 P 1 的坐标为（， 0） 当 D 在 y 轴上时，根据勾股定理求出BD=OP ，当 t0 时，如图， BD=OP= t， DG=

15、 t，GH=BF=2 （ t） =2+t OPD 的面积等于，解得，点 P 2 的坐标为（， 0），点 P3 的坐标为（，0） 当 t时，如图3 ， BD=OP= t， DG= t，DH= t2 OPD 的面积等于， （t） （2+t） =，解得（舍去），点 P 4 的坐标为（，0），综上所述，点P 的坐标分别为P 1（， 0）、P 2（，0）、P3（， 0）、P4 （， 0）点评：本题综合考查的是一次函数的应用，包括待定系数法求解析式、旋转的性质、相似三角形的判定和性质、三角形面积公式的应用等，难度较大2（2013 ?济宁）如图，直线y= x+4 与坐标轴分别交于点A 、B ，与直线 y=x

16、 交于点 C在线段 OA 上，动点 Q 以每秒 1 个单位长度的速度从点O 出发向点A 做匀速运动，同时动点P 从点 A 出发向点O 做匀速运动，当点P、 Q 其中一点停止运动时，另一点也停止运动分别过点P、 Q 作 x 轴的垂线，交直线AB 、 OC 于点 E 、F ，连接 EF 若运动时间为 t 秒，在运动过程中四边形PEFQ 总为矩形（点P 、Q 重合除外） （ 1）求点 P 运动的速度是多少？（ 2）当 t 为多少秒时，矩形 PEFQ 为正方形？（ 3）当 t 为多少秒时，矩形 PEFQ 的面积 S 最大？并求出最大值考点 ：一次函数综合题专题 ：压轴题分析：（1）根据直线y= x+4

17、 与坐标轴分别交于点A、B ，得出 A， B 点的坐标，再利用EP BO ，得出=，据此可以求得点P 的运动速度；（ 2）当 PQ=PE 时，以及当 PQ=PE 时，矩形 PEFQ 为正方形，分别求出即可；（ 3）根据（ 2 ）中所求得出 s 与 t 的函数关系式，进而利用二次函数性质求出即可解答： 解：（ 1） 直线 y= x+4 与坐标轴分别交于点 A、 B ，x=0 时， y=4 ， y=0 时， x=8 ， =，当 t 秒时， QO=FQ=t ，则 EP=t ，EPBO ，=，AP=2t ，动点 Q 以每秒 1 个单位长度的速度从点点 P 运动的速度是每秒2 个单位长度；O 出发向点A

18、 做匀速运动，（ 2）如图 1 ，当 PQ=PE 时，矩形 PEFQ 为正方形，则 OQ=FQ=t ， PA=2t ，QP=8 t2t=8 3t，83t=t ，解得： t=2 ；如图 2 ，当 PQ=PE 时，矩形 PEFQ 为正方形， OQ=t ， PA=2t ， OP=8 2t， QP=t （82t）=3t 8， t=3t 8，解得： t=4 ；（ 3）如图 1 ，当 Q 在 P 点的左边时， OQ=t ， PA=2t ，QP=8 t2t=8 3t，S 矩形 PEFQ =QP ?QF= （ 83t） ?t=8t 3t2 ，当 t= =时，S 矩形 PEFQ 的最大值为：=，如图 2 ，当

19、Q 在 P 点的右边时， OQ=t ， PA=2t ， 2t 8 t， t， QP=t （82t）=3t 8，S 矩形 PEFQ =QP ?QF= （ 3t8） ?t=3t 28t ，当点 P、 Q 其中一点停止运动时，另一点也停止运动， t4，当 t= =时， S 矩形 PEFQ 的最大， t=4 时， S 矩形 PEFQ 的最大值为： 3×42 8×4=16 ，综上所述，当 t=4 时， S 矩形 PEFQ 的最大值为： 16点评：此题主要考查了二次函数与一次函数的综合应用，得出P， Q 不同的位置进行分类讨论得出是解题关键3（ 2013 ?绥化）如图，直线MN 与 x

20、 轴， y 轴分别相交于A ，C 两点，分别过A ，C 两点作 x 轴， y 轴的垂线相交于B 点，且 OA ，OC （ OA OC ）的长分别是一元二次方程x214x+48=0的两个实数根（ 1）求 C 点坐标；（ 2）求直线MN 的解析式；（ 3）在直线MN 上存在点P，使以点P ， B， C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P 点的坐标考点 ：一次函数综合题专题 ：压轴题分析：（1）通过解方程x214x+48=0可以求得OC=6， OA=8 则C（ 0，6）；（2）设直线MN的解析式是y=kx+b（ k0）把点A 、 C的坐标分别代入解析式，列出关于系数k、b的方程组，通过解方

21、程组即可求得它们的值；（3）需要分类讨论：PB为腰，PB为底两种情况下的点P 的坐标根据等腰三角形的性质、两点间的距离公式以及一次函数图象上点的坐标特征进行解答解答：解：（ 1）解方程x214x+48=0得x1 =6 ， x2=8 OA ， OC（ OA OC ）的长分别是一元二次方程x214x+48=0的两个实数根， OC=6 ， OA=8 C（0， 6）；（ 2）设直线 MN 的解析式是 y=kx+b （ k0）由（ 1）知， OA=8 ，则 A（ 8， 0）点 A 、C 都在直线MN 上，解得，直线 MN 的解析式为y= x+6 ；（3） A（ 8，0）， C（ 0， 6），根据题意知B

22、 （8， 6）点 P 在直线 MNy= x+6 上，设 P （a ， a+6 ）当以点 P， B ，C 三点为顶点的三角形是等腰三角形时，需要分类讨论： 当 PC=PB 时，点 P 是线段 BC 的中垂线与直线MN 的交点，则P 1（ 4 ， 3）； 当 PC=BC 时， a2+（ a+6 6） 2 =64 ，解得， a=，则 P2（，）， P3 （，）； 当 PB=BC 时，（ a8） 2 +（a 6+6 ） 2=64 ，解得， a=，则 a+6= ， P4 （，）综上所述，符合条件的点P 有： P1（ 4， 3）， P2（，） P3（，）， P4（，）点评：本题考查了一次函数综合题其中涉及

23、到的知识点有：待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质解答（3 ）题时，要分类讨论，防止漏解另外，解答（3）题时，还利用了“数形结合 ”的数学思想4（2013 ?齐齐哈尔）如图，平面直角坐标系中，直线l 分别交 x 轴、 y 轴于 A 、B 两点（ OA OB ）且 OA 、 OB 的长分别是一元二次方程x2（+1 ）x+=0 的两个根，点C 在 x 轴负半轴上，且AB ： AC=1 ： 2（ 1）求 A 、C 两点的坐标；（ 2）若点 M 从 C 点出发，以每秒1 个单位的速度沿射线CB 运动，连接AM ，设 ABM 的面积为S，点 M 的运动时间为 t，写出

24、 S 关于 t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（ 3）点 P 是 y 轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A 、 B、 P、 Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出 Q 点的坐标；若不存在，请说明理由考点 ：一次函数综合题专题 ：压轴题分析：（1）通过解一元二次方程x2（ +1 ） x+=0 ，求得方程的两个根，从而得到A 、B 两点的坐标，再根据两点之间的距离公式可求 AB 的长，根据 AB ：AC=1 ： 2 ，可求 AC 的长，从而得到C 点的坐标；（2）分 当点 M 在 CB 边上时； 当点 M 在 CB 边的延长线上时；两种情况讨论可求S 关于 t 的函数关系式；（

25、3）分 AQ=AB ，BQ=BA ， BQ=QA 三种情况讨论可求 Q 点的坐标解答：解：（ 1） x2（+1 ） x+=0 ，（x ）（ x1） =0 ，解得 x1=， x2 =1，OAOB，OA=1 ， OB=，A （ 1， 0）， B（ 0，）， AB=2 ，又 AB ： AC=1 ： 2， AC=4 ，C （3， 0）；（2） AB=2 ，AC=4 ， BC=2，AB 2+BC 2=AC 2，即 ABC=90 °，由题意得： CM=t ，CB=2 当点 M 在 CB 边上时， S=2t（ 0 t）； 当点 M 在 CB 边的延长线上时，S=t 2（ t 2）；（3）存在 当

26、AB 是菱形的边时，如图所示，在菱形 AP 1Q1B 中， Q1O=AO=1 ，所以 Q1 点的坐标为（1 ， 0 ），在菱形 ABP 2Q2中， AQ 2=AB=2 ，所以 Q 2点的坐标为（ 1，2），在菱形 ABP 3Q3中， AQ 3=AB=2 ，所以 Q 3点的坐标为（ 1，2）， 当 AB 为菱形的对角线时，如图所示的菱形AP 4BQ 4，设菱形的边长为x，则在 Rt AP 4O 中， AP 42=AO 2+P 4O2 ，即 x2=1 2+（x） 2，解得 x=，所以 Q4（ 1，）综上可得，平面内满足条件的Q 点的坐标为： Q1（1， 0）， Q2（ 1，2）， Q3（1， 2）

27、，Q 4（ 1，）点评：考查了一次函数综合题，涉及的知识点有：解一元二次方程，两点之间的距离公式，三角形面积的计算，函数思想，分类思想的运用，菱形的性质，综合性较强，有一定的难度5（ 2013 春 ?屯留县期末）如图，四边形OABC 是菱形，点C 在 x 轴上， AB 交 y 轴于点 H， AC 交 y 轴于点 M已知点 A （3，4）（ 1）求 AO 的长；（ 2）求直线 AC 的解析式和点 M 的坐标；（ 3）点 P 从点 A 出发， 以每秒2 个单位的速度沿折线A BC 运动，到达点C 终止设点P 的运动时间为t 秒， PMB的面积为 S 求 S 与 t 的函数关系式； 求 S 的最大值

28、考点 ：一次函数综合题；解二元一次方程组；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理；菱形的性质专题 ：计算题分析：（1）根据 A 的坐标求出AH 、OH ，根据勾股定理求出即可；（2）根据菱形性质求出B、 C 的坐标，设直线AC 的解析式是y=kx+b方程组，求出即可；（3） 过 M 作 MN BC 于 N，根据角平分线性质求出MN ，P 在 AB在 BC 上，根据三角形面积公式求出即可； 求出 P 在 AB 的最大值和，把 A（3，4）， C（ 5，0）代入得到上，根据三角形面积公式求出即可；P 在 BC 上的最大值比较即可得到答P案解答：（1）解： A （3， 4

29、），AH=3 ， OH=4 ，由勾股定理得： AO=5 ，答： OA 的长是 5（2）解： 菱形 OABC ，OA=OC=BC=AB=5，53=2 ，B （ 2， 4）， C（ 5， 0），设直线 AC 的解析式是y=kx+b ，把 A （3， 4）， C（ 5，0）代入得：，解得：，直线 AC 的解析式为当 x=0 时， y=2.5M （0， 2.5 ），答：直线 AC 的解析式是，点M 的坐标是（0， 2.5 ）（ 3） 解：过 M 作 MNBC 于 N，菱形 OABC ， BAC= OCA ，MO CO ，MN BC，OM=MN，当 0 t 2.5 时， P 在 AB 上， MH=4 2

30、.5=S=×BP ×MH=×（ 52t） × =t+，当 t=2.5 时， P 与 B 重合， PMB当 2.5 t5 时， P 在 BC 上， S=，答： S 与 t 的函数关系式是不存在；×PB ×MN=×（ 2t5） ×（ 0t2.5 ）或=t ，（2.5 t5 ） 解：当 P 在 AB 上时，高MH 一定，只有同理在 BC 上时， P 与 C 重合时， S 最大是S 的最大值是，答： S 的最大值是BP 取最大值即可，即 ×5×= ，P 与A 重合，S 最大是×5×=

31、，点评：本题主要考查对勾股定理，三角形的面积，菱形的性质，角平分线性质，解二元一次方程组，用待定系数法求一次函数的解析式等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键6（ 2012 ?鞍山）如图，正方形ABCO 的边 OA 、 OC针旋转角度（0 ° 90 °），得到正方形ADEF ， EDAG 在坐标轴上，点交线段 OC 于点B 坐标（ 3 ， 3），将正方形ABCOG， ED 的延长线交线段BC 于点绕点 A顺时P，连 AP 、（ 1）求证： AOG ADG ；（ 2）求 PAG 的度数；并判断线段 OG 、 PG 、BP 之间的数量关系，说明理由；（ 3

32、）当 1= 2 时，求直线 PE 的解析式考点 ：一次函数综合题专题 ：压轴题分析：（1）由 AO=AD ， AG=AG ，利用 “HL ”可证 AOG ADG ；（2）利用（ 1 ）的方法，同理可证ADP ABP ，得出 1= DAG ， DAP= BAP ，而1+ DAG+ DAP+ BAP=90 °，由此可求 PAG 的度数；根据两对全等三角形的性质，可得出线段OG 、PG、 BP 之间的数量关系；（ 3）由 AOG ADG 可知， AGO= AGD ，而 1+ AGO=90 °， 2+ PGC=90 °，当 1= 2 时，可证 AGO= AGD= PGC ，而 AGO+ AGD+ PGC=180 °，得出 AGO= AGD= PGC=60 °，即1= 2=30 °，解直角三角形求 OG ， PC ，确定 P 、G 两点坐标，得出直线 PE 的解析式解答：（1）证明： AOG= ADG=90 °，在 Rt AOG 和 Rt ADG 中， AO