第三章二自由度系统ppt课件

1、第三章 二自由度系统主讲：王 平机械与汽车工程学院3.1 引言多自由度系统：指需要用两个或两个以上的独立坐多自由度系统：指需要用两个或两个以上的独立坐标才能描述其运动的振动系统；标才能描述其运动的振动系统；各自由度之间相互联系各自由度之间相互联系“牵一发而动全身牵一发而动全身”耦耦合；求解多自由度系统的核心就是解耦；合；求解多自由度系统的核心就是解耦；第三章和第四章统属多自由度系统，为分散难度，第三章和第四章统属多自由度系统，为分散难度，分工协作。第三章主要任务是通过实例引出概念，分工协作。第三章主要任务是通过实例引出概念，展示物理直观；第四章主要任务是对多自由度系统展示物理直观；第四章主要任

2、务是对多自由度系统振动理论做数学上的完整描述，以示一般性。振动理论做数学上的完整描述，以示一般性。几种常见的二自由度系统模型图图 313.2 3.2 运动微分方程运动微分方程 从具体例子开始，从具体例子开始，研究运动方程及其特点研究运动方程及其特点耦合元件耦合元件坐标微分方程坐标微分方程整理方程整理方程向量矩阵表示向量矩阵表示矩阵微分方程矩阵微分方程用线性代数的方法简用线性代数的方法简化表达和运算化表达和运算耦合元件参数耦合元件参数三矩阵对称性与单自由度系统类似：与单自由度系统类似：三元件参数决定性质三元件参数决定性质图 32系统能量的矩阵表达与单自由度系统类似：与单自由度系统类似：由能量方程

3、求导列运动微分方程由能量方程求导列运动微分方程注意求导自变量注意求导自变量三矩阵正定性耦合元件的耦合特征：耦合元件的耦合特征：不是对角矩阵！不是对角矩阵！解耦的特征：解耦的特征：变成对角矩阵！变成对角矩阵！解耦的方法：解耦的方法： 途径：途径：选取恰当的坐标！选取恰当的坐标！ 通过坐标变换！通过坐标变换！3.3 不同坐标系下的运动微分方程以具体例子以具体例子探寻怎样才探寻怎样才能解耦？能解耦？对三种广义坐标对三种广义坐标取法进行比较取法进行比较通过对能量方程求导列运动微分方程通过对能量方程求导列运动微分方程质心上下移动质心上下移动横梁转动横梁转动前后弹簧势能之和前后弹簧势能之和第一种取法第一种

4、取法质量矩阵和刚度矩阵质量矩阵和刚度矩阵都不是对角矩阵；都不是对角矩阵；效果不理想。效果不理想。第二种取法第二种取法线性变换线性变换变换矩阵变换矩阵动能无须变动能无须变换坐标换坐标势能变换坐标势能变换坐标质量矩阵质量矩阵对角矩阵对角矩阵刚度矩阵为非对角矩阵刚度矩阵为非对角矩阵有条件成为对角矩阵有条件成为对角矩阵第二种取第二种取法效果比法效果比较理想较理想第三种取法第三种取法质量矩阵为非对角矩阵质量矩阵为非对角矩阵有条件成为对角矩阵有条件成为对角矩阵刚度矩阵无须变换坐标，是对角矩阵刚度矩阵无须变换坐标，是对角矩阵第三种取法效果也比较理想第三种取法效果也比较理想解耦就是切断联系解耦就是切断联系井水

5、不犯河水井水不犯河水比较三种坐标取法：比较三种坐标取法：后两种比较恰当后两种比较恰当第一种不够理想第一种不够理想归纳梳理不同坐标下三矩阵的变换算法归纳梳理不同坐标下三矩阵的变换算法寻找线性变换寻找线性变换变换矩阵变换矩阵矩阵左乘右乘矩阵左乘右乘成为对角矩阵成为对角矩阵要想解多自由度系要想解多自由度系统微分方程统微分方程必须首先使必须首先使方程解耦方程解耦寻找线性寻找线性变换矩阵变换矩阵三矩阵成为三矩阵成为对角矩阵对角矩阵方程解耦的路线方程解耦的路线3.4 无阻尼自由振动上节提出寻找变上节提出寻找变换矩阵；换矩阵；本节解决如何找本节解决如何找到变换矩阵。到变换矩阵。类似单自由度类似单自由度得到固

6、有特性得到固有特性老坐标下耦合老坐标下耦合变换到新坐标下解耦变换到新坐标下解耦解耦方程彼此独立解耦方程彼此独立简化为新坐标下两简化为新坐标下两个单自由度系统个单自由度系统新坐标下方程解新坐标下方程解特殊的初始条件特殊的初始条件再变换成老坐标下方程再变换成老坐标下方程解解方程解的特征方程解的特征特殊的初始条件特殊的初始条件特殊的初始条件下能找到变换矩阵特殊的初始条件下能找到变换矩阵特殊初始条件举例；特殊初始条件举例；探寻解的特征。探寻解的特征。由特殊初始条件扩由特殊初始条件扩展到任意初始条件展到任意初始条件二自由度无阻尼系统在某些特定的初始条件下的自由振动二自由度无阻尼系统在某些特定的初始条件下

7、的自由振动是简谐振动。是简谐振动。振动的特点是，系统的两个自由度以相同的频率振动，同振动的特点是，系统的两个自由度以相同的频率振动，同时达到极值，同时为零，它们之间的相位差为零或时达到极值，同时为零，它们之间的相位差为零或，它，它们的坐标之比是与系统的物理参数有关而与时间无关的常们的坐标之比是与系统的物理参数有关而与时间无关的常数。我们称这种振动为系统的固有振动。数。我们称这种振动为系统的固有振动。固有振动时的频率称为系统的固有频率，坐标之比称为固固有振动时的频率称为系统的固有频率，坐标之比称为固有振型，简称振型，振型与固有频率是一一对应的。有振型，简称振型，振型与固有频率是一一对应的。二自由

8、度系统在任意初始条件下的无阻尼自由振动是两个二自由度系统在任意初始条件下的无阻尼自由振动是两个固有振动的线性组合。固有振动的线性组合。直观显示固有振动时各个坐标之间的相互位置关系的图形，直观显示固有振动时各个坐标之间的相互位置关系的图形，称为振型图称为振型图 无阻尼自由振动解的特征上例振型图如图上例振型图如图3535所示所示: : 图351 1、振型图的物理意义：横坐标表示系统各点的静平衡、振型图的物理意义：横坐标表示系统各点的静平衡位置，纵坐标表示各点的振幅比；位置，纵坐标表示各点的振幅比；2 2、第二振型在弹簧、第二振型在弹簧k1k1上有一个始终保持不动的点，称上有一个始终保持不动的点，称

9、为节点）为节点）利用固有振动特征直接求固有频率和振型图34(a) 固有振动特征固有振动特征广义特征值问题广义特征值问题频率方程频率方程解频率方程解频率方程得两个固有频率得两个固有频率将一阶固有频率代回将一阶固有频率代回方程得到一阶振型方程得到一阶振型将二阶固有频率代回将二阶固有频率代回方程得到二阶振型方程得到二阶振型求解自由振动归结为求解固有频率和振型求解自由振动归结为求解固有频率和振型求解自由振动固有频率和振型方法的一般性表述求解自由振动固有频率和振型方法的一般性表述固有振动特征固有振动特征广义特征值问题广义特征值问题新坐标运动方程新坐标运动方程新坐标解的形式新坐标解的形式频率方程频率方程得

10、两个固有频率得两个固有频率分别将各阶固有频率分别将各阶固有频率代回方程得到个子对代回方程得到个子对应的振型应的振型由振型构成振型矩阵由振型构成振型矩阵就是要寻找的变换矩阵就是要寻找的变换矩阵通过变换矩阵得到通过变换矩阵得到老坐标解的形式老坐标解的形式由初始条件求振由初始条件求振幅和相位幅和相位固有频率和振型固有频率和振型是系统固有特性是系统固有特性两个坐标系下两个坐标系下初始条件变换初始条件变换比较对应元素得比较对应元素得到振幅和初相位到振幅和初相位由能量方程求导由能量方程求导得质量刚度矩阵得质量刚度矩阵弹性势能加重力势能弹性势能加重力势能能量方程两阶偏导得能量方程两阶偏导得质量刚度矩阵质量刚

11、度矩阵解频率方程得两个固有频率解频率方程得两个固有频率两个固有频率回两个固有频率回代得固有振型代得固有振型两个固有振型构两个固有振型构成振型矩阵成振型矩阵验证两个振验证两个振型正交性型正交性两个振型向量正交类似两个坐标向量正交；两个振型向量正交类似两个坐标向量正交；振型向量可以作为坐标基使用振型向量可以作为坐标基使用由初始条件求振幅和初相位由初始条件求振幅和初相位老坐标初始条件老坐标初始条件变换成新变换成新坐标初始坐标初始条件条件对应项代入公式对应项代入公式得振幅和初相位得振幅和初相位方程的解方程的解研究两阶振型之间的能量关系研究两阶振型之间的能量关系两阶固有振两阶固有振动能量和动能量和我们知

12、道，三维空间中运动的质点沿相互垂直的三个方向的运动是相我们知道，三维空间中运动的质点沿相互垂直的三个方向的运动是相互独立的，三个方向的能量彼此之间不相互交换，质点的总能量为三互独立的，三个方向的能量彼此之间不相互交换，质点的总能量为三个方向能量之和。如果将振型视为向量空间的一个方向向量，上面的个方向能量之和。如果将振型视为向量空间的一个方向向量，上面的分析表明，振动能量可以按振型分解，如同三维空间中的质点的运动分析表明，振动能量可以按振型分解，如同三维空间中的质点的运动和能量可以按相互垂直的三个方向分解一样。这意味着在振动中系统和能量可以按相互垂直的三个方向分解一样。这意味着在振动中系统的各阶

13、固有振动如同三维空间中的质点的运动一样，也是相互独立的，的各阶固有振动如同三维空间中的质点的运动一样，也是相互独立的，彼此没有能量交换。彼此没有能量交换。 振型之间相互独振型之间相互独立没有能量交换立没有能量交换如同相互垂直如同相互垂直的方向向量的方向向量可以作为线性空间可以作为线性空间的一组基使用的一组基使用解可表为振型解可表为振型的线性组合的线性组合研究耦合摆解的振动特征研究耦合摆解的振动特征耦合摆的振动规律耦合摆的振动规律图 37 拍振现象拍振现象第三章知识点核心问题是耦合与解耦；主要规律是固有振动。核心问题是耦合与解耦；主要规律是固有振动。矩阵形式运动微分方程；能量表达式求偏导得三矩阵

14、对应元矩阵形式运动微分方程；能量表达式求偏导得三矩阵对应元素；耦合与非对角矩阵；解耦与对角矩阵；选择合适的坐标素；耦合与非对角矩阵；解耦与对角矩阵；选择合适的坐标系能使方程解耦；固有振动的规律；固有频率与振型一一对系能使方程解耦；固有振动的规律；固有频率与振型一一对应；振型图；广义特征值问题；频率方程；振型矩阵即是能应；振型图；广义特征值问题；频率方程；振型矩阵即是能使方程解耦的线性变换矩阵；不同固有频率对应的振型权正使方程解耦的线性变换矩阵；不同固有频率对应的振型权正交；耦合摆与拍振规律。交；耦合摆与拍振规律。基本算法：基本算法：解频率方程得两个固有频率；解频率方程得两个固有频率；分别回代两个固有频率至广义特征值问题；分别回代两个固有频率至广义特征值问题；分别解相应的广义特征值问题得两个振型；分别解相应的广义特征值问题得两个振型；由两个阵型构成振型矩阵即是能使方程解耦的变换矩阵；由两个阵型构成振型矩阵即是能使方