数列公式汇总

1、人教版数学必修五第二章 数列 重难点解析第二章 课文目录21数列的概念与简单表示法 22等差数列 23等差数列的前n项和 24等比数列 25等比数列前n项和 【重点】1、数列及其有关概念，通项公式及其应用。2、根据数列的递推公式写出数列的前几项。3、等差数列的概念，等差数列的通项公式；等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用。4、等差数列n项和公式的理解、推导及应用，熟练掌握等差数列的求和公式。5、等比数列的定义及通项公式，等比中项的理解与应用。6、等比数列的前n项和公式推导，进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式【难点】1、根据数列的前n项观察、归纳数列的一个通项公式。2、理解递推

2、公式与通项公式的关系。3、等差数列的性质，灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题。4、灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题。5、灵活应用求和公式解决问题，灵活应用定义式及通项公式解决相关问题。6、灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题。一、数列的概念与简单表示法 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首

3、项），第2项，第n 项，.数列的一般形式：，或简记为，其中是数列的第n项 数列的通项公式：如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注意：并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列；一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，它的通项公式可以是，也可以是.数列通项公式的作用：求数列中任意一项；检验某数是否是该数列中的一项.数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 项，又是这个数列中所有各项的一般表示通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项5.数列与函数

4、的关系：数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集1，2，3，n）为定义域的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。反过来，对于函数y=f(x),如果f(i)（i=1、2、3、4）有意义，那么我们可以得到一个数列f(1)、 f(2)、 f(3)、 f(4)，f(n)，6数列的分类：1）根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6。是有穷数列无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是无穷数列2）根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列。递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列。常数数列：各项相

5、等的数列。摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列7数列的表示方法（1）通项公式法如果数列的第n项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。如数列 的通项公式为 ；   的通项公式为 ； 的通项公式为 ；（2）图象法启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形具体方法是以项数 为横坐标，相应的项 为纵坐标，即以 为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列 为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在 轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数从图象中可以直观地看到数列的项随项数

6、由小到大变化而变化的趋势（3）递推公式法如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。递推公式也是给出数列的一种方法。如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89递推公式为：4、列表法简记为 典型例题：例1：根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1) 3, 5, 9, 17, 33,； (2) , , , , , ； (3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,； (4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ；(5) 2, 6, 12, 20, 30, 42

7、,. 解：(1) 2n1； (2) ； (3) ； (4) 将数列变形为10, 21, 30, 41, 50, 61, 70, 81, , n；(5) 将数列变形为1×2, 2×3, 3×4, 4×5, 5×6,， (1)n(n1)例2：设数列满足写出这个数列的前五项。分析：题中已给出的第1项即，递推公式：解：据题意可知：，例3：已知， 写出前5项，并猜想 解：法一： ，观察可得 法二：由 即 二、等差数列1等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字

8、母“d”表示）。 公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；对于数列,若=d (与n无关的数或字母)，n2，nN，则此数列是等差数列，d 为公差。2等差数列的通项公式：【或】等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列的首项是，公差是d，则据其定义可得：即：即：即：由此归纳等差数列的通项公式可得：已知一数列为等差数列，则只要知其首项和公差d，便可求得其通项。由上述关系还可得：即：则：=即等差数列的第二通项公式 d=3有几种方法可以计算公差d d= d= d=4结论：（性质）在等差数列中，若m+n=p+q，则，即 m+n=p+q (m, n, p, q N ) 但通常 由

9、推不出m+n=p+q ，典型例题：例1：求等差数列8，5，2的第20项 -401是不是等差数列-5，-9，-13的项？如果是，是第几项？解：由 n=20，得由 得数列通项公式为：由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100项。例2：已知数列的通项公式，其中、是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？ 分析：由等差数列的定义，要判定是不是等差数列，只要看（n2）是不是一个与n无关的常数。解：当n2时, （取数列中的任意相邻两项与（n2）为常数是等差数列，首项，公差为p。注：若p=0，则是公差为0的等差数列，即为常数列

10、q，q，q，若p0, 则是关于n的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数y=px+q的图象上,一次项的系数是公差,直线在y轴上的截距为q.数列为等差数列的充要条件是其通项=pn+q (p、q是常数)，称其为第3通项公式。判断数列是否是等差数列的方法是否满足3个通项公式中的一个。例3：求等差数列3，7，11，的第4项与第10项.分析：根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项.解：根据题意可知：=3,d=73=4.该数列的通项公式为：=3+（n1）×4,即=4n1（n1,nN*）=4×41=15, =4×101=39.评述：关键

11、是求出通项公式.例4：求等差数列10，8，6，的第20项.解：根据题意可知：=10,d=810=2.该数列的通项公式为：=10+（n1）×（2）,即：=2n+12,=2×20+12=28.评述：要注意解题步骤的规范性与准确性.例5：100是不是等差数列2，9，16，的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.分析：要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n值，使得等于这一数.解：根据题意可得：=2,d=92=7. 此数列通项公式为：=2+（n1）×7=7n5.令7n5=100,解得：n=15, 100是这个数列的第15项.例6：20是不是

12、等差数列0，3，7，的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.解：由题意可知：=0,d=3 此数列的通项公式为：=n+,令n+=20,解得n= 因为n+=20没有正整数解，所以20不是这个数列的项.例7：如果在与中间插入一个数A，使，A，成等差数列数列，那么A应满足什么条件？解：由定义得A-=-A ，即：反之，若，则A-=-A由此可可得：成等差数列例8：在等差数列中，若+=9, =7, 求 , .分析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项（知道任意两项就知道公差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式

13、，想到从这双项关系式入手解： an 是等差数列 +=+ =9=9=97=2 d=72=5 =+(94)d=7+5*5=32   =2, =32三、等差数列的前n项和1等差数列的前项和公式1：证明： +： 由此得： 从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性2 等差数列的前项和公式2： 用上述公式要求必须具备三个条件： 但 代入公式1即得： 此公式要求必须已知三个条件： （有时比较有用）对等差数列的前项和公式2：可化成式子：，当d0，是一个常数项为零的二次式3 由的定义可知，当n=1时，=；当n2时，=-，即=.4 对等差数列前项和的最值问题有两种方法:（1） 利用:当>0，

14、d<0，前n项和有最大值可由0，且0，求得n的值当<0，d>0，前n项和有最小值可由0，且0，求得n的值（2） 利用：由利用二次函数配方法求得最值时n的值典型例题：例1：如图，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1支，最上面一层放120支. 这个V形架上共放了多少支铅笔？解：由题意知，这个V型架自下而上是个由120层的铅笔构成的等差数列，记为an，答：V型架上共放着7260支铅笔例2：等差数列10，6，2，2，·······前9项的和多少？解：设题中的等差数列为an则 a

15、1=10，d=4, n=9例3：等差数列前10项的和为140，其中，项数为奇数的各项的和为125，求其第6项解 依题意，得解得a1=113，d=22 其通项公式为an=113(n1)·(22)=22n135a6=22×61353说明 本题上边给出的解法是先求出基本元素a1、d，再求其他的这种先求出基本元素，再用它们去构成其他元素的方法，是经常用到的一种方法在本课中如果注意到a6=a15d，也可以不必求出an而即a63可见，在做题的时候，要注意运算的合理性当然要做到这一点，必须以对知识的熟练掌握为前提例4：在1和2之间插入2n个数，组成首项为1、末项为2的等差数列，若这个数列

16、的前半部分的和同后半部分的和之比为913，求插入的数的个数解 依题意21(2n21)d由，有(2n1)d=1 共插入10个数例5：在等差数列an中，设前m项和为Sm，前n项和为Sn，且SmSn，mn，求Sm+n且SmSn，mnSm+n0例6：已知等差数列an中，S3=21，S6=64，求数列|an|的前n项和Tnd，已知S3和S6的值，解方程组可得a1与d，再对数列的前若干项的正负性进行判断，则可求出Tn来解方程组得：d2，a19an9(n1)(n2)2n11其余各项为负数列an的前n项和为：当n5时，Tnn210n当n6时，TnS5|SnS5|S5(SnS5)2S5SnTn2(2550)(n

17、210n)n210n50说明 根据数列an中项的符号，运用分类讨论思想可求|an|的前n项和例7： 在等差数列an中，已知a6a9a12a1534，求前20项之和解法一 由a6a9a12a1534得4a138d3420a1190d5(4a138d)=5×34=170由等差数列的性质可得：a6a15=a9a12a1a20 a1a20=17S20170例8：已知等差数列an的公差是正数，且a3·a7=12，a4a6=4，求它的前20项的和S20的值解法一 设等差数列an的公差为d，则d0，由已知可得由，有a124d，代入，有d2=4再由d0，得d2 a1=10最后由等差数列的前

18、n项和公式，可求得S20180解法二 由等差数列的性质可得：a4a6a3a7 即a3a74又a3·a7=12，由韦达定理可知：a3，a7是方程x24x120的二根解方程可得x1=6，x22 d0 an是递增数列a36，a7=2例9：等差数列an、bn的前n项和分别为Sn和Tn，若 2a100a1a199，2b100b1b199解法二 利用数列an为等差数列的充要条件：Snan2bn可设Sn2n2k，Tnn(3n1)k说明 该解法涉及数列an为等差数列的充要条件Sn=an2bn，由k是常数，就不对了例10： 解答下列各题：(1)已知：等差数列an中a23，a617，求a9；(2)在19

19、与89中间插入几个数，使它们与这两个数组成等差数列，并且此数列各项之和为1350，求这几个数；(3)已知：等差数列an中，a4a6a15a1750，求S20；(4)已知：等差数列an中，an=333n，求Sn的最大值分析与解答a9=a6(96)d=173×(5)=32(2)a1=19，an+2=89，Sn+21350(3)a4a6a15a17=50又因它们的下标有417615=21a4a17=a6a15=25(4)an=333n a130nN，当n=10或n=11时，Sn取最大值165例11：等差数列an的前n项和Snm，前m项和Smn(mn)，求前mn项和Sm+n解法一 设an的公

20、差d按题意，则有=(mn)解法二 设SxAx2Bx(xN)，得A(m2n2)B(mn)nmmn A(mn)B=1故A(mn)2B(mn)(mn)即Sm+n(mn)说明 a1，d是等差数列的基本元素，通常是先求出基本元素，再解的“整体化”思想，在解有关数列题目中值得借鉴解法二中，由于是等差数列，由例22，故可设Sx=Ax2Bx(xN)例12： 在项数为2n的等差数列中，各奇数项之和为75，各偶数项之和为90，末项与首项之差为27，则n之值是多少？解 S偶项S奇项=ndnd=9075=15又由a2na127，即(2n1)d=27例13：在等差数列an中，已知a125，S9S17，问数列前多少项和最

21、大，并求出最大值解法一 建立Sn关于n的函数，运用函数思想，求最大值a1=25，S17S9 解得d2当n=13时，Sn最大，最大值S13169解法二 因为a1=250，d20，所以数列an是递减等a125，S9S17an=25(n1)(2)=2n27即前13项和最大，由等差数列的前n项和公式可求得S13=169解法三 利用S9=S17寻找相邻项的关系由题意S9=S17得a10a11a12a17=0而a10a17=a11a16=a12a15=a13a14a13a140，a13=a14 a130，a140S13=169最大解法四 根据等差数列前n项和的函数图像，确定取最大值时的nan是等差数列可设

22、SnAn2Bn二次函数y=Ax2Bx的图像过原点，如图321所示S9S17，取n=13时，S13169最大四、等比数列1等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q0），即：=q（q0）1°“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q) 成等比数列=q（,q0）2° 隐含：任一项“0”是数列成等比数列的必要非充分条件3° q= 1时，an为常数。2.等比数列的通项公式1: 由等比数列的定义，有：； 3.等比数列的通项公式2: 4既是等差又是等比数列的数列

23、：非零常数列5等比数列与指数函数的关系：等比数列的通项公式,它的图象是分布在曲线（q>0）上的一些孤立的点。当，q >1时，等比数列是递增数列；当，等比数列是递增数列；当，时，等比数列是递减数列；当，q >1时，等比数列是递减数列；当时，等比数列是摆动数列；当时，等比数列是常数列。6等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，那么称这个数G为a与b的等比中项. 即G=±（a,b同号）如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，则，反之，若G=ab,则，即a,G,b成等比数列a,G,b成等比数列G=ab（a·b0）7等比数列的性

24、质：若m+n=p+k，则在等比数列中，m+n=p+q，有什么关系呢？由定义得： ，则8判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法9等比数列的增减性：当q>1, >0或0<q<1, <0时, 是递增数列;当q>1, <0,或0<q<1, >0时, 是递减数列;当q=1时, 是常数列;当q<0时, 是摆动数列;10证明数列为等比数列的方法:(1)定义法:若(2)等比中项法:若(3)通项法:若 (4)前n项和法:若数列为等比数列。典型例题：例1：求下列各等比数列的通项公式：（1）=-2, =-8； （2）=5, 且2=-3； （3

25、）=5, 且解：（1）解：（2）解：（3）解： 以上各式相乘得：例2：求下面等比数列的第4项与第5项：（1）5，15，45，；（2）1.2，2.4，4.8，；（3），.解：（1）q=3, =5 =5·（3）=5·（3）=135，=5·（3）=405.（2）q=2, =1.2 =1.2×2=1.2×2=9.6, =1.2×2=19.2（3）q= =×（）=×（）=, =×（）=（4）q=1÷,= =·（）=.例3：一个等比数列的第9项是，公比是，求它的第1项.解：由题意得=,q=q8,=

26、（）,=2916答：它的第1项为2916.例4：一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项.解：由已知得=10, =20.在等比数列中, =5, =q=40.答：它的第1项为5，第4项为40.例5：已知：b是a与c的等比中项，且a、b、c同号，求证： 也成等比数列证明：由题设：b2=ac 得： 也成等比数列例6：已知是项数相同的等比数列，求证是等比数列.证明：设数列的首项是，公比为;的首项为，公比为，那么数列的第n项与第n+1项分别为：它是一个与n无关的常数，所以是一个以q1q2为公比的等比数列.例7：(1) 已知是等比数列，且, 求 (2) ac,三数a, 1, c成等差

27、数列，成等比数列，求解：(1) 是等比数列， 2()25, 又>0, 5; (2) a, 1, c成等差数列, ac2, 又a, 1, c成等比数列, a c1, 有ac1或ac1, 当ac1时, 由ac2得a1, c1,与ac矛盾， ac1, .例8：已知无穷数列， 求证：（1）这个数列成等比数列 （2）这个数列中的任一项是它后面第五项的， （3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中证明：（1）（常数）该数列成等比数列 （2），即： （3）， 且，（第项）例9：在等比数列中，求该数列前七项之积 解： ，前七项之积例10：在等比数列中，求， 解： 另解：是与的等比中项， 五、等比数列的前

28、n项和1、 等比数列的前n项和公式： 当时， 或 当q=1时，当已知, q, n 时用公式；当已知, q, 时，用公式.公式的推导方法一：一般地，设等比数列它的前n项和是由得当时， 或 当q=1时，公式的推导方法二：有等比数列的定义，根据等比的性质，有即 （结论同上）围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式公式的推导方法三： （结论同上）2、重要结论an成等比数列，公比为q （1）也为等比数列，且公比为， （2）也成等比数列，且公比为q2（3）成等比，且an>0，则lga1,lga2,lga3成等差注（1）（2）典型例题：例1：求和： .分析：当 时， 是由数列 与数

29、列 的相应的项相乘而来的，所以用错位相减法来求和.解：当 时， 当 时， ，左右两边分别乘以 得： ，、相减得：于是 .说明：求和问题要分析数列的项的结构，当通项是一个等差数列与等比数列的乘积时，用错位相减法求和，此时要注意等比数列的公比是否为1（用字母表示公比时）.例2：已知 是等比数列 的前 项和，且有 求 的值.分析：由两个方程不能求出确定的 ，只能得到一个关系，所以应采用整体代入的方法.解：设等比数列的首项为 ，公比为 ， 由 可知 ，故 两式相除得 ，即 .于是有说明：本题强调的是基本量思想与整体思想，整体思想往往是设而不求，整体替换.例3： 求数列 的24项的和.分析： ，可用裂项

30、法求和.解： .说明：裂项法是求和的重要方法之一，要把数列的每一项分裂为两项之差，求和时使得中间的大多数项互相抵消了.例4：设 是由正数组成的等比数列， 是其前 项和.求证： .分析：先比较 与 的大小，再根据对数函数的单调性得到所要证明的不等式.证明：设等比数列 的首项为 ，公比为 .当 时， 当 时， ， ，故有 .说明：解题中注意等比数列前 项和公式要对公比进行分类；注意比较两数大小的基本方法是比较法，特别是作差比较法，还要注意结合函数的有关知识.例5： 已知数列 中， 且当 时， .（1）求 的通项公式；（2）求证： 分析：该数列从第二项开始，每一项是其前面所有项之和，于是通项 与一个

31、和有关，所以引入前 项和.解：（1）设 ，所以当 时有 ，同时又 ，两式相减得 ，于是 所以 是等比数列，公比为2.因为 所以 ，故当 时， ,所以 证明：（2）说明：在解题中注意项数的初始值，以及数列通项与和的相互转化.第二章 数列 检测题一、选择题（每题5分，共50分）1、在数列中，则的值为（）A49B50C51D522、数列3，5，9，17，33，的通项公式等于（）ABCD3、是成等比数列的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件4、若数列的前n项和为，则（ ）A B C D5、已知实数满足，那么实数是（）A等差非等比数列B等比非等差数列C既是等比又是

32、等差数列D既非等差又非等比数列6、若成等比数列，则关于x的方程（）A必有两个不等实根B必有两个相等实根C必无实根D以上三种情况均有可能7、已知则的等差中项为（）ABCD8、数列、都是等差数列，其中，那么前100项的和为（ ）A0B100C10000D1024009、数列前n项的和为（）A B C D 第1个第2个第3个。10、黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第个图案中有白色地面砖的块数是AB CD二、填空题（每题4分，共16分）11、在等差数列中，已知，那么等于_； 12、某厂在1995年底制定生产计划，要使2005年底的总产量在原有基础上翻两番，则年平均增长率为_,13、已知等差数列的公差，且成等比数列，则的值是_, 14、等差数列前项和为，已知为_时，最大. 三、解答题（共84分）15、