数学建模选修课赵奇才

1、安徽工程大学 数学建模（选修课）课程论文 教学楼失火人员疏散问题队员：赵奇才 轻化工程2091 3092117116成 绩： 完成日期：3目录一、 摘要1二、 问题重述2三、 基本假设与符号及变量说明3 3.1 基本假设3 3.2 符号及变量说明4四、问题分析.5五、模型的建立和求解.6 5、1 模型一.6（一）模型的建立.6（二）模型的求解.85、2模型二.10（一）模型的建立10（二）模型的求解.11六、模型的评价与改进13八、附录表.14十、参考文献23一、摘要最近地震火灾事故频发，2008年就经历了汶川之殇，造成了严重的人员和财产损失，在灾难发生之际，有效的撤离能挽救损失，尤其在人员密

2、集的地方，诸如学校，商场等显得就格外重要。本文解决的问题是在学生从听见警报声开始到离开教学楼平均撤离时间和在突发事件下如何撤离以减少人员损失建立的模型。详细如下： 正常情况下，首先简化教学楼，把教学楼层网络化采用动态规划的方法，确定最符合实际的撤离路线，针对此路线，利用集群化原理，模拟实际需要的平均撤离时间。结合安徽工程大学六号教学楼，先考虑总体撤离时间，再将其分成个大的部分，然后对每个部分加以细化，最后分别计算后累加求得时间。突发事件情况下，为了更好的有组织、有秩序地疏散撤离，我们采用人流模型（人员单队疏散模型）来考虑平均撤离时间。以每楼层的各个教室为单位进行逐个撤离，从而计算出总撤离时间。

3、对于该教学楼中人员疏散的设计的两种方案做出了初步的评价，得出了一种在人流密度较大的教学楼内，人员疏散时间的计算方法和疏散过程中瓶颈现象的处理方法，并提出采用距离控制疏散过程和瓶颈控制过程来分析和计算教学楼的人员疏散。关键词： 动态规划 集群化原理 人流模型 瓶颈现象二、问题重述学校的教学楼是一种人员非常集中的场所，由于学校教学楼开放的安全通道有限，一旦发生火灾人员的逃离显然是个值得研究的问题,教学楼的结构事关学生的逃离时间,结合自己所在学校的教学楼分析1、测量出有关结构的数据,绘制出教学楼的土图2、当发生火灾等安全事故，以学校教学楼为例，设计最佳逃生方案,并对疏散方案作出评价（例如平均撤离时间

4、等指标）3单从逃生的角度看,你所研究的教学楼的结构是否合理?如不合理,如何改进?绘制出改进后的结构图.三、基本假设与符号及变量说明3.1 基本假设模型一：1、疏散过程中，人群的流量、人口的密度与疏散通道的宽度、行走速度有关 ；2、所有人员在疏散过程中不发生踩踏事件；3、在疏散过程中不会出现中途返回选择其它疏散路径；4 、每个疏散通道结构宽度等变量均相同，在疏散过程中，人口疏散分配均衡；5 、人员从每个可用出口疏散且所有人的疏散速度一致并保持不变。以上假设是人员疏散的一种理想状态，与人员疏散的实际过程可能存在一定的差别，为了弥补疏散过程中的一些不确定性因素的影响，在采用该模型

5、进行人员疏散的计算时，通常保守地考虑一个安全系数，一般取，即实际疏散时间为计算疏散时间乘以安全系数后的数值。模型二：1、每个教室的门口同一时刻只能走出一个人，走道有三个出口。2、人群撤离时，井然有序，单行，（间隔）均匀，匀速（但不是定值）。3、忽略教室内人员排成一队的时间，每个教室第一个人从教室门口走出门口到站到走道上的时间忽略不计。4、人流限制在单向定宽的走道内前进，且相对饱满，即速度不大于某极限速度Vmax。5、行走速度只受到人与人前后之间的间距和行走频率的影响，在拥挤的状态下步幅等于相邻个体的间距，步幅不超过0.75m。3.2 符号及变量说明模型一：群集密度， P通道中的人数通道的实际长

6、度 人群群集通行难易程度系数V群集的步速 楼道里障碍物产生的阻滞数N群集流动系数 第层楼道的通畅程度楼梯实际利用程度的增量 第层人员心理焦急程度人群流动系数的增量 出教室门的时刻撤离结束时刻 第层人员的拥挤程度模型二：-第i个教室门的右侧到第i-1个教室门的左侧（或门口）的距离-第i个教室的人数 -教室门的宽度-人员在队伍中的间隔 -个体的平均行走频率-个体的平均厚度 -个体的平均步幅-第i个教室的人全部安全出来需要的时间-任意一个教室第i个人安全出来需要的时间-第i-1个教室的最后一个人安全离开时,第i个教室的第一个开还需要走的距离-人员疏散的平均速度四、问题分析  根据题目的要求

7、首先我们要建立一个数学模型在正常情况下,学生离开教学楼的平均撤离时间，经过分析：教学楼学生疏散所需的疏散时间就是最后一个离开教学楼的学生所有用的时间。由分析得：学生疏散所需时间包括了疏散开始时间和疏散行动时间。疏散开始时间即从下课铃响到学生感知时间。一般地, 疏散开始时间与响铃系统, 发生场所、建筑物形状及管理状况，疏散诱导手段等因素有关。疏散行动时间即从疏散开始至疏散结束的时间,它由步行时间(从教室门口至安全出口步行所需的时间) 和出口通过排队时间(即学生全部从出口通过所需的时间) 构成。而步行时间又可以分为：从教室到走廊的时间，从教室门口到楼梯口的时间，从6楼楼梯口到安全出口的时间。 设计

8、一个疏散方案以减少学生的伤亡程度，经分析如下：为了更有组织，更有秩序的紧急撤离，为此我们采用了单队疏散模型，即以教室为单位进行逐个教室撤离。学生疏散的时间就是最后一个人离开教学楼所需的时间。一般地，学生疏散的时间与学生需要走的路程和学生撤离的速度有关。学生需要走的路程受到个体的占地面积的影响；学生撤离的速度受到个体的步幅和行走频率的影响。（见附录一 图1） 五、模型的建立与求解5、1 模型一（一）模型的建立1 教学楼层网络化不考虑南北两楼之间的人员流动（即忽略连廊作用），把六号楼分割为南北两个独立系统分析（如附录1图2）。建筑网络模型由一系列的节点以及连接各个节点的路径组成。节点代表教学楼内的

9、不同的教室、通道、楼梯间、安全出口以及其他的空间部分，模型将教室外或教学楼内的其他安全地点定义为目标结点，人员疏散以人员到达目标结点算作结束。空间上相邻的节点通过虚拟的路径来连接，这些路径在空间上并不实际存在，只是通过它们来反映各个节点之间的连接关系，还需要设定路径的方向，以反映人员在网络内的流动方向。路径由连接两节点的箭头表示，箭头方向表示人员疏散的方向，其旁边括号内的数字分别表示单位时间通过该路径的人数、人员通过该路径所用的时间。对于路径，需要根据人流流动的方向来设定路径的方向，按路径方向的不同，路径可分为单向路径和双向路径两类。根据分析，实际疏散时，在某段时间内，人流在路径上沿一个方向行

10、进，可能在另一时间段内又转换为另一个方向，当然也存在疏散的整个过程中人员始终沿某一固定方向行走的情况。路径的实时方向则是由模型通过对人员疏散整个过程进行模拟计算得到。设定的路径方向只是路径的可能方向，可以通过检查模拟计算结果得到不同时间段内的实时路径方向。2 模拟实际撤离路线人员的撤离与疏散通道的一些阻碍因素所导致。人员的密度直接决定了人员的行走速度，人群群集通行难易程度系数与人员分布密度的积得到人群群集当量长度系数。通道的当量长度：第条通道的当量长度：且得N一般为1.5，所以把楼房网络化为G（V，E），房间为V，而E为各个通道。对于任意的点和，且；有在实际计算时把有向网络化为无向网络来计算以

11、模拟人员流动的不确定性。简单的认为心理焦急程度符合以下函数关系： 为计算的方便令，为人员所在的楼层数。心里焦急程度和楼道的通畅程度的关系：楼道里的障碍物产生的阻滞数：参数：，由动态规划法可得最佳撤离路径为，把网络图转化为矩阵计算，并把不可能撤离的节点置为无穷。（程序见附录二 程序1）3 人员撤离迟滞时间根据已经求得的最优路径，主要限制人员撤离时间的因素为楼梯的宽度对人流的限制。忽略因少数人因某些原因走反方向，人员的行动方向恒定，且为一个连续的滞留人数。（如附录一 图3）流入楼梯的人数（即自从出教室门起到时刻止，到达楼梯的人群数量）： 流出楼梯的人数（即自时刻起，经过楼梯流出的人数包括撤离初期流

12、出的人数和在时刻后出现常流后的人数）：滞留人数（即到时刻在楼梯上滞留的人数）： 楼梯上所需时间（即人流全部流出楼梯）：（二）模型的求解1、从听到警报声开始到学生感知的时间（即人的反应时间，一般为）（不考虑学生在教室逗留，老师不延迟上课时间以及铃声传递的时间）。2、从教室到走廊的时间为教室的人员刚开始进行疏散时,人流密度比较小,疏散空间相对于正在进行疏散的人群来说是比较宽敞的,此时决定疏散的关键因素是疏散路径的长度。现将这种类型的疏散过程定义为是距离控制疏散过程;刚开始时教室内的人员密度s为120/200=0.6人/。然而教室里还有很多的桌椅,因此人员行动不是十分方便,参考附录一的表1给出的数据

13、,将室内人员的行走速度v为1.2/。设教室的门宽为1.80。而在疏散过程中,这个宽度不可能完全利用,它的等效宽度为w,等于此宽度上减去0.30。则从教室中出来的人员流量为:=××=1.2×1.5 ×0.6=1.08人/.按此速度计算,教室里的人员要在大约要111内才能完全疏散完毕。3、从教室门口到楼梯口的时间也就是人在走廊的时间设走廊上的人员密度为：s=1人/，参考附录一的表1得，人流速度v为1.2，走廊的有效宽度w为：1.8m，那么走廊上的人员流量f为：f=××=1.2*1.5*1=1.8人/s。按此速度计算需要67s到达楼梯口。4

14、、从6楼楼梯口到安全出口的时间假设归并后的每个教室有600人，由于共有4间教室，3个出口，假设人在每个安全出口的分布是均匀的，那么在每个出口有800人通过，假设楼梯的有效宽度为2米，根据s提出,下楼梯的人员流量与楼梯的有效宽度和使用楼梯的人数有关,其计算公式为:=(/8040)0.73×0.27。此式中,流量的单位为人/,的单位为。此公式的应用范围为0.1</<0.55。通过计算可以得出p/w=0.4<0.55，代入公式可得f=1.17人/s。计算出人员到达安全出口的大约需要684s。5、安全出口通过排队时间设通过每一个大厅出口时的人流速度恒定大约为2人/ms。大厅

15、出口的有效宽度为4m，因为大厅出口不是制约人员撤离的主要瓶颈，所以可以认为在最高层的人到达大厅出口前其余各层人都可以顺利从出口撤离，而集群人数为600人，所以全部通过安全出口所需时间大约为75s。那么=75s。那么根据模拟计算得到：人安全疏散的时间为937.2s5、2 模型二（一）模型的建立（人员单队疏散模型）首先需要拟订人员疏散方案即听到警报器声响时每个教室的人同时开始往外走，并且在前一个教室的门口等待，当前一个教室的最后一人走出时后一个教室的人开始接着往前走。为了考虑人员的心理慌张等因素，从而影响疏散时间，则设定一个恐慌程度系数（一般为1.5-2之间）。若要计算第i个教室人员疏散的时间，先

16、要知道第i-1个教室人员疏散的时间。模型的构成可以分为以下几个步骤。1.人群疏散的速度v的计算由假设可知：当人员间的距离<0.75m 时 步幅h=；距离>=0.75m 时 步幅h=0.75m。则有：速度=hf2、距离的计算1）当i=1时即是从门口到出口的距离： 2）当i=2时应分两种情况考虑:a) 第2间教室的第一个人走到第1间教室门口时需要等待，直到第1间教室的人全部走进走道，即当时： b) 第2间教室的第一个人走到第1间教室门口时不需要等待（第一间教室里已经没有人），即当时：由推导可知：当i=k时3、疏散时间Ti的计算对于第1间教室 第个人安全离开所需的时间对于第2间教室 第个

17、人安全离开所需的时间由推理可得 对于第k间教室 最终的撤离总时间为（二）模型的求解这个模型是根据拥挤程度从而选择间距，使疏散总时间最小。根据上式可知速度随步幅h的增大而增大，受到间距的影响，而总时间T由和共同决定。由于与h有关系，可知T是的函数。注：Li,ni+1,D,w,f为确定的值，根据资料在本文中取w=0.25m,f=2.3总时间T可由以下程序计算得到：（程序原代码见附录二 程序2）得到疏散总时间=408.9*2=817.8 六、模型的评价与改进优点：模型一的建立为教学楼性能化安全疏散设计提供科学的指导作用，并且可以定量评价疏散系统的性能。同时为分析具有复杂内部通道建筑中的人员疏散提供了

18、方法,还建立了分段处理不同路径上人员疏散时间的方法。模型二的建立是为了更好的有组织，有秩序的疏散人员，为疏散过程减少拥挤提供了有力的依据，以便更快的进行撤离，同时还能减小人员慌张所带来的损失，还为突发时间下紧急平均疏散时间提供了方法。缺点：两个模型都是按照一种很理想的条件进行的,并且忽略了很多实际因素。如出现盲目乱跑、逆向行走等现象,这样会延长平均疏散时间。模型一在现阶段是一个人员疏散分析模型的基础,目前属于理论上的模型,以上的计算结果都是通过手算得到的。模型二的太过于理想化，与实际存在很的误差，从而计算出的平均撤离时间与现实有很大的误差。改进：单从逃生角度看,所需时间越少越好,为了使所建的数

19、学模型能更好的应用于实际，那么就要优化各个因素。模型的结果就是平均撤离时间为多少，教学楼的结构很大程度上决定了疏散的大部分时间,所在教学楼的楼道较窄和楼道较少,以及还有许多安全通道平时不开放,突发时也就不能应急用,所以解决以上问题还可提高逃生系数,此外,撤离时间还与许多因数有关。比如说：人员的组成和特性（我们还可以考虑，把人分成熟悉建筑物，不熟悉建筑物，行动不便的人）；人员密度及分布情况（当分布不均的时候）；教学楼的设施情况（教学楼所承受的突发事件程度）等等。 因此说这是一个非常复杂的系统, 特别是人员的心理和行为能力对平均撤离时间的影响等等,所以我们可以从这几方面加以改进。七、附录学生疏散的

20、时间学生所走的路程学生撤离的速度个体占地面积步幅和频率流动系数学生流动特性和行动能力附录一图1 表1大厅或走廊楼梯间内平均行走速度 m/s平均密度人 /单位宽度平均流量 人/(m.s)平均行走速度 m/s平均密度人 /单位宽度平均流量 人/(m.s)>1.32<0.308<0.38>0.64<0.538<0.27>1.27<0.431<0.55>0.61<0.719<0.38>1.17<0.719<0.82>0.58<1.075<0.55>1.02<1.075<1.09

21、>0.53<1.538<0.71>0.56<2.174<1.37>0.43<2.703<0.93<0.56>2.174>1.37<0.43>2.703>0.93附录二程序1/*  * File:   Evacuate_Normal.c * * Created on 2011年5月8日, 下午5:58 * * 动态规划计算六楼至出教学楼最快路径 */#include <stdio.h>#include <stdlib.h

22、>int stair63 =       1,  2,  1, /*6楼至5楼楼梯耗时*/      1,  3,  2,      2,  2,  1,      3,  3,  1,      3,  4,  1,      3,  5,  2  /*大门等待时间*/;int c

23、orridor62 =       1,  1, /*6楼楼梯与楼梯间走廊相隔时间*/      1,  2,      3,  2,      1,  1,      1,  2,      4,  2  /*1楼楼梯与楼梯间走廊相隔时间*/;int dis3 = 1, 2, 3 ; /*教室到每个楼梯口耗时*/int path63 = 0; &

24、#160; /*路径*/void printPath(int s, int p)     int t = pathsp - p - 1;    if(s < 5)         if(t)            printf("->走廊");        printf("->楼梯%d,%

25、d", s + 1, pathsp);        printPath(s + 1, pathsp - 1);    else         if(t)            printf("->走廊");        printf("->门

26、%d", pathsp);        return;    int main()     int i, j, pathcount = 0;    for (i = 5; i >= 0; -i)         if(stairi+10 <= stairi+11 + corridori+10 && stairi+10 <= stairi+12 + corridori+10

27、 + corridori+11)             stairi0 += stairi+10;            pathi0 = 1;        else if(stairi+10 > stairi+11 + corridori+10 && stairi+11 + corridori+10 <=

28、 stairi+12 + corridori+10 + corridori+11)             stairi0 += stairi+11 + corridori+10;            pathi0 = 2;        else        &#

29、160;    stairi0 += stairi+12 + corridori+10 + corridori+11;            pathi0 = 3;                if(stairi+11 <= stairi+10 + corridori+10 && stairi+11 <= stairi+12 +

30、 corridori+11)             stairi1 += stairi+11;            pathi1 = 2;        else if(stairi+11 > stairi+10 + corridori+10 && stairi+10 + corridori+10 <= s

31、tairi+12 + corridori+11)             stairi1 += stairi+10+ corridori+10;            pathi1 = 1;        else            

32、stairi1 += stairi+12 + corridori+11;            pathi1 = 3;                if(stairi+12 <= stairi+10 + corridori+10 + corridori+11 && stairi+12 <= stairi+11 + corridori+11)

33、60;           stairi2 += stairi+12;            pathi2 = 3;        else if(stairi+12 > stairi+11 + corridori+11 && stairi+10 + corridori+10 + corridori+11 > stair

34、i+11 + corridori+11)             stairi1 += stairi+11 + corridori+11;            pathi2 = 2;        else             sta

35、iri1 += stairi+10 + corridori+10 + corridori+11;            pathi2 = 1;                for (i = 0; i < 3; +i)         disi += stair0i;        print

36、f("最短耗时：");    if(dis0 <= dis1 && dis0 <= dis2)         printf("%dn路径：楼梯%d,%d", dis0, 1, 1);        printPath(1, path00 - 1);    else if(dis0 > dis1 && dis1 <= dis2)  

37、       printf("%dn路径：楼梯%d,%d", dis1, 1, 2);        printPath(1, path01 - 1);    else         printf("%dn路径：楼梯%d,%d", dis2, 1, 3);        printPath(1, path0

38、2 - 1);        printf("n");    return 0;程序2/*  * File:   Evacuate_Urgent.c * * Created on 2011年5月8日, 下午6:10 * 突发事件下 */#include <stdio.h>#include <stdlib.h>double S5 = 0 ;int n5 = 95, 100, 120, 90, 110; /*第i个教室的人数*/double L5 = 9, 8, 9, 8, 7;     /*第i个教室门的右侧到第i-1个教室门的左侧（或门口）的距离*/double D = 1.5;                     /*教室门宽度*/double dis=0.6