第三章常用概率分布

1、2 表表3 31 1 小麦种子发芽试验记录小麦种子发芽试验记录试验种子试验种子粒数粒数n 100200300400500600700发芽种子发芽种子粒数粒数m 65155204274349419489频率频率m/n 0.6500.675 0.6800.6850.6980.6983 0.6986 因为该试验样本空间由因为该试验样本空间由2020个等可能的基个等可能的基本事件构成，即本事件构成，即n=20=20, ,而事件而事件A所包含的基所包含的基本事件有本事件有4 4个，既抽得编号为个，既抽得编号为1 1，2 2，3 3，4 4中中的任何的任何1 1个，事件个，事件A便发生，即便发生，即mA=

2、4=4，所以，所以 4( )0.220AmP An 同理同理 ， 事件事件B所包含的基本事件数所包含的基本事件数mB=10，即抽得数字为，即抽得数字为 2，4，6，8，10，12，14，16，18，20中的任何中的任何1个，事件个，事件B便发生，故便发生，故10( )0.520BmP Bn （三）（三）概率的性质概率的性质 1、对于任何事件、对于任何事件A，有，有0P（A）1； 2、必然事件的概率为、必然事件的概率为1，即，即P（）=1； 3、不可能事件的概率为、不可能事件的概率为0，即，即P（）=0。 事件的概率表示了一次试验某一个结果发事件的概率表示了一次试验某一个结果发生的可能性大小。生

3、的可能性大小。 若要全面了解试验，则必须知道若要全面了解试验，则必须知道试验的全试验的全部可能结果及各种可能结果发生的概率部可能结果及各种可能结果发生的概率，即必，即必须知道须知道随机试验的概率分布随机试验的概率分布。 先引入先引入随机变量随机变量的概念。的概念。 频率/组距xabab频率/组距 (34) 式式 为为 连连 续续 型型 随机变量随机变量 x 在在 区间区间a,b）上取值概率的表达式。可见，）上取值概率的表达式。可见，连续型随连续型随机变量的概率由概率分布密度函数确定机变量的概率由概率分布密度函数确定。 图图3-1 表表2-6资料的分布密度曲线资料的分布密度曲线badxxf)(c

4、cdxxfcxP0)()(1)()(dxxfxP 一、贝努利试验及其概率公式一、贝努利试验及其概率公式 将某随机试验重复进行将某随机试验重复进行n 次，若各次试验次，若各次试验结果互不影响，即每次试验结果出现的概率都结果互不影响，即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果，则称这不依赖于其它各次试验的结果，则称这 n n次试次试验是独立的验是独立的。 AAnkknkknnqpCpq0)( )kkn knnP kC p q( )kkn knnP kC p q1)(0nnkknkknpqqpC0()()nmkknknkPxmPkmCp q()()nnkknknkmPxmPkmCpq 21

5、1212()()nmkknknkmP mxmpmkmCp q 图32 n值不同的二项分布比较 图33 p值不同的二项分布比较 P P（“至少至少1 1粒种子出苗粒种子出苗”） = P(x=1)+P(x=2)+P(x=6)= P(x=1)+P(x=2)+P(x=6) = = = 0.0157 = 0.01570.07990.07990.21620.2162 0.32920.32920.26720.26720.09050.0905 = 0.9987 = 0.9987 1152246606660.67 0.330.67 0.330.67 0.33CCC2503.025.075.0! 3 !7!102

6、5.075.0)7(3737710CxPnpqppnpq / )(pp nqp/ ) (pq1pSpS 【例例37】 某树种幼苗成材率为某树种幼苗成材率为70%，现，现种植种植2000株，问成材幼苗株数的平均数株，问成材幼苗株数的平均数、标标准差是多少准差是多少? 根据题意根据题意 ， n=2000 ， p=0.70，q=0.30。设设2000株幼苗成材为株幼苗成材为x株，则株，则x为服从二项分为服从二项分布布B(2000，0.70)的随机变量。的随机变量。成材幼苗株数的平均数成材幼苗株数的平均数 成材幼苗株数的标准差成材幼苗株数的标准差 20000.71400（株） np2000 0.7 0

7、.3npq20.49 （株） 正态分布是一种很重要的连续型随机变量的正态分布是一种很重要的连续型随机变量的概率分布。生物现象中有许多变量是服从或近概率分布。生物现象中有许多变量是服从或近似服从正态分布的。许多统计分析方法都是以似服从正态分布的。许多统计分析方法都是以正态分布为基础的。此外，还有不少随机变量正态分布为基础的。此外，还有不少随机变量的概率分布在一定条件下以正态分布为其极限的概率分布在一定条件下以正态分布为其极限分布。因此在统计学中，正态分布无论在理论分布。因此在统计学中，正态分布无论在理论研究上还是实际应用中研究上还是实际应用中 ，均占有重要的地位。，均占有重要的地位。 222)(

8、21)(xexfxxdxexF222)(21)( 图34 正态分布密度曲线图34 正态分布密度曲线 21)(f图35 相同而不同的三个正态分布图36 相同而不同的三个正态分布图3-5 相同而不同的三个正态分布 图3-6 相同而不同的三个正态分布 22()2()121xPxedx =0,2=1的正态分布为的正态分布为标准正态分布标准正态分布。 标准正态分布的概率密度函数及分布函标准正态分布的概率密度函数及分布函数分别记作数分别记作(u)和和(u)，由，由 (3-15)及及(3-16) 式得：式得：221()2uue2121()2uuuedu 图34 正态分布密度曲线xu2212221121211

9、221()21122uuuuuuuP uuuedueduedu dxexxxPxxx21222)(2121)(2221221()2121()/2()/1()212xxxxuxP xxxedxedu 221122112uuueduuu （）（）2211,xuxu图39 正态分布的概率图3-9 正态分布的概率 【例例39】 设设 x 服服 从从 = 30.26，2=5.102的正态分布，试求的正态分布，试求 P(21.64x32.98) 30.265.10 xu令则则u服从标准正态分布服从标准正态分布N（0，1） (21.6432.98)21.6430.2630.2632.9830.26()5.1

10、05.105.10PxxP=P(-1.69u0.53)=(0.53)-(-1.69) =0.7019-0.04551=0.6564 故故图图3-10 两尾概率两尾概率0.0250.0250.0250.025图图3-11 一尾概率一尾概率xxxxxxnxx1x2xnxxxnx/1x2xnxxxxxnxxxxnSxnSxSxS1x2xnx) 1(/)() 1()(222nnnxxnnxxnSSx（3-24）xSx2 当总体标准差当总体标准差未知时，未知时， 以样本标准差以样本标准差S代替代替所得到的统计数所得到的统计数 记为记为t。即。即 若若xN(, 2)， 则则 N(, 2/n)。 将随机变量

11、将随机变量 标准化得：标准化得： ，则则uN(0,1)。 xxxxu/ )( xxtSxSx/ )( 的xS 图图3-13 t分布密度曲线分布密度曲线1)()(1)(tdftdttfttPF( )f t 211xu22xunnxu222212.nuuu21222)()(niiiixxu2212()( )niixnx222122()(1)niixxnS222(1)(1)nSn 图图3-14 几个自由度的几个自由度的 概率分布密度曲线概率分布密度曲线 22 2 221S22S2212SS2122SFS2212FSS111dfn221dfn图图3-15 F分布密度曲线分布密度曲线 )(Ff)(FFFdFFfFFPFF)()()(FFdFFfFFFFP)()(1)(FF12120.05(,)0.