难点32极限及其运算doc

1、难点 32极限及其运算极限的概念及其渗透的思想，在数学中占有重要的地位，它是人们研究许多问题的工具.旧教材中原有的数列极限一直是历年高考中重点考查的内容之一.本节内容主要是指导考生深入地理解极限的概念，并在此基础上能正确熟练地进行有关极限的运算问题.难点磁场( )求 lima n2n12nan1 .n案例探究例 1已知 lim(x 2x 1 ax b)=0,确定 a 与 b 的值 .x命题意图：在数列与函数极限的运算法则中，都有应遵循的规则，也有可利用的规律，既有章可循，有法可依.因而本题重点考查考生的这种能力.也就是本知识的系统掌握能力.属级题目 .知识依托： 解决本题的闪光点是对式子进行有

2、理化处理，这是求极限中带无理号的式子常用的一种方法 .错解分析：本题难点是式子的整理过程繁琐，稍不注意就有可能出错.技巧与方法：有理化处理 .解： lim (21axb)( x 2x1)(axb) 2x xlim2xxxx1axb(1a2 ) x 2(12ab) x(1 b2 )lim2xxx1axb要使上式极限存在，则1 a2=0,当 1a2 =0 时，1b2上式(12ab) x(1b2 )lim(12ab)x 2(12ab)lim2x1axb11b1axxx1ax 2xx由已知得(12ab)01a1a20a1(12ab)0解得b11a2例 2设数列a1 ,a2 , ,an, 的前 n 项的

3、和 Sn 和 an 的关系是Sn=1ban1,其中b) n(1b 是与 n 无关的常数，且b 1.(1)求 an 和 an 1 的关系式；(2)写出用 n 和 b 表示 an 的表达式；(3)当 0 b 1 时，求极限 lim Sn.n命题意图：历年高考中多出现的题目是与数列的通项公式，前n 项和系.有时题目是先依条件确定数列的通项公式再求极限，或先求出前n 项和题考查学生的综合能力.属级题目.知识依托：解答本题的闪光点是分析透题目中的条件间的相互关系.错解分析：本题难点是第(2) 中由 (1) 中的关系式猜想通项及n=1 与 n=2Sn 等有紧密的联 Sn 再求极限，本时的式子不统一性.技巧

4、与方法：抓住第一步的递推关系式，去寻找规律.解： (1)an=Sn Sn1 = b(an an 1)11= b(an an 1)+b(n 2)b)n(1b) n 1b) n(1(1解得 an=b an 1(1b(n2)1bb) n 1( 2) a1S11 ba11, a1b1b(1 b) 2anbban 2b1(bb 2b1b(1b) n(1b)n1)2 an 2b) n 11b1b(1( b )2 b an 3(1bb b21b1bb) n 1(1b) n 1( b )2 an 3b b 2b3,1b(1b)n1由此猜想 an(b)n1 a1bb2b3bn 11b(1b) n 1把 a1b代

5、入上式得(1b)2b2bnbbn11 ( b1)anbb) n 1(1b)(1b) n(1n(b1)2n1(3)Sn1ban11bbbn11(1b) n(1 b)(1b) n1(1b)n1(11b(bbn 1 ) (11) n1(b1),b)n1bb0b1时 ,lim bn0, lim (1) n0,lim Sn1.nn1bn锦囊妙计1.学好数列的极限的关键是真正从数列的项的变化趋势理解数列极限.学好函数的极限的关键是真正从函数值或图象上点的变化趋势理解函数极限.2.运算法则中各个极限都应存在.都可推广到任意有限个极限的情况，不能推广到无限个.在商的运算法则中，要注意对式子的恒等变形，有些题目

6、分母不能直接求极限.3.注意在平时学习中积累一些方法和技巧，如：lim( 1) nn0(| a | 1)n0, lim anna0,当 kl 时b0a0 x ka1 xk 1aklim0,当kl时b0 x lb1 x l 1b1n不存在 ,当k l 时歼灭难点训练一、选择题1.( ) an 是 (1+ x)n 展开式中含 x2 的项的系数，则 lim ( 111)等于()na1a2anA.2B.0C.1D. 12.( )若三数 a,1,c 成等差数列且a2,1,c2 又成等比数列，则 lim (ac) n的值是na2c2()A.0B.1C.0或 1D.不存在二、填空题3.( ) lim (xx

7、xx )=_.n4.( )若 lim ( a2n2n 1 nb) =1,则 ab 的值是 _.n三、解答题5.( )在数列 an 中，已知 a1=3,a2=31,且数列 an+1 1an 是公比为1 的等5100102比数列，数列 lg( an+1 1an 是公差为 1的等差数列 .2(1)求数列 an 的通项公式；(2)Sn =a1 +a2+ +an( n 1),求 lim Sn.nf ( x)limf ( x)=1, 试求 limf ( x)6.( )设 f(x)是 x 的三次多项式， 已知 lim2ax3an2 a xn 4a x 4an的值 .(a 为非零常数 ).7.( )已知数列

8、an, bn 都是由正数组成的等比数列，公式分别为p、 q,其中 pq,且 p 1,q 1,设 cn=an+bn,Sn 为数列 cn 的前 n 项和，求 limSn的值 .nSn 18.( )已知数列 an 是公差为 d 的等差数列， d 0 且 a1=0,bn=2 an( nN * ),Sn 是Sn*). bn 的前 n 项和， Tn=(nNbn(1)求 Tn 的通项公式；(2)当 d 0 时，求 lim Tn.n参考答案难点磁场an2n111(2)n 1解:当a或a时,limaann1lim222a2nnn(a)aan1当 2a2时, liman2 n 1lim(2 )212nan 1an

9、;nn2)4a(2当a时, lima n2 n 1lim3 2n 11;22nan 162n 12nn当时 an2n 1( 2)n2n 1a2 , 2na n 12n( 2) n 12n2n12n 11(n为奇数 )2 n2n13 2n62n2n13 2n13为偶数)2n2n12n( n2歼灭难点训练一、 1.解析： anCn2n( n1) ,12(111) ，2annnlim( 111 )lim 2(11 )2na1a2annn答案： A2.解析：ac2ac2ac2a2 c 2,得a 2c22或2c261a答案： C二、 3.解析： lim(xxxx )limxxxxxx11x1lim.2x

10、1111x3x 2答案： 11 ;ax xx x24.解析：原式 = lima2 ( 2n 2n1)n2b 2lim(2a 2b 2 ) n2a2n a2a2n2n1nba2n2n1nb1nn2a2b20a222b1b4 a· b=8 2答案： 82三、 5.解： (1)由 an+11an 是公比为1 的等比数列，且a1=3,a2=31,1025100 an+1 1an=(a2 1a1)(1)n-1 =(313× 1)(1)n-1=1 ( 1 )n 11,101021005 1024 22n1 an+1=11an+102n 1又由数列 lg( an+1 1an) 是公差为

11、1 的等差数列，且首项lg( a2 1a1)22=lg(31 1 × 3 )= 2,10025其通项 lg( an+1 1an)= 2+( n 1)( 1)= (n+1),2 an+1 1an =10 (n+1),即 an+1=1an+10 (n+1)22联立解得 an=5(1)n+1 ( 1)n +12210nna5 n( 1 ) k 1n( 1 )k 1 (2)S =k210k12k1k 11212limS5( 2)( 6 )11n2 1119n12106.解：由于 limf ( x)=1，可知， f(2a)=02ax 2 a x同理 f(4a)=0由可知f( x)必含有 (x2

12、a)与 (x4a)的因式，由于f(x)是 x 的三次多项式，故可设f(x)= A(x 2a)(x 4a)(x C),这里 A、C 均为待定的常数，由 limf ( x)A( x2a)( x4a)( x C)lim A( x 4a)(xC) 1,x1,即 limx2ax 2a2ax2ax2 a得 A( 2a 4a)(2aC) 1,即24a A 2aCA= 1同理，由于 limf(x)=1, 得 A(4a2a)(4a C)=1,即 8a2A 2aCA=1x 4a x4a由得 C=3a,A= 112 (x 2a)(x 4a)(x 3a),2a2 ,因而 f(x)=2alimf ( x)lim1( x

13、2a)( x4a)x 3a x3ax 3 a 2a 2a (1p n )b (1q n )7.解 : Sn111p1qa1(1 p n ) b1 (1 qn )Sn1p1qSn 1a1(1 p n 1) b (1 qn 1 )11p1qa (1q)b (1p)a (1q) p nb (1111q) p n 11a1 (1q)b1 (1p)a1 (1b1 (11a ( a)12a22np)q由数列 an 、 bn 都是由正数组成的等比数列，知p 0,q 0a (1 q)b (1 p)a (1 q) pnb (1 p)q1111当p时Snlimpn1limSn 1b1 (1 p)qnna1 (1 q) b1 (1 p) a1 (1 q) p n 1pnnn 1a1(1 q) b1(1p)a1 (1q)b1 (1q)npnp)(limpa1 (1q)b1 (1p)1p)( q ) n 11na(1 q)b (1p n11p1pp0a1 (1q)0p.q) 10a1 (10p当 p1 时 ,q 1,limpnlim pn 1lim q nlim q n 10nnnnlimSn1Sn 1n8.解： (1)an=(n 1)d,bn