第八章 直流电

1、第八章第八章 直流电直流电电流密度电源的电动势基尔霍夫定律及其应用电容器的充电和放电电源有两种电源有两种, ,直流电源和交流电源直流电源和交流电源. .电流的方向和大小都不随时间变化的称直流电电流的方向和大小都不随时间变化的称直流电; ; 而电流的方向和大小随时间变化的称交流电而电流的方向和大小随时间变化的称交流电. .本章将讨论直流电的基本规律、复杂电路的计本章将讨论直流电的基本规律、复杂电路的计算方法和电容器的充放电过程算方法和电容器的充放电过程v 电流电流 载流子在电场作用下的定向移动形成电载流子在电场作用下的定向移动形成电流流(electric current)(electric cu

2、rrent)v 物体中产生电流的条件物体中产生电流的条件: :(1) (1) 物体内含有可以自由移动的载流子物体内含有可以自由移动的载流子(2) (2) 物体内部存在电场，也就是两端要保持一物体内部存在电场，也就是两端要保持一定的电势差。定的电势差。一一. . 电流电流第一节第一节 电流密度电流密度v 电流（强度电流（强度) )(current intensity)(current intensity): :描述电路中描述电路中电荷流动强弱的物理量电荷流动强弱的物理量 , ,用用 I I 表示表示方向方向: : 正电荷定向移动的方向正电荷定向移动的方向大小大小: : 以单位时间内通过导体截面的

3、电量来量以单位时间内通过导体截面的电量来量度度tqtqItddlim0单位单位: :库仑库仑/ /秒秒, , 安培安培(A).(A).其他常用单位其他常用单位: :毫安毫安( (mA),mA),微安微安( ( A)A)稳恒电流：电流强度的大小和方向不随时间而变化。稳恒电流：电流强度的大小和方向不随时间而变化。AmAA6310101电流电流 I 对电荷流动的描述比较粗糙对电荷流动的描述比较粗糙: 如对横截面如对横截面不等的导体不等的导体, I 不能反映不同截面处及同一截面不能反映不同截面处及同一截面不同位置处电流流动的情况不同位置处电流流动的情况.半球形接地电极半球形接地电极附近的电流分布附近的

4、电流分布电疗时电流通电疗时电流通过下肢的情况过下肢的情况电解质内两个点电电解质内两个点电极之间的电流分布极之间的电流分布为此为此,需要引入新的物理量需要引入新的物理量电流密度电流密度来描述来描述导体中各点电流的分布导体中各点电流的分布I二. 电流密度v 定义定义:某一点的电流密度某一点的电流密度J (current density)是是一个矢量一个矢量,其方向为该点电流的方向其方向为该点电流的方向,其大小其大小J为为通过该点单位垂直截面的电流大小通过该点单位垂直截面的电流大小,即即v 电流密度的单位电流密度的单位:安培安培/米米2(A m2)v I 与与J 的关系的关系cosSSdd其中其中通

5、过通过dS 的电流为的电流为:SIJddJ Sd dSdSJIdd.通过任意截面通过任意截面S 的电流为的电流为:SSJIIdd.三三. .连续性方程连续性方程 电流的稳恒条件电流的稳恒条件v 电流场电流场: 导体中每一点都有一定的导体中每一点都有一定的J,即即J在整在整个空间形成了一个分布个空间形成了一个分布,这个分布称之为电流场这个分布称之为电流场.v电流线电流线: :在电流场中画在电流场中画出一簇有向曲线出一簇有向曲线, ,如果这如果这簇曲线上任一点的切线簇曲线上任一点的切线方向都代表这一点的正方向都代表这一点的正电荷漂移运动方向电荷漂移运动方向( (即即J J 的方向的方向),),其大

6、小为通过其大小为通过该点单位垂直截面的电该点单位垂直截面的电流的大小流的大小在电流场中任取一个闭合曲面在电流场中任取一个闭合曲面S,设设S面内的电量面内的电量为为q, 并规定并规定S面的外法线为正面的外法线为正.SJq通过小面元通过小面元dS的电流为的电流为则流出则流出S面的总电流面的总电流(单位时间单位时间从从S面内流出的电量面内流出的电量)为为d = d cos =dI J SJSSISJdSd根据电荷守恒定律根据电荷守恒定律,在单位时间内通过闭合曲面在单位时间内通过闭合曲面向外流出的电荷向外流出的电荷(I),等于此闭合曲面内单位时间等于此闭合曲面内单位时间所减少的电荷所减少的电荷即即v

7、此式叫作此式叫作电流场中的连续性方程电流场中的连续性方程,它是电荷守它是电荷守恒定律的一种表述恒定律的一种表述.v 一般来说一般来说,电流密度电流密度J既是空间坐标的函数既是空间坐标的函数,又又是时间的函数是时间的函数.如果空间各点的如果空间各点的J 均不随时间变均不随时间变化化,这种电流叫做稳恒电流这种电流叫做稳恒电流(steady current)tqSdddSJ电流稳恒时电流稳恒时,要求空间电场必须是稳恒的要求空间电场必须是稳恒的,这就要这就要求电荷的空间分布也必须是稳恒的求电荷的空间分布也必须是稳恒的,所以所以,对空间对空间的任意闭合面的任意闭合面S,其中的电荷既不能积累其中的电荷既不

8、能积累,也不能也不能减少减少,应有应有d0dqt即即v物理意义物理意义:在稳恒电流的情况下在稳恒电流的情况下,流入任意闭合流入任意闭合面的电流必然等于从该闭合面流出的电流面的电流必然等于从该闭合面流出的电流.0dSSJ电流的稳恒条件电流的稳恒条件四. 欧姆定律的微分形式对粗细均匀的柱状导体，当导对粗细均匀的柱状导体，当导体的材料和温度一定时，导体体的材料和温度一定时，导体的电阻为：的电阻为：slR欧姆(Georg Simon Ohm,17871854)德国物理学家,欧姆定律的发现者,为了纪念他的杰出贡献,电阻单位命名为欧姆.其中其中 为电阻率，它与导体的为电阻率，它与导体的性质有关，单位：欧姆

9、性质有关，单位：欧姆.米。米。电阻率的倒数称为电导率，即：电阻率的倒数称为电导率，即：单位：西门子每米（单位：西门子每米（S.m-1)，它是，它是表征导体导电性质的物理量表征导体导电性质的物理量1可以证明，欧姆定律的微分形式为：可以证明，欧姆定律的微分形式为：JEv 因为电流密度与导体的性质有关，而与导体因为电流密度与导体的性质有关，而与导体的形状和大小无关，故欧姆定律的微分形式揭的形状和大小无关，故欧姆定律的微分形式揭示了大导体中的电场和电流分布间的函数关系，示了大导体中的电场和电流分布间的函数关系，它不仅适用于不规则形状的载流导体它不仅适用于不规则形状的载流导体, ,而且也适而且也适用于一

10、切非稳恒情况用于一切非稳恒情况, , 它比一段导体的欧姆定它比一段导体的欧姆定律律IU/R具有更深刻的意义和更广泛的应用具有更深刻的意义和更广泛的应用. .v 它表明它表明, ,导体中任意一点的电流密度与该处的导体中任意一点的电流密度与该处的场强成正比场强成正比, ,方向与该点电场强度方向一致方向与该点电场强度方向一致. . 一. 电源及其电动势在直流电路中产生稳恒电流的在直流电路中产生稳恒电流的条件是在导体两端维持不变的条件是在导体两端维持不变的电势差，产生和维持电势差的电势差，产生和维持电势差的装置是电源。装置是电源。v 电源电源: :提供非静电力的装置提供非静电力的装置v 电源外部靠静电

11、力作用使电荷运动电源外部靠静电力作用使电荷运动. .v 电源内部靠非静电力克服静电力作用使电荷运动电源内部靠非静电力克服静电力作用使电荷运动. .+ + + +- - - -电源电源+qE EkE五 电源的电动势仅有静电场力不能维持稳恒电流仅有静电场力不能维持稳恒电流, ,要维持稳恒电流要维持稳恒电流, , 除静电力之外除静电力之外还必须存在非静电场力还必须存在非静电场力v 电动势电动势: :描述非静电力的物理量描述非静电力的物理量. .v 非静电场非静电场: :单位正电荷受的非静电力单位正电荷受的非静电力qkkF FE Ev 正电荷在闭合回路中运动一周时正电荷在闭合回路中运动一周时, ,静电

12、力与非静电力与非静电力作的功为静电力作的功为l dql dql dql dqWkkkE EE EE EE EE E)(v 电动势的定义电动势的定义: :v 物理意义物理意义: :单位正电荷绕闭合回路一周时单位正电荷绕闭合回路一周时, ,非非静电力所作的功为电源的电动势静电力所作的功为电源的电动势. .v 电动势是标量电动势是标量, ,但有方向但有方向. .规定从负极板指向正极板为规定从负极板指向正极板为电动势的正方向电动势的正方向. .单位单位: :伏特伏特(V)(V)符号符号: :l dqWkE E六六. 一段含源电路的欧姆定律一段含源电路的欧姆定律不仅含有电阻不仅含有电阻,而且含有电源的电

13、路称为而且含有电源的电路称为含源电路含源电路v 当电路中电流方向与当电路中电流方向与电动势的指向相同时电动势的指向相同时,称为电源放电称为电源放电, AB两点两点间的电势差为间的电势差为()ABUUI Rr, rBIRCA求解含源电路中某两点间的求解含源电路中某两点间的电压电压的方法：的方法：从该点出发，写出各元器件的电势降，电势降低从该点出发，写出各元器件的电势降，电势降低取正，升高取负，直到另一点取正，升高取负，直到另一点,各电势降的代数和各电势降的代数和即为此两点间的电压。即为此两点间的电压。v当电路中电流方向与电动势的指向相反时当电路中电流方向与电动势的指向相反时, ,称称为电源被充电

14、为电源被充电, , ABAB两点间的电势差为两点间的电势差为, rBIRCA()ABUUI RrBACDr44,r33,r22,r11,R3R2R1I3I2I1v 当某支路含有多个电当某支路含有多个电阻和电源时阻和电源时, ,任意两点的任意两点的电势差为两点间各元件电势差为两点间各元件上的电势差之和上的电势差之和UAUC1+I1R1+I1r1UC UB 2 I2R2 I2r2+ 3 I2r3UA UB 1+I1R1+I1r1 2 I2R2 I2r2+3 I2r3含源电路的欧姆定律可表示为：含源电路的欧姆定律可表示为：)()(IRUUBA三三.全电路的欧姆定律全电路的欧姆定律0BAUU)()(I

15、RUUBA对闭合电路，绕闭合回路一周电势差为零，故由对闭合电路，绕闭合回路一周电势差为零，故由含源电路的欧姆定律：含源电路的欧姆定律：)()()()(RIIR-全电路的欧姆定律全电路的欧姆定律对于无分岔的串联电路对于无分岔的串联电路例题例题： 在图所示的电路中在图所示的电路中, , 已知电池已知电池A A电动势电动势 A=24V, , 内电阻内电阻RiA=2 , 电池电池B B电动势电动势 B=12V, , 内电阻内电阻RiB=1 , 外电阻外电阻R=3 . .试计算试计算(1)(1)电路中的电流电路中的电流; ; (2)(2)电池电池A的端电压的端电压U12; ; (3)(3)电池电池B的端

16、电压的端电压U34; ; (4)(4)电池电池A A消耗的化学能功率及所输出的有效功率消耗的化学能功率及所输出的有效功率; ;(5)(5)输入电池输入电池B B的功率及转变为化学能的功率的功率及转变为化学能的功率; ;(6)(6)电阻电阻R R所产生的热功率所产生的热功率. .IRB3421AIIAA21231224iBiABARRRI(2) (2) 设所选定的路径自设所选定的路径自1 1经过电池经过电池A A而到而到2, 2, 应用应用一段含源电路的欧姆定律得一段含源电路的欧姆定律得电流的指向如图中箭头所示的方向电流的指向如图中箭头所示的方向. .解解:(1) :(1) 应用闭合电路的欧姆定

17、律得应用闭合电路的欧姆定律得V2022242112iAAIRUUUIRB3421AII计算结果表示计算结果表示1 1处的电势处的电势U U1 1高于高于2 2处的电势处的电势U U2 2 . . VV20)12(132)(2112BBrRIUUU所得结果与前相同所得结果与前相同. .现在再从现在再从13421342这一积分路这一积分路径来计算径来计算1 1、2 2之间的电势之间的电势差差. .得得IRB3421AIIV1412124334iBBIRUUU(3)(3)设所选定的积分顺序设所选定的积分顺序方向自方向自3 3经过电池经过电池B B 而到而到4,4,仍应用一段含源电路的仍应用一段含源电

18、路的欧姆定律得欧姆定律得(4)(4)由电动势的定义可知由电动势的定义可知, ,当电源中通有电流当电源中通有电流 I I 时时, ,电源作功的功率为电源作功的功率为ItqtWPIRB3421AII电池电池A所消耗的化学能功率所消耗的化学能功率P1=I A=2 24W=48W,电池电池A输出功率输出功率P2=IU12=2 20W=40W ,消耗于内阻的功率消耗于内阻的功率P3=I 2RiA=4 2W=8W. P3等于等于P1减去减去P2IRB3421AII(6)电阻电阻R上的热功率上的热功率 P7=I 2R=4 3W=12W(5)输入电池输入电池B的功率的功率P4=IU34=14 2W=28W,其

19、中其中变化为化学能的功率变化为化学能的功率P5=I B=12 2W=24W,消耗消耗于内阻的功率于内阻的功率P5= P4 - P5 =I 2RiB=4W.v 最后应当指出最后应当指出:按能量守按能量守恒定律恒定律,电池电池A所消耗的化学所消耗的化学能功率能功率,应等于电池应等于电池B中转变中转变为化学能的功率以及消耗在为化学能的功率以及消耗在外电阻和两电池内电阻上的外电阻和两电池内电阻上的热功率热功率.IRB3421AII基尔霍夫基尔霍夫(G.R.Gustav (G.R.Gustav Robert Kirchhoff 1824Robert Kirchhoff 18241887)1887)德国物

20、理学家、德国物理学家、化学家和天文学家化学家和天文学家, ,提出提出基尔霍夫定律、发明分基尔霍夫定律、发明分光仪光仪, ,与本生创立了光谱与本生创立了光谱分析法分析法, , 发现了元素铯发现了元素铯(1860)(1860)和铷和铷(1861).(1861).第二节第二节 基尔霍夫定律基尔霍夫定律v 复杂电路复杂电路:不能化解为等效的电阻串、并联电不能化解为等效的电阻串、并联电路的组合路的组合,含有较复杂的分支和节点的电路含有较复杂的分支和节点的电路.v 简单电路简单电路:各个电阻均以串联或并联方式相互各个电阻均以串联或并联方式相互连接的电路连接的电路.v 复杂电路的基本方程复杂电路的基本方程:

21、 基尔霍夫定律基尔霍夫定律支路：支路：电路中的每一个分支。电路中的每一个分支。 一条支路流过一个电流，称为支路电流。一条支路流过一个电流，称为支路电流。三条或三条以上支路的联接点。三条或三条以上支路的联接点。由支路组成的闭合路径。由支路组成的闭合路径。内部不含支路的回路。内部不含支路的回路。I1I2I3ba E2R2 R3R1E11 12 23 3基尔霍夫定律是分析计算电路的基本定律，又分为：基尔霍夫定律是分析计算电路的基本定律，又分为：基尔霍夫电压定律基尔霍夫电压定律基尔霍夫电流定律基尔霍夫电流定律第 1 章 直 流 电 路返回下一页上一页下一节上一节 在任一瞬间，流向任一结点的电流等于流出

22、该结在任一瞬间，流向任一结点的电流等于流出该结点的电流。点的电流。 实质实质: 或或: = 0I1I2I3ba E2R2 R3R1E1对结点对结点 a：I1+I2 = I3或或 I1+I2I3= 0即：即： U = 0对回路对回路1：对回路对回路2：I1 R1 +I3 R3 E1 = 0 I2 R2+I3 R3 E2 = 0 I1I2I3ba E2R2 R3R1E11 12 2基尔霍夫第二定律也可表示为沿任一闭合回路中电动势的代数和等于回路中电沿任一闭合回路中电动势的代数和等于回路中电阻上电势降落的代数和阻上电势降落的代数和. (. (也称为回路电压方程也称为回路电压方程) )IRv 在应用回

23、路电压方程时在应用回路电压方程时, ,首先要选定回路的绕首先要选定回路的绕行方向行方向, ,若电阻若电阻R R( (或或r)r)中电流中电流I I 的方向与绕行相的方向与绕行相同时同时, ,该电阻上的电势降落取正值该电阻上的电势降落取正值; ;相反时相反时, ,电势电势降落取负值降落取负值. .若电动势方向与绕行方向相同时若电动势方向与绕行方向相同时, ,该电源电动势取正值该电源电动势取正值; ;相反时相反时, ,电源电动势取负电源电动势取负值值. .v 应用基尔霍夫定律时的注意事项应用基尔霍夫定律时的注意事项: :(1)(1)如果电路中有如果电路中有n个节点个节点, ,那么只有那么只有( (

24、n1) )个相个相互独立的节点电流方程互独立的节点电流方程. .(2)(2)新选定的回路中新选定的回路中, ,至少应有一段电路是已选至少应有一段电路是已选回路中未曾出现过的回路中未曾出现过的. .(3)(3)独立方程的个数应等于未知数的个数独立方程的个数应等于未知数的个数. .(4)(4)每一电路上电流的流向可以任意假定每一电路上电流的流向可以任意假定, , 解出解出的结果若为负的结果若为负, ,则说明电流的方向与假定的相反则说明电流的方向与假定的相反. .例题例题: :如图表示把两个无内阻的直流电源并联起如图表示把两个无内阻的直流电源并联起来给一个负载供电来给一个负载供电, ,设已知设已知

25、1 1=220V=220V, , 2 2=220V=220V, , R R1 1= =R R2 2=10=10 , , R R=145=145 , , 试求每一电源所供给的电试求每一电源所供给的电流流I I1 1、I I2 2及通过负载的电流及通过负载的电流I I. . 1R1BAR2RI1I2I123 2120III解解: :利用基尔霍夫定律来利用基尔霍夫定律来解这个问题时解这个问题时, ,可先根据可先根据基尔霍夫第一定律基尔霍夫第一定律( (节点节点定律定律) )列出电流方程列出电流方程, ,对对节点节点A:A:v 由于这电路只有两个节点由于这电路只有两个节点, , 所以从节点定律所以从节

26、点定律只能得出一个独立的方程只能得出一个独立的方程, , 由此对节点由此对节点B B没有必没有必要再列方程式了要再列方程式了. . 为了求出各未知电流为了求出各未知电流, , 还需还需要两个方程要两个方程, , 这两个方程必须利用基尔霍夫第这两个方程必须利用基尔霍夫第二定律二定律 ( (回路定律回路定律) )列出列出. .R1BAR2RI1I2I123 2221121RIRIIRRI222对这三个联立方程求解对这三个联立方程求解对回路对回路B2A3B:RRRRRRRRRI21212121)(RRRRRRRRRI21212112)(RRRRRRRRI21212112对回路对回路B1A2B:R1B

27、AR2RI1I2I123 2 1将将 1, 2, R1, R2, R代入得代入得:1.7A30005100A14510145101010200145220145)(101I1.4A30004200A145101451010102001022010I0.3A3000900-A14510145101010220145200145)(102Iv I2的结果为负值的结果为负值,表明电流方向与图中所假设表明电流方向与图中所假设的方向相反的方向相反.例例:一电路如图示一电路如图示11r1R2R3R4R22r33r5Rabcd1918112332211rVrVrV24321RRRR 35R(1)求求a、 b

28、两点间的电势差；两点间的电势差；（2）求）求c、d两点间的电势差；两点间的电势差；（3）如果）如果c、d两点短路，则两点短路，则a、 b两点间的电势差。两点间的电势差。解解（1）应用闭合回路欧姆定律得回路中电流）应用闭合回路欧姆定律得回路中电流A4 . 021432121rrRRRRI考虑考虑这段含源电路这段含源电路 ，应用一段含源电路的欧姆定律，应用一段含源电路的欧姆定律V102224IRIrIRUUba（回路方向a b)(2)acUU 3bdUUV1)(3badcUUUUa-R2-R4-b(3) c、d两点短路，则电路如下图两点短路，则电路如下图(为复杂电路）为复杂电路）由基尔霍夫第一定律由基尔霍夫第一定律0231III1R2R11r3R4R5R22r33r1I2I3Iab12由基尔霍夫第二定律由基尔霍夫第二定律 对回路对回路10)()(313521131rRIrRRI(1)(2)对回路对回路20)()(232243352rRRIrRI(3)由由(1)、(2)、（、（3）得）得A13/22I再对再对 支路