数值计算课后答案

1、习 题 三 解 答1、用高斯消元法解下列方程组。（1）解：，消去第二、三个方程的，得：再由消去此方程组的第三个方程的，得到三角方程组：回代，得：，所以方程组的解为注意：算法要求，不能化简。化简则不是严格意义上的消元法，在算法设计上就多出了步骤。实际上，由于数值计算时用小数进行的，化简既是不必要的也是不能实现的。无论是顺序消元法还是选主元素消元法都是这样。消元法要求采用一般形式,或者说是分量形式，不能用矩阵，以展示消元过程。要通过练习熟悉消元的过程而不是矩阵变换的技术。矩阵形式错一点就是全错，也不利于检查。一般形式或分量形式：矩阵形式向量形式必须是方程组到方程组的变形。三元方程组的消元过程要有三

2、个方程组，不能变形出单一的方程。消元顺序，不能颠倒。按为支援在方程组中的排列顺序消元也是存储算法的要求。实际上，不按顺序消元是不规范的选主元素。不能化简方程，否则系数矩阵会变化，也不利于算法设计。（2）解：，消去第二、三个方程的，得：再由消去此方程组的第三个方程的，得到三角方程组：回代，得：， 所以方程组的解为2、将矩阵作LU分解。解：设根据矩阵乘法，先求U的第一行，由，得。再求L的第一列，由矩阵乘法，因为，所以，而，所以，所以。再求U的第二行，得，则，则，则，再求L的第二列，得，则，则再求U的第三行，得，则，则再求L的第三列，得，则再求U的第四行，得，则所以，矩阵A的LU分解为：指出：用分数

3、而表示元素，不能化成近似小数也不化成小数表示。3、用LU分解紧凑格式分解法解方程组。解一，用一般格式求解：将系数矩阵作LU分解得：Ly=b方程组为解之得同样地，解方程组Ux=y得。解二，用LU紧凑格式分解法求解：对增广矩阵三角分解：原方程组化成同解的上三角方程组为：回代得。指出：紧凑格式是直接应用公式进行计算，计算结果保存在A的相应元素位置。从算法的角度，紧凑格式实际体现在数据的存储方法上。由于紧凑格式计算时不再需要A的前面的元素，因此可以进行。4、 用列主元的三角分解法解线性方程组。解一，列选主元素消元法：先选第一列主元为，将第一个方程与第二个方程交换，消去得：再选第二列主元为，交换第二、三

4、两个方程，消去得三角形方程组：回代求得方程组的解，所以方程组的解为。解二，列主元素三角分解法： 同解的三角形方程组为回代求得方程组的解，所以方程组的解为。说明：用矩阵讨论中，矩阵元素进行了化简。5用追赶法解方程组。分析：三对角矩阵可以分解如下形式的两个矩阵：。即由矩阵乘法规则，有，这样可以求出矩阵L和U的所有元素。设有系数矩阵为A的方程组：，这样的方程组称为三对角方程组。三对角方程组经LU分解分解为，求解之，这就是所谓追赶法。解：由公式由此得下三角方程组和上三角方程组解上三角方程组代入并解上三角方程组6、用改进的Cholesky分解法解方程组解：设此方程组的系数矩阵为A，右端向量为b，则矩阵A

5、是对称正定矩阵，可以进行乔累斯基分解。设由矩阵乘法得由得，再由得。7、用改进的Cholesky分解法解方程组解： 解下三角方程组得解上三角方程组得指出：6、7两题应用一般的乔累斯基分解而没有采用书上的方法。用MATLAB求解为：>> format rat>> a=4,1,-1,0;1,3,-1,0;-1,-1,5,2;0,0,2,4a = 4 1 -1 0 1 3 -1 0 -1 -1 5 2 0 0 2 4 >> P,q=chol(a)P = 2 1/2 -1/2 0 0 1985/1197 -379/838 0 0 0 1179/553 1106/117

6、9 0 0 0 5617/3180 q = 0 8、设，求解：9、设，求。解：；则解之得，则。指出：三次方程可用三次方程的求根公式求出根来。用我们学过的知识，三次方程的根有如下求法：用二分法求。10、设，计算，并比较与的大小。解：，。11、给定方程组。（1）写出雅可比迭代法和高斯赛德尔迭代法的迭代格式；（2）证明雅可比迭代法收敛而高斯赛德尔迭代法发散。（3）给定，用迭代法求出该方程组的解，精确到。解：（1）此方程组变形为据此建立雅可比法迭代格式得高斯赛德尔迭代法迭代格式为（2）证明一：用定理2证明：系数矩阵雅可比迭代法的迭代矩阵为，则令，则，所以(BJ)=0<1所以雅可比迭代法收敛。高斯

7、赛德尔迭代法的迭代矩阵为由此求出所以，高斯赛德尔迭代法发散。证明二：用定理5证明： ，令，则，所以(BJ)=0<1所以雅可比迭代法收敛。而所以(BG-S)=2>1。所以高斯赛德尔迭代法发散。（3）取迭代初值，用雅可比迭代法迭代得kx(k)1x(k)2x(k)3000011201023221431246584124658因为所以方程组的解为。用高斯赛德尔迭代法迭代得kx(k)1x(k)2x(k)300001121238240294319610258649563701336因为高斯赛德尔迭代法发散，不能求出满足要求的解。12、给定方程组。（1）写出Jacobi和Gauss-Seidel

8、迭代格式。解：（1）方程组变形为所以，Jacobi迭代格式为Gauss-Seidel迭代格式为证明：用定理5证明： ，令，则，所以，所以雅可比迭代法发散。或：记因为所以方程在区间（2，1）有一个根，则(BJ)>1所以雅可比迭代法发散。而所以(BG-S)=<1,所以高斯赛德尔迭代法收敛。（3）取迭代初值，用高斯赛德尔迭代法迭代得kx(k)1x(k)2x(k)300001030.52-1.754.25-0.753-1.755.5-1.3754-2.0636.438-1.6885-2.3757.063-1.8446-2.6107.454-1.9227-2.7667.688-1.9618-

9、2.8647.825-1.9819-2.9587.939-1.99110-2.9747.965-2.00011-2.9837.983-2.00012-2.9927.992-2.00013-2.9967.996-2.00014-2.9987.998-2.00015-2.9997.999-2.00016-3.0008.000-2.00017-3.0008.000-2.000因为所以方程组的解为。13、已知，考察Jacobi迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式的收敛性。解：因为系数矩阵是对称正定矩阵，而且严格对角占优，因此两种迭代法都是收敛的。14、方程组Ax=b，其中利用迭代收敛的充分必要条

10、件确定雅可比迭代法和高斯赛德尔迭代法均收敛的a的取值范围。解：对雅可比迭代法来说，因为，所以BJ的特征值为。所以，迭代矩阵B的谱半径为，当时，雅可比迭代法收敛。对高斯赛德尔迭代法，因为所以高斯赛德尔迭代矩阵特征值为其谱半径为，当时，高斯赛德尔迭代法收敛。所以，雅可比迭代法和高斯赛德尔迭代法都收敛的a的范围是。15、设方程组，分别用Gauss-Seidel迭代法和1.25的SOR法求解此方程组，准确到4位有效数字（取）。解：本方程组的Gauss-Seidel迭代格式为取迭代得用SOR方法解方程组迭代格式为取1.25，迭代得。17、设，计算A的条件数。解：因为所以则所以。由得所以；得所以；所以。1

11、8、设A是n阶非奇异方阵，B是n阶奇异方阵，试证明。分析：要证明，因为，即证：，因为范数总是不小于0的，也即证：，也即证：，由相容性，只需要证明。而要证明，根据定义，只需要证明对于某个特殊的，因为B是奇异矩阵，所以满足：，利用这个条件，可以完成证明。证明：因为B是奇异矩阵，所以满足：，所以故。又因为所以，因为范数总是不小于0的，所以所以，而所以。19、举例说明一个非奇异矩阵不一定存在LU分解。解：考虑矩阵，显然A非奇异。若A有LU分解，则有于是，而，矛盾。故并非所有的非奇异矩阵都能LU分解。指出：举例，从简单的例子开始。所以可逆。补充题（一）1、设有矩阵，作矩阵的LU分解。解：由矩阵的LU分解

12、公式可得所以指出：a1j=u1j(j=1,2,3,n)，可以直接套用。2、考虑三对角矩阵。给出三对角矩阵A的LU分解算法，并给出求解以A为系数矩阵的线性方程组的算法。解：对于三对角矩阵A，也可以用LU分解方法，把它分解为下三角矩阵L与上三角矩阵U的乘积。即A=LU。但因为三对角矩阵的特殊性，我们容易验证，分解出的两个矩阵具有这样的形式：。即由矩阵乘法规则，我们有，这样可以求出矩阵L和U的所有元素。设有系数矩阵为A的方程组：，这样的方程组称为三对角方程组。三对角方程组经LU分解分解为，求解之，用这组公式解三对角线性方程组称为追赶法，其中“追”和“赶”是指下标由小到大和由大到小的形象比喻。用追赶法

13、解线性方程组的计算量最大约为5n次，比高斯消元法的次少得多。3. 用高斯消元法求解线性方程组：。解：，消去第二、三个方程的，得：再由消去此方程组的第三个方程的，得到三角方程组：回代，得：，4. 用高斯列选主元素消元法解线性方程组解：先选第一列主元为，将第一行与第二行交换，消去得：再选第二列主元为，交换第二行与第三行，消去得三角形方程组：回代求得方程组的解，5. 用高斯全选主元素消元法解线性方程组解：选全主元为，交换第一个方程与第二个方程，消去，得：再在此方程组的后两个方程中选主元，交换第二与第三个方程，消去得三角形方程组：回代得方程组的解，即原方程组的解为：6用LU分解法解线性方程组。解：设由

14、矩阵乘法（或LU公式），分解得解下三角方程组，得。再解上三角方程组得。指出：LU分解的手算求解实际上不需要记忆公式。题1：解：对矩阵，设先计算U的第一行，由矩阵乘法，有再计算L的第一列，由矩阵乘法，有然后计算U的第2行所以补充题（二）1、考虑矩阵，试求A的乔累斯基分解。解：矩阵A是对称正定矩阵，可以进行乔累斯基分解。设由矩阵乘法，得所以补充题（三）1、计算向量的各种范数。解：，。2、给定矩阵，求。解：因为，所以；因为，所以；因为，所以的特征多项式为：，解得。所以。补充题（四）1、用雅可比迭代法求解线性方程组（取初值为，计算结果取1位小数，迭代4次）。解：从三个方程中分离出未知变量，将方程组改写

15、成便于迭代的形式得，据此建立迭代格式得，取迭代初值进行迭代得kx(k)1x(k)2x(k)300001135253331114111所以方程组的解为。指出：本题得出的实际上是方程组的精确解。2、用高斯赛德尔迭代法求解线性方程组（取初值为，计算结果取4位小数，迭代4次）。解：从三个方程中分离出未知变量，将方程组改写成便于迭代的形式得，据此建立迭代格式得，取迭代初值进行迭代得kx(k)1x(k)2x(k)3000010777 80972 20975 320994 20999 30999 430999 90999 90999 941000 01000 01000 0所以方程组的解为。补充题（五）1、

16、矩阵证明：求解以A1为系数矩阵的线性方程组的雅可比迭代是收敛的，而高斯塞德尔迭代是发散的；求解以A2为系数矩阵的线性方程组的雅可比迭代是发散的，而高斯塞德尔迭代是收敛的。2、用迭代法求解线性方程组，其中，求使得迭代收敛的最大允许区间和使得迭代收敛最快的。3、矩阵。(a)参数a取什么值时，矩阵是正定的。(b)a取什么值时，求解以A为系数矩阵的线性方程组的雅可比迭代是收敛的。分析与解答1、提示：用定理2及其推论解答。解：矩阵的雅可比迭代法的迭代矩阵为，则解之得，所以所以，雅可比迭代法收敛。矩阵的高斯赛德尔迭代法的迭代矩阵按如下方法求出：则得，所以，所以，矩阵的高斯赛德尔迭代法发散。矩阵的雅可比迭代

17、法的迭代矩阵为则所以所以，所以雅可比迭代法发散。矩阵的高斯赛德尔迭代法的迭代矩阵按如下方法求出：则得，所以，所以，矩阵的高斯赛德尔迭代法发收敛。2、解：迭代格式即为所以迭代矩阵为，其特征方程为，即也即解之得则因为所以，当时迭代法收敛。当时，达到最小，此时收敛最快。指出：用画图的方法讨论函数关系是重要的技术，在运筹学中也常常用到这样的技术。3、提示：1特征值都大于零的实对称矩阵称为正定矩阵。2一个实对称矩阵是正定矩阵的充分必要条件是，它的所有主子式都大于零。3(b)可以用下面的判别条件进行判断。判别条件1：如果线性方程组Ax=b的系数矩阵A为对称正定矩阵，则高斯赛德尔迭代法收敛。判别条件2：如果

18、线性方程组Ax=b的系数矩阵A是对称正定矩阵，2D-A也是对称正定矩阵，则雅可比迭代法收敛；如果A是对称正定矩阵而2D-A不是对称正定矩阵，则雅可比迭代法不收敛（显然2D-A与A只是非对角线上的元素的符号不同）。直接用定理2判断(b)得到的是充分必要条件，而用上面的判别条件或定理4得到的是充分条件，不一定是必要的。如用定理4判断(b)，只要系数矩阵严格对角占优即可，此时即有，即解：(a)解一：用特征值全部为正判定求解。令，有。由正定矩阵的定义，当，时，即时，矩阵是正定的，所以时矩阵是正定的。解二：用所有顺序主子式都大于0来求解。(b)雅可比迭代法的迭代矩阵为则，所以B的特征值为。所以，B的谱半径为，当时，