数列解题技巧

1、第四讲 数列与探索性新题型的解题技巧【命题趋向】从2007年高考题可见数列题命题有如下趋势：1.等差（比）数列的基本知识是必考内容，这类问题既有选择题、填空题，也有解答题；难度易、中、难三类皆有.2.数列中an与Sn之间的互化关系也是高考的一个热点.3.函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到，解答试题时要注意灵活应用.4.解答题的难度有逐年增大的趋势,还有一些新颖题型,如与导数和极限相结合等.因此复习中应注意：1.数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n项和公式等.2.运用方程的思想解等差（比）数列，是常见题型，解决此类问题需要抓住基

2、本量a1、d（或q），掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算.3.分类讨论的思想在本章尤为突出.学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意q=1和q1两种情况等等.4.等价转化是数学复习中常常运用的，数列也不例外.如an与Sn的转化；将一些数列转化成等差（比）数列来解决等.复习时，要及时总结归纳.5.深刻理解等差（比）数列的定义，能正确使用定义和等差（比）数列的性质是学好本章的关键.6.解题要善于总结基本数学方法.如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法，养成良好的学习习惯，定能达到事半功倍的效果.7数列应用题将是命题的热点，这类题

3、关键在于建模及数列的一些相关知识的应用.【考点透视】1理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项.2理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解答简单的问题.3理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题.4数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位.高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏.解答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题大多有较好的区分度.有关数列的试题经常是综

4、合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法.应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化为数学问题来解决.【例题解析】考点1 正确理解和运用数列的概念与通项公式理解数列的概念,正确应用数列的定义，能够根据数列的前几项写出数列的通项公式.典型例题例1（2006年广东卷）在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，

5、某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2，3，4，堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f (n)表示第n堆的乒乓球总数，则；（答案用n表示）. 思路启迪：从图中观察各堆最低层的兵乓球数分别是12,3,4, 推测出第n层的球数。解答过程：显然.第n堆最低层（第一层）的乒乓球数，第n堆的乒乓球数总数相当于n堆乒乓球的低层数之和，即所以：例2（2007年湖南卷理）将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0-1三角数表从上往下数，第1次全行的数都为1的是

6、第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，第次全行的数都为1的是第 行；第61行中1的个数是 第1行 1 1第2行 1 0 1第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 思路启迪：计算图形中相应1的数量的特征，然后寻找它们之间的规律。解：第1次全行的数都为1的是第=1行，第2次全行的数都为1的是第=3行，第3次全行的数都为1的是第=7行，第次全行的数都为1的是第行；第61行中1的个数是=32应填，32考点2 数列的递推关系式的理解与应用 在解答给出的递推关系式的数列问题时，要对其关系式进行适当的变形 ，转化为常见的类型进行解题。如“逐差法”若且；我们可把各

7、个差列出来进行求和，可得到数列的通项. 再看“逐商法”即且，可把各个商列出来求积。另外可以变形转化为等差数列与等比数列，利用等差数列与等比数列的性质解决问题。例3（2007年北京卷理）数列中，（是常数，），且成公比不为的等比数列（I）求的值；（II）求的通项公式思路启迪：（1）由成公比不为的等比数列列方程求；（2）可根据递推公式写出数列的前几项，然后分析每一项与该项的序号之间的关系，归纳概括出an与n之间的一般规律，从而作出猜想，写出满足前4项的该数列的一个通项公式.解：（I），因为成等比数列，所以，解得或当时，不符合题意舍去，故（II）当时，由于， ， ，所以又，故当时，上式也成立，所以小结

8、：从特殊的事例，通过分析、归纳、抽象总结出一般规律，再进行科学地证明，这是创新意识的具体体现，这种探索问题的方法，在解数列的有关问题中经常用到，应引起足够的重视.例4（2006年广东卷）已知数列满足，若， 则 ( B )（） （） （） （） 思路启迪：对递推关系变形，运用叠加法求得，特别注意的是对两边同时运用.解答过程：， .相叠加.， .， ， ，.解答过程2：由得：， ，因为.所以：.解答过程3：由得：，从而 ；.叠加得：.， . ， 从而.小结：数列递推关系是近几年高高数学的热点，主要是一些能转化为等差等比数列的递推关系式。对连续两项递推，可转化为；对连续三项递推的关系如果方程有两个根

9、，则上递推关系式可化为或.考点3 数列的通项与前n项和之间的关系与应用与的关系：，数列前n项和和通项是数列中两个重要的量，在运用它们的关系式时，一定要注意条件，求通项时一定要验证是否适合。解决含与的式子问题时，通常转化为只含或者转化为只的式子.例5（2006年辽宁卷） 在等比数列中,前项和为,若数列也是等比数列,则等于（ ）(A) (B) (C) (D)命题目的：本题考查了等比数列的定义和求和公式，着重考查了运算能力。过程指引因数列为等比，则，因数列也是等比数列，则即，所以，故选择答案C.例6.已知在正项数列a n中，S n表示前n项和且，求a n.思路启迪：转化为只含或者只含的递推关系式.解

10、答过程1：由已知，得当n=1时，a1=1；当n2时，a n= S nS n1，代入已知有，.，又，故.，是以1为首项，1为公差的等差数列，故.解答过程2：由已知，得当n=1时，a1=1；当n2时因为，所以.，因为，所以，所以.考点4. 数列中与n有关的等式的理解与应用对数列中的含n的式子，注意可以把式子中的n换为得到另外的式子。也可以把n取自然数中的具体的数1，2，3等，得到一些等式归纳证明.例7（2006年福建卷）已知数列满足 (nN)（）求数列的通项公式；（）若数列满足 (nN*),证明: 是等差数列;思路启迪：本小题主要考查数列基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。把递推关

11、系式变形转化解答过程： （I）解：是以为首项，2为公比的等比数列。即（II）证法一： ，得即 ，得即故是等差数列.考点5 等差、等比数列的概念与性质的理解与应用在等差、等比数列中，已知五个元素或，中的任意三个，运用方程的思想，便可求出其余两个，即“知三求二”。本着化多为少的原则，解题时需抓住首项和公差（或公比）。另外注意等差、等比数列的性质的运用.例如（1）等差数列中，若，则；等比数列中，若，则 . （2）等差数列中，成等差数列。其中是等差数列的前n项和；等比数列中（），成等比数列。其中是等比数列的前n项和；（3）在等差数列中，项数n成等差的项也称等差数列. （4）在等差数列中，； .在复习时

12、，要注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式.注意方程思想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想的运用.典型例题例8（2006年江西卷）已知等差数列的前n项和为Sn，若，且A、B、C三点共线（该直线不过原点O），则S200（ ）A100 B. 101 C.200 D.201命题目的：考查向量性质、等差数列的性质与前n项和。过程指引：依题意，a1a2001，故选A例9（2007年安徽卷文、理）某国采用养老储备金制度，公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加 d（d0）, 因此，历年所交纳的储备金数目a1, a2, 是一个公差为 d 的等差数列. 与

13、此同时，国家给予优惠的计息政府，不仅采用固定利率，而且计算复利. 这就是说，如果固定年利率为r（r0）,那么, 在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为 a1（1+r）n1，第二年所交纳的储备金就变成 a2（1+r）n2，. 以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额.（）写出Tn与Tn1（n2）的递推关系式；（）求证Tn=An+ Bn，其中An是一个等比数列，Bn是一个等差数列.命题目的：本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生阅读资料、提取信息、建立数字模型的能力，考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力. 解：（I）我们有 （II）反复使用上述关系式，得 在式两端同乘1+

14、r，得 ，得2解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用考点6 等差、等比数列前n项和的理解与应用等差、等比数列的前n项和公式要深刻理解，等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数.等比数列的前n项和公式（），因此可以改写为是关于n的指数函数，当时，.例10（2007年广东卷理）已知数列的前n项和Sn=n29n,第k项满足5ak8,则k=A9B8C7D6思路启迪：本小题主要考查数列通项和等差数列等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力解：此数列为等差数列，由52k-10a；（3）记（n=1,2,），求数列bn的前n项和Sn思路启迪

15、：（1）注意应用根与系数关系求的值；（2）注意先求；（3）注意利用的关系解：（1），是方程f(x)=0的两个根， （2），=，由基本不等式可知（当且仅当时取等号），同，样，（n=1,2,） （3），而，即，同理，又【专题训练与高考预测】一.选择题1.已知a是等比数列，且a0，aa+2 aa+aa=25，那么a+ a的值等于（ ）A.5 B.10 C.15. D.202.在等差数列a中，已知a+a+a+a+a= 20，那么a等于（ ） A.4 B.5 C.6 D7.3.等比数列an的首项a1=1,前n项和为Sn,若，则Sn等于( ) C.2D.24.已知二次函数y=a(a+1)x2(2a+1)x

16、+1，当a=1，2，n，时，其抛物线在x轴上截得的线段长依次为d1,d2，,dn,则 (d1+d2+dn)的值是( )A.1 B.2C.3D.4二.填空题5.已知a,b,a+b成等差数列，a,b,ab成等比数列，且0logm(ab)0,S130知q0，因aa+2 aa+ aa=25，所以，aq aq+2aqaq+aqaq=25，即aq（1+ q）=25， aq（1+ q）=5，得a+ a= aq+aq= aq（1+ q）=5 . 故选择答案A .解法二：因a是等比数列，aa= a，aa= a ，原式可化为 a+2 aa+ a=25, 即（a+ a）=25.因 a0 , a+ a= 5 , 故选

17、择答案A2. 解法一：因为a是等差数列，设其首项为a，公差为d， 由已知 a+ a+a+a+a= 20 有 5 a+10d = 20， a+2d = 4, 即 a= 4.故选择答案A. 解法二：因a是等差数列，所以 a+ a= a+ a=2 a， 由已知 a+a+a+a+a= 20 得5 a= 20， a= 4. 故选择答案A3.解析：利用等比数列和的性质.依题意，而a1=1,故q1,根据等比数列性质知S5，S10S5，S15S10,也成等比数列，且它的公比为q5,q5=,即q=.故选择答案B.4.解析：当a=n时y=n(n+1)x2(2n+1)x+1由x1x2=，得dn=，d1+d2+dn故

18、选择答案A.二、5.解析：解出a、b,解对数不等式即可.故填答案:(,8)6.解析：利用S奇/S偶=得解.故填答案:第11项a11=29.故填答案:1+.8.解析：由题意所有正三角形的边长构成等比数列an，可得an=，正三角形的内切圆构成等比数列rn，可得rn=a,这些圆的周长之和c=2(r1+r2+rn)= a2，面积之和S=(n2+r22+rn2)= a2故填答案:周长之和a，面积之和a29.解析：第一次容器中有纯酒精ab即a(1)升，第二次有纯酒精a(1)，即a(1)2升，故第n次有纯酒精a(1)n升.故填答案:a(1)n10.解析：从2001年到2005年每年的国内生产总值构成以959

19、33为首项，以7.3%为公比的等比数列，a5=95933(1+7.3%)4120000(亿元).故填答案:120000.三、11. 解：因为 a为等比数列， 所以 S，SS，SS是等比数列.即 5，155，S15是等比数列,得5（S15）=10 , S=35.12.解：设等差数列a共有2n1 项，S=80，S=75，则=，得 n=16，所以 2n1=2161=31 即此数列共有31项. 又由a的项数为2n1，知其中间项是a，故a= SS=8075=5， a=5.13. 解：设等差数列a中，前m项的和为S，其中奇数项之和为S，偶数项之和为S，由题意得S=77，S=33，S= SS= 44，令m=2n1则