普通高等学校招生全国统一考试数学卷全国新课标理

1、2009年普通高等学校招生全国统一考试数学卷（全国新课标.理）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分参考公式：样本数据的标准差其中为样本平均数柱体体积公式其中为底面面积，为高锥体体积公式其中为底面面积，为高球的表面积，体积公式，其中为球的半径第卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，则ABCD2复数A0B2CDxyO1 2 3 4 5 6 730252015105vuO1 2 3 4 5 6 76050403020103对变量有观测数据，得散点图1；对变量有观测数据，得散点图2由这两个散点图可以

2、判断A变量与正相关，与正相关B变量与正相关，与负相关C变量与负相关，与正相关D变量与负相关，与负相关4双曲线的焦点到渐近线的距离为AB2CD15有四个关于三角函数的命题：； ； 、其中的假命题是ABCD6设满足则A有最小值2，最大值3B有最小值2，无最大值C有最大值3，无最小值D既无最小值，也无最大值7等比数列的前项和为，且成等差数列。若，则A7B8C15D16ABCA1DEFB1C1D18如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，则下列中错误的是A B平面C三棱锥的体积为定值D的面积与的面积相等9已知在所在平面内，且，则点依次是的A重心，外心，垂心B重心，外心，内心C外心，重心，垂心D外

3、心，重心，内心10如果执行右边的程序框图，输入，那么输出的各个数的和等于开始结束输入输出是否是是否否A3BC4D侧视图俯视图346346636正视图11一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：）为ABCD12用表示、三个数中的最小值设，则的最大值为A4B5C6D7第卷（非选择题共90分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上xyO13设已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点为，直线与抛物线相交于两点，若的中点为，则直线的方程为 14已知函数的图像如图所示，则 157名志愿者中安排6人周六、周日两天参加社区公益活动。若每天安

4、排3人，则不同的安排方案共有 种（用数字作答）16等差数列的前项和为。已知，则 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤ABMN17（本小题满分12分）为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在、两点进行测量，、在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和、间的距离，请设计一个方案，包括：指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；用文字和公式写出计算、间的距离的步骤。18（本小题满分12分）某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为类工人）现用分层抽样方法（按类，类分二层）从该

5、工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（生产能力指一天加工的零件数）（1）类工人中和类工人中各抽查多少工人？（2）从类工人中的抽查结果和从类工人中的抽查结果分别如下表1和表2表1生产能力分组人数4853表2生产能力分组人数63618图1 A类工人生产能力频率分布直方图频率组距100 110 120 130 140 1500.0360.0320.0280.0240.0200.0160.0120.0080.004生产能力100 110 120 130 140 1500.0480.0440.0400.0360.0320.0280.0240.0200.0160.0120.0080.004频

6、率组距生产能力图2 B类工人生产能力频率分布直方图先确定，再完成下列频率分布直方图就生产能力而言，类工人中个体间的差异程度与类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）分别估计类工人和类工人生产能力的平均数，并估计该葡萄干工人的生产能力的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）ABCDPS19（本小题满分12分）如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱长都是底面边长的倍，为侧棱上的点。（1）求证：；（2）若平面，求二面角的大小；（3）在（2）的条件下，侧棱上是否存在一点，使得平面。若存在，求的值；若不存在，试说明理由。20（本小题满分12分）已知椭圆的中心为

7、直角坐标系的原点，焦点在轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1（1）求椭圆的方程；（2）若为椭圆上的动点，为过且垂直于轴的直线上的点，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线21（本小题满分12分）已知函数（1）如果，求的的单调区间；（2）若在，单调递增，在，单调递减，证明：请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时请写清题号ABCEFDH22（本小题满分10分）【选修41：几何选讲】如图，已知的两条角平分线和相交于，在上，且（1）证明：四点共圆；（2）证明：平分23（本小题满分10分）【选修44：坐标系与参数方程】已知曲线（为参数），（为参数）（1

8、）化的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若上的点对应的参数为，为上的动点，求中点到直线（为参数）距离的最小值24（本小题满分10分）【选修45：不等式选讲】如图，为数轴的原点，为数轴上三点，为线段上的动点设表示与原点的距离，表示到距离的4倍与到距离的6倍的和（1）将表示为的函数；（2）要使的值不超过70，应该在什么范围内取值？ABMO1020302009年普通高等学校招生全国统一考试数学卷（全国新课标.文）参考答案一、选择题，本题考查基础知识，基本概念和基本运算能力题号123456789101112答案ADCAABCDCBAC二、填空题本题考查基础知识,基本概念和基本运算技巧1

9、314151401610三、解答题17解：方案一：需要测量的数据有：A 点到M，N点的俯角；B点到M，N的俯角；A，B的距离 d （如图）所示） . .3分 第一步：计算AM . 由正弦定理； 第二步：计算AN . 由正弦定理； 第三步：计算MN. 由余弦定理 .方案二：需要测量的数据有： A点到M，N点的俯角，；B点到M，N点的府角，；A，B的距离 d （如图所示）. 第一步：计算BM . 由正弦定理；第二步：计算BN . 由正弦定理； 第三步：计算MN . 由余弦定理18解：（）甲、乙被抽到的概率均为，且事件“甲工人被抽到”与事件“乙工人被抽到”相互独立，故甲、乙两工人都被抽到的概率为 .

10、 （）（i）由题意知A类工人中应抽查25名，B类工人中应抽查75名. 故 ，得， ，得 . 频率分布直方图如下 从直方图可以判断：B类工人中个体间的关异程度更小 . （ii） ， ，19解：解法一： （）连BD，设AC交BD于O，由题意。在正方形ABCD中，所以,得. ()设正方形边长，则。又，所以, 连，由（）知,所以,且,所以是二面角的平面角。由,知,所以,即二面角的大小为。 （）在棱SC上存在一点E，使由（）可得，故可在上取一点,使,过作的平行线与的交点即为。连BN。在中知，又由于,故平面，得,由于,故.解法二： （）；连,设交于于，由题意知.以O为坐标原点，分别为轴、轴、轴正方向，建立

11、坐标系如图。 设底面边长为，则高。 于是 故 从而 ()由题设知，平面的一个法向量，平面的一个法向量，设所求二面角为，则,所求二面角的大小为 （）在棱上存在一点使. 由（）知是平面的一个法向量， 且 设 则 而 即当时，而不在平面内，故20解：()设椭圆长半轴长及半焦距分别为，由已知得，所以椭圆的标准方程为（）设，其中。由已知及点在椭圆上可得。整理得，其中。（i）时。化简得所以点的轨迹方程为，轨迹是两条平行于轴的线段。（ii）时，方程变形为，其中当时，点的轨迹为中心在原点、实轴在轴上的双曲线满足的部分。当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆满足的部分；当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆；21解：（）当时，故当当从而单调减少.()由条件得：从而因为所以将右边展开，与左边比较系数得，故又由此可得于是22解：（）在ABC中，因为B=60°，所以BAC+BCA=120°.因为AD，CE是角平分线，所以HAC+HCA=60°，故AHC=120°.于是EHD=AHC=120°.因为EBD+EHD=180°，所以B,D,H,E四点共圆.（）连结BH,则BH为ABC的平分线，得HBD=30°由（）