第一章集合初步知识要点和复习自测题

1、第一章集合论知识要点与复习自测题一、集合概念和基本运算的知识要点：仔细体会并熟练掌握集合的概念（ 注意元素与集合的两 种关系，集合与集合间的关系，并注意它们的区别 ），集合的基本运算（并、交、差、余、直积 和极限运算）以及运算律（注意体会元素不属于并集，交集，上极限集和下极限集的特点 ）。复习自测：1、据理说明下面的集合关系是否成立？若不成立，请进一步讨论它们成立的条件：设（1） ABUB 二A，（ 2） ABljB 二AUB，（ 3） AUB B = A，（4） AUB B 二 a B，（5）A UB 二 A B U A - B U B A，（6）A B 二 A A B 二 A - Bc，A

2、 二 A B U A - B .A，B是两个集合,2、证明下面的几个常用的集合分解:（1 ）若En （ n =1,2,）是一列集合，则E E E 2 E E 3 E _1 E 2 n =1En U Ek （并集的常用不交分解方法） I "丿丿(2)若En （ n =1,2川I）是一列单调递增集合，贝U0EnnEn=E_jE2匕.E3 E2En En-1 - “* .（单调递增集列并集的不交分解方法）（n =1,2川I）是一列集合，记FnEk，Gn =U Ek，Hk=1nEk，k rnIn Ek，k=1qQFn L ，且 U En n三qQGn L，且 U Enn#oOqQFn （并集

3、的递增分解方法n TqQGn （并集的递减分解方法 n 1oC），），HnL ，且PlEnHn （交集的递增分解），n=1n#QOOOInL，且Cl EnIn （交集的递减分解）.(3)n羊n羊En （ n =1,2川1）是一列单调递减集合，则3in J：=1护丿5巳E2心E2E3En En ：1 - * （单调递减集列中最大集的不交分解方法）（4）设En（ n =1,2川I）是一列单调递减集合，则 f巴.UEnU En Em“丿l，m4丿0C|En 二n 43、设En（ n =1,2川I）是一列集合,（1）试写出lim En，lim En的并交运算表示; nn_ic；若EnL，则（2）利用（

4、1）证明（单调集列的收敛定理）：若EnL ，则En?收敛，且lim EnE,nJ；收敛，且 lim En =En ；n吕qQqQ（3）记FnEk，GnEk，据理说明：limEn二limFn，皿巳二lim Gn （上极限集、下极限集与k 生k =an_ac单调集列的关系）、集类的知识要点：仔细体会环、代数、 匚环，二代数的含义（注意它们的区别），关注它们分别对集合的怎样的运算是封闭的，并了解它们之间的关系（关系如下图）ft/代数:代数了解由一个非空集类A生成的环（记为T（A ）,代数（记为 RA ）, &环（记为T/A ）,二代数（记为 R A ）的含义，并了解它们之间的关系（关系如下图

5、）T AAcc复习自测:1、设X =、，A - X的有限子集全体 ，B - X的至多可数子集全体，并规定空集一是有限集,据理说明:(1) A是环，但不一定是代数，并讨论 A是代数的条件？(2) B是二环，但不一定是 匚代数，并讨论 B是二代数的条件？2、设X 一_ , A = X的单点集全体，据理说明：(1) A不是环；(2) T A = X的有限子集全体；R A = X的有限子集全体 X的有限子集的余集全体； 二 X的至多可数子集全体；R；_ A = X的至多可数子集全体J X的至多可数子集的余集全体.三、集合对等的知识要点：仔细体会并熟练掌握映射的象集和原象集(也称逆象集)的性质； 仔细体

6、会并熟练掌握集合对等的判别方法【定义法(一一映射法)、对等的性质法、Bernstein定 理法】；仔细体会并熟练掌握判断集合基数大小关系的方法【大小关系的定义法(即与子集对等 法)、单射或满射法(也称映射法)、并集法】.复习自测：1、 叙述(1)集合对等的定义；(2 )对等的基本性质(自身性、对称性、传递性和集族的不交并集性)；(3) Bernstein 定理.2、利用恰当的方法证明：(1 )设A , B是两个集合，若ABLlBA，则AL B ；注意：A 二 AB 一 A B , B 二 AB 一 B A，用性质法.(2 )设A , B , C是三个集合，若 A B，且ALA-C，贝U bLB

7、-C .注意：B - B _ C 以及 B 二 A1：.B A I 和 B _ C 二 A1：.B A C 二 A _ C _ B A ,用 Bernstein 定理.四、可数集和不可数集的知识要点：仔细体会并掌握至多可数集的定义及性质；熟练掌握判断可数集或至多可数集的若干方法【定义法、排元素法、与已知至多可数集对等法、至多可数集 的性质法】；熟记并会证明一些常见具体的可数集和至多可数集【如：自然数集，整数集，偶数 集，奇数集，有理数集，n维空间中的有理点集，整系数多项式全体，有理系数多项式全体，n维空间中互不相交的开区间(或开集)所成的集，区间上的单调函数的不连续点所成的集，n维空间中的点集

8、的孤立点所成的集等等】掌握不可数集的定义和性质；熟记并证明一些常见的具有连续基数 c的集合【如：1维空间 中的长度不为0的各种区间、非空开集、有内点的集；n维空间中的体积不为0的各种区间、非 空开集、有内点的集；0,1二R0,1厂-0,10,1 Hl; n维空间中的开集全体、闭集全体； 可数集的幕集等等】复习自测：1、设En ( n =1,2川I)为一列至多可数集，则nn(1 )訂Ek-巳 E2 HI En是至多可数集，且当E!,E2|,En中至少有一个为可数集时， Ek是可数集；qQ(2)据理说明話En =E1 E2 III En川不一定是可数集.注意：用(0,1严0,1? <0,1

9、III说明.实际上，只要集列 En ( n =1,2川1)中，有无穷多个是二元素以上的集，En都不是可数集.n仝2、 证明：Rn中互不相交的开集所成的集族一定是至多可数集；Rn中的开集全体所成的集族为不可数集，其基数c .3、证明：区间I R上的单调函数的不连续点(也称间断点)所成的集必为至多可数集.4、证明：E Rn的孤立点全体所成的集必为至多可数集.5、 证明：0,1上的连续函数全体所成的集具有连续基数C .6、证明：2c，其中a为可数基数，c为连续基数(即可数集的幕集一定是具有连续基数的集)五、开集、闭集和Borel集的知识要点：掌握开集、闭集的定义与等价条件，并会用它们来判断 一个点集

10、是否开集和闭集；掌握开集、闭集的并交运算特征；掌握 Lindelof至多可数覆盖定理及其简单应用【例如，证明Rn中的非空开集必可表示成至多可数个开区间的并集等】； 理解自密集和完全集的含义，稠密集和疏朗集的含义；掌握稠密集的等价定义，并会用等价定义证明或判断一个集合的稠密性；掌握稠密集和疏朗集之间的一般关系和在一定条件下的等价关系，并熟习一些典型的稠密集【如：有理数集，有理点集，无理数集，无理点集】和疏朗集【如：有限点集，自然数集，整数集，n维空间上的整点集等】记住Rn中非空完全集的基数为连续基数这一结论自测题：1、据理说明：(1)有限个完全集的并集仍为完全集，但一列(可数个)完全集的并集不一

11、定是完全集；(2 )完全集的交集不一定是完全集.2、证明：(1) 疏朗集的余集一定是稠密集，但稠密集的余集不一定是疏朗集；nc(2) E - R是疏朗的闭集u E是稠密的开集.3、据理说明：疏朗集一定无内点，但无内点的集不一定是疏朗集.六、理解Cantor三分集P的构造思想；掌握Cantor三分集P的构造过程以及它的两种表示(如: :2k2k PFn 八(一 Fi(k)，P 珂0,1 _(_.)；掌握 Cantor三分集的几个常用性质如: Cantor n：1k =1 i 4kTi 仝三分集P是非空的自密闭集即非空的完全集；Cantor三分集P的势为c(连续势)；Cantor三分集 P是疏朗集

12、(从而它没有内点)；Cantor三分集P为零测集).自测题：1、利用Cantor三分集的特点据理说明：(1 )疏朗集不一定是至多可数集；(2 )在区间中去掉一个具有连续基数的集不一定会改变区间的长度.七、型集，G、型集，Borel集的知识要点：理解F型集，G：型集，Borel集的含义及生成特 点以及型集与G型集在余运算下的对偶关系，并会用 Baire纲定理【即F；型集中的每个闭集 均无内点，则此F；二型集也无内点】说明Q和Qn都是F；型集，但不是G：型集；R Q和Rn Q n 都是G、.型集，但不是F；型集.熟练掌握并熟记R1上的开集与R1上的开区间的关系，Rn上的开 集与Rn上的半开半闭区间

13、的关系【即开集的结构定理】自测题：1、完整地叙述开集的结构定理.2、据理说明：(1 )闭集既是 F遅集，也是G、.型集；开集既是G、.型集，也是Fc型集；(2) 至多可数个型集的并集仍为F7型集；至多可数个 G、.型集的交集仍为G,.型集；(3) Rn上的至多可数集必为 F；一型集，而其余集必为 G,.型集；(4) Rn上的有理点集必为 F二型集，但不是G、.型集；Rn上的无理点集必为 G、型集，但不是F二型集；(5) 开集、闭集、 F；_型集、G、.型集都是Borel集.3、证明：(1) 任何F；型集即可表示成一列单调递增的闭集的并集，也可表示成一列单调递减的Ft型集的并集；(2) 任何G、

14、.型集即可表示成一列单调递减的开集的交集，也可表示成一列单调递增的G、.型集的交集.八、点与点集，点集与点集间距离的知识要点：理解点与点集，点集与点集之间的距离的含义；掌握点集间距离可达性的条件以及不交闭集可用不交开集分离的性质的含义；掌握函数 f(x)=d(x,E)在Rn上的一致连续性及其简单的应用【如：证明x Rn|d(x,E)二是开集；证明集合间距离的可达性定理；证明任何闭集都是 G .型集，从而开集也都是型集等】.自测题：1、据理说明下面的结论是否成立：(1 )设 Rn，E Rn，则存在 E，使得 d x,E 二 d x, y。；(2) 设Rn， E Rn为闭集，则存在y。 E，使得d

15、 x, E = d x, y0 ；(3) 设xRn，E Rn为闭集，且E-：，则存在% E，使得d x,E =d x, y。(4) 设E1,E2 Rn都是闭集，则存在心E1，y°E2，使得d巳乓 =d x。；(5) 设E1,E2 Rn都是闭集，且它们至少有一个有界，则存在 X。，E1，y。- E2，使得d HE?二 d x°,y。；(6) 设E1, E2 R都是闭集，则存在两个不相交的开集G1， G?，使得Ej G1， E? G?；(7) 设E1,E2 Rn都是闭集，且它们不相交，则存在两个不相交的开集 G1，G2，使得E1 G，E2 G?.2、 设 E1,E? Rn，证明

16、：d E1, E2 i； = inf d x,E?.3、 设 X Rn，E Rn，记 f(x) =d x,E，则 f(x)在 Rn 上一致连续.九、集合示性函数(特征函数)的知识要点：了解集合的特征函数(示性函数)的定义以及特 征函数与集合的关系.自测题：1、设X =：.，证明下面的关系：(1) A 二 B 二 X = A(x)岂 B(x);(2) 设 A,BX，则ab(x)二a(x)b(x) - AB(x)=max1 a(x),b(x”;若 A f B 二,贝V A B(X)二 A(X) B(x)；(3) 设 A, B二X，则AB(x)二A(x)B(x)二 minf a(x), b(x)?;

17、(4) 设 A, BX，则Ab(x)二A(x)1；：b(x)；A B X， a b(x)-A(x) - B(X).2、设X = ._ ,证明下面的关系:(1):(X)二 max En(x),En叮n 1.(2)莎冃円叫En(X),EnX ( n =1,2川I)EnL ，则函数列若 EnUX ( n= 1,2,川)，则在(X)二 miEn(X)；n 1 n_lim En(xHlimEn(x)；n n -收敛，则函数列En(X)L ,且EnL ，则函数列纭&)，且En(x) ( n =1,2川|)也收敛，且lim En (x) - limEn(X)；nn:(x) =Hm En (x)； 片

18、nnn 1叫(X) =lim En (x).-Ennnn 土十、实函数逆象集的知识要点：熟习函数逆象集的记号fP He x|f(x)PE f(x) P)表示E中使函数值属于逆象集】；熟习逆象集保持集合的关系和运算的性质； 象集的性质导出逆象集的相应的集合分解.自测题：利用逆象集的性质证明下面的集合等式：1、设【例如，设f : E > R , P R ,P的x所成的集一称为P的能熟练地通过R中的数集的分解，利用逆(1)(2)f : E > R，记 P =(0,=)，贝U(0, n)L ， ， ：)L , E |x 0 ： f(x) : n LI , n-OOQOP (0, n (0, n)=n ±n ±E” f(x) J-n1,;)-,:nm nP I E X f (x)0 E x 0 ： f (x)岂 n E x 0 ： f (x) ： nn 1n 1Ue .|x f(x)(E中使函数值大于零的点所成集的递增分解0 =In =111> n(3)oo IT，j%