立体几何基础题试题库(三)(有详细答案)

1、立体几何基础题题库（三）（有详细答案）101. ABC是厶ABC在平面a上的射影,(A)ABC </ ABC(C)ABC >Z ABC解析：D那么 ABC和/ ABC的大小关系是 （）（B） AB C >Z ABC（D）不能确定一个直角，当有一条直角边平行于平面时，则射影角可以等于原角大小，但一般情况不等.102. 已知：如图， ABC中 , ACB= 90 , CD平面 ，AD BD和平面 所成的角分别为 30和45, CD= h,求：D点到直线AB的距离。解析：1、先找出点 D到直线AB的距离，即过D点作 DEAB从图形以及条件可知，若把DE放在 ABD 中不易求解。2、

2、由于CD平面，把DE转化到直角三角形中求解，从而转化为先求 DE在平面 的射影长。解：连AC BC 过D作DE AB 连CE贝U DE为D到直线AB的距离。/ CD AC BC分别是AD BD在 的射影。 DAC DBC分别是AD和BD与平面 所成的角 DAC= 30 ， DBC= 45在 Rt ACD中，/ CD= h， DAG= 30 AC=、,3h在 Rt BCD中/ CD = h， DBG= 45 BC= h/ CD ，DE AB CE ABAB 、. AC2 BC2 2hS 1 AC BC -AB CE2 2 CEAC BC.3h h . 3 ,'AB2h2 "在R

3、t DCE中,v'32(h)2hDEDC2 CE2h222点D到直线AB的距离为辽h。2103. 已知a、b、c是平面a相交于一点O的三条直线，而直线 l和a相交，并且和a、b、c三条直线 成等角.求证：I丄a证法一：分别在 a、b、c上取点A、B C并使AO= BO= CO设I经过O,在I上取一点 巳在厶POAA POBA POC中,/ PO公用，AO= BO= CO / POA= / POB/POC POA POB2A POC PA = PB= PC 取 AB中点 D 连结 OD PD,贝ODLAB, PDL AB PD OD D AB丄平面POD/ PO 平面 POD PCL A

4、B同理可证 POL BC/ AB , BC , AB BC B- POL a,即卩I丄a I I 丄 a.证法二：采用反证法假设I不和a垂直，则I和a斜交于O.同证法一，得到 PA= PB = PC过P作P0于0，则AO BO CO , 0是厶ABC的外心.因为 0也是 ABC的外心，这样， ABC有两个外心，这是不可能的.假设I不和a垂直是不成立的.I 丄 a若I不经过0点时，过0作I / I，用上述同样的方法可证 I丄a , - I 丄 a评述：(1)证明线面垂直时，一般都采用直接证法(如证法一)，有时也采用反证法(如证法二)或同 一法.104. P是厶ABC所在平面外一点， 0是点P在平

5、面a上的射影.(1) 若PA= PB= PC,则0是厶ABC的心.(2) 若点P到厶ABC的三边的距离相等，贝U 0是厶AB 心.(3) 若PA、PB PC两两垂直，则 0是厶AB 心.(4) 若厶ABC是直角三角形，且 PA= PB= PC则0是厶ABC的心.(5) 若厶ABC是等腰三角形，且 PA= PB= PC,贝U 0是厶ABC的心.(6) 若PA PB PC与平面 ABC所成的角相等，贝U 0是厶ABC的心；解析：(1)外心.TPA=PB=PC O/=OB=OC 0是厶 ABC的外心.(2)心(或旁心).作ODL AB于 D,OEL BC于E,OF丄 AC于F,连结 PD PEPF.

6、vPC丄平面 ABC OD OE OF分别为PD PE PF在平面 ABC的射影，由三垂线定理可知， PDL AB PEI BC PF丄AC由 已知PD=PE=PF,得ODO匡OF 0是厶ABC的心.(如图答 9-23 )(3) 垂心.(4) 外心.(5)外心(6)外心.PA与平面ABC所成的角为/ PAO在厶PAO PBO PCC中, P0是公共边，/ POA/ POB/ POC90°,/ PAO/ PBO/ PCO： PA3A PB3A PC。二 OA=OE=OC / 0为厶 ABC的外心.（此外心又在等腰三角形的底边高线上）.刃105. 将矩形ABCD&对角线BD折起来

7、，使点 C的新位置C在面ABC上的射影E恰在AB上.求证：AC BC分析：欲证 AC BC，只须证BC与AC所在平面 AC D垂直；而要证 BC丄平面AC D，只须证BC 丄CD且BC丄AD因此，如何利用三垂线定理证明线线垂直就成为关键步骤了.证明：由题意， BC丄C D，又斜线BC在平面ABCDt的射影是 BA BA丄AD由三垂线定理，得 C B AD , C D DA D . BC丄平面C AD，而C A 平面C ADCP BC 丄 AC106.已知异面直线li和丨2,丨1丄丨2, MN是 l 1和丨2的公垂线，MN= 4, A li, B l 2, AM= BN= 2 , O是 MN中点

8、. 求丨1与OB的成角.求 A点到 OB距离.分析：本题若将条件放入立方体的“原型”中，抓住“一个平面四条线”的图形特征及“直线平面垂直”的关键性条件，问题就显得简单明了.解析：（1）如图，画两个相连的正方体，将题目条件标在图中.OB在底面上射影 NBL CD由三垂线定理， OBL CD又CD/ MA OBL MA即OB与丨1成90°（2）连结BO并延长交上底面于 E点.ME= BN ME= 2，又 0N= 2 OB OE 2 2 .作AQL BE连结MQ对于平面EMO而言，AM AQ MQ分别为垂线、斜线、斜线在平面的射影，由三垂线逆定理得MQ E0在 Rt MEOK MQME M

9、OEO2 22. 2评述：又在 RtAMQK AQ . AM 2 MQ242.6 ,本题通过补形法使较困难的问题变得明显易解；求点到直线的 距离，仍然是利用直线与平面垂直的关键条件，抓住“一个面 四条线”的图形特征来解决的.107. 已知各棱长均为 a的正四面体 ABCDE是AD边的中点，连结CE求CE与底面BCD所成角的正弦值. 解析：作AHL底面BCD垂足H是正 BCD中心，连DH延长交BC于F,则平面 AHQ平面BCD作 EOL HD于 O,连结 EC则/ ECO是 EC与底面BCD所成的角贝U ECL底面BCDHD 2DF - a a3323AH . AD2 HD2EO -AH21aa

10、 , CEa2362sin ECO23108. 已知四面体 S ABC中, SA±底面ABC ABC是锐角三角形， H是点A在面SBC上的射影.求证： H 不可能是厶SBO的垂心.分析：本题因不易直接证明，故采用反证法.证明：假设 H是厶SBQ的垂心，连结 BH并延长交 SC于D点，贝U BHL SCC/ AH丄平面SBC BH是AB在平面SBC的射影 SC丄AB （三垂线定理）又 SAL底面ABC AC是 SC在面的射影 AB丄AC （三垂线定理的逆定理） ABC是 Rt与已知厶ABC是锐角三角形相矛盾，于是假设不成立. 故H不可能是厶SBC的垂心.109. 已知ABC是边长为4的

11、正方形，E、F分别是AB AD勺中点，GCt直于ABC所在的平面，且GC= 2 .求 点B到平面EFG距离.解析：如图，连结EG FG EF、BD AC EF B酚别交ACF H O.因为ABC是正方形，E F分别为AB 和AD勺中点，故EF/ BD H为AO勺中点.BD不在平面EFGh否则，平面EF®平面ABC重合，从而点G在平面的ABC上，与题设矛盾.4分由直线和平面平行的判定定理知 BD/平面EFG所以BD和平面EFG勺距离就是点B到平面EFG勺距离. BDL AC EFL HC/ GCL平面 ABCDEF± GC EF丄平面HCG平面EFG_平面HCG HG!这两个

12、垂直平面的交线.一一6分作0!丄HG<HGF点K由两平面垂直的性质定理知 0!丄平面EFG所以线段0K勺长就是点B到平面EFG勺距 离.一一8分正方形ABC的边长为4, GG2, AC=4 .,2 , H(= . 2 , HC=3 2 .在Rt HC中, HgJ3、/2 2 22 <22 .由于Rt HK和Rt HC有一个锐角是公共的，故 Rt HK®A HCGHO GC 2 22 11 Or= 一HG11即点B到平面EFG勺距离为 乙丄1 . 10分11注：未证明“ BD不在平面EFGk”不扣分.110.已知：AB与CD为异面直线，AC= BC AD= BD求证：ABL

13、 CD说明：(1)应用判定定理，掌握线线垂直的一般思路.(2) 思路：欲证线线垂直，只需证线面垂直，再证线线垂直，而由已知构造线线垂直是关键.(3) 教学方法，引导学生分析等腰三角形三线合一的性质构造图形，找到证明方法.证明：如图，取 AB中点E,连结CE DE AC= BC E 为 AB中点. CEL AB同理 DEL AB 又 CE? DE= E,且CE 平面CDE DE 平面CDE又CD平面CDE A吐 CD111. 两个相交平面、都垂直于第三个平面证明：在取一点P,过P作PA垂直与丄且丄 PA丄且 PBL PA丄 a 且 PBL a a丄112. 在立体图形P- ABC曲，底面ABCD

14、I正方形,，那么它们的交线 a 一定和第三个平面垂直.PA!底面 ABCD P4 AB Q是PC中点.AC BD交于0点.(I)求二面角 Q- BD- C的大小：(H)求二面角 B- QD- C的大小.11解析：(I)解：连 Q0贝U QQ PA且QO - PA=丄AB22/ PA丄面 ABCD QOL面 ABCD面QBE过QO面 QBI1 面 ABCD故二面角 Q- BD- C等于90°.(H)解：过O作OhlQD垂足为H,连CH面 QBL面 BCD又 CCL BDQDCCL面 QBDCH在面QBD勺射影是OH/ OHL QD CHL QD于是 / OHC!二面角的平面角.设正方形

15、ABCD边长2, 则 OQ= 1, OD= . 2 , QD= ,3 .OH- QD= OQ ODOH=又 OC=2在 Rt COH中: tan / OH&OCOH/ OHG 60 °故二面角B- QD- C等于60°113.如图在 ABC中，AD 丄 BC ED=2AE 过 E作 FG/ BC且将 AFG沿 FG折起,使/ A'ED=60°，求证:A'E丄平面 A'BC解析：弄清折叠前后，图形中各元素之间的数量关系和位置系。解:/ FG/ BC, ADL BC A'E 丄 FG A'E 丄 BC设 A'E=

16、a，则 ED=2a由余弦定理得：A'D 2=A'E2+ED-2? A'E? EDcos60°=3a2 ED=A'D2+A'E2 A'D 丄 A'E A'E丄平面 A'BC114. a、卩是两个不同的平面， m n是平面a及卩之外的两条不同直线，给出四个论断：mL n,a丄卩，n丄卩，mL a.以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一 个命题，并证明它.解析：mha, n丄卩，a丄卩mL n （或 mL n, mL a , n丄卩 a丄卩）证明如下：过不在 a、卩的任一点 P,作PM/ m

17、 PN/ n过PM PN作平面r交a于MQ交卩于NQmPMPM MQ,PM /m同理PNL NQ因此/ MPI4Z MQN=°,故/ MQN= 90 °/ MPN= 90即a丄卩mL n.115.已知:a , a 丄 y,卩丄 Y, b/a, b/®.求证：a丄丫且b丄y 解析：在a上任取一点P,过P作PQL r.卩丄 r, PQ ,PQ PQ与a重合，故a丄r.过b和点P作平面S,则S和a交于PQ, S和卩交于PQ,/ b / a , b / 卩 b / PQ,且 b / PQ.于是PQ和PQ与a重合，故b / a，而a丄r， b丄r.116.已知PA丄矩形 A

18、BCD所在平面，且 AB= 3, BC= 4, PA= 3,求点P到CD和BD的距离. 解析：T PA丄平面 ABCD AD丄CD且CD 平面ABCDPD丄CD(三垂线定理)在 Rt PAD中, PD= . PA2 AD 2 = . 32 42 = 5.又作PH丄BD于 H,连结AH,由三垂线定理的逆定理,在 Rt ABD中 ,AH=AB AD _ 12BD5r2369在 Rt PAH中 ,PH=、PA2 AH 2 =32125.5有AHL BD这里，PH为点P到BD的距离.117.点P在平面ABC的射影为 Q且PA PB PC两两垂直，那么 0是厶ABC的()(A)心(B)外心(C)垂心(D

19、)重心解析：由于PCL PA PCL PB所以PC丄平面PAB PCI AB又P在平面ABC的射影为Q连CQ则CO是 PC在平面ABC的射影，根据三垂同理可证AOL BC 0是厶ABC的垂心，答案选 C.118.如图02，在长方体 ABCD- ABCD中，P、Q R分别是棱 AA、BB、BC上的点，PQ/ AB CQ丄PR求 证：/ DQf=90°证明： PQ/ AB AB丄平面BC, PQL平面BC, QR是 PR在平面BC的射影.根据三垂线定理的逆定理，由CQL PR得 GQ! QR又因D C丄平面BC,则CQ是 DQ在平面B C的射影，根据三垂线定理，由 C Q丄QF得QR_

20、D Q/ DQF=90°1 19.在空间四边形 ABC呼,已知AC BD AD BC 求证：AB CD解析： 1、条件ACBD ADBC可以看作斜线 AD AC与平面BCD勺直线的位置关系，从而联想到用三 垂线定理或其逆定理证明命题。2、如何找斜线在平面的射影，显然是过A点作直线垂直于平面 BCD这样斜线与直线的位置关系，通 过射影与直线的位置关系判定。证明： 过A点作AO垂直于平面 BCD于 O连 BQ CO DO AO 平面 BCD AC BDCO BD/ AO 平面 BCD AD BC DO BC OBCD勺垂心 BO CD AB CD120.如图,在空间四边形 SABC中 ,

21、 SA平面ABC ABC= 90 , AN SB于N, AM SC于M 求证:AN BC; SC平面ANME解析：要证AN BC 转证，BC平面SAB要证SC平面ANM转证,SC垂直于平面 ANM勺两条相交直线,即证SC AM SC AN要证SC AN转证 AN平面SBC就可以了。证明： SA平面ABC SA BC又 BC AB 且 AB SA = A BC平面SAB AN 平面 SAB AN BC AN BC AN SB 且 SB BC= B AN平面SBC/ SCC平面 SBC AN SC又 AM SC 且 AM AN= A SC平面ANM121. 已知如图，P 平面 ABC PA=PB=

22、PCZ APB玄 APC=60 , / BPC=90 求证：平面 ABCL平面 PBC解析：要证明面面垂直，只要在其呈平面找一条线，然后证明直线与另 平面垂直即可。显然 BC中点D,证明AD垂直平PBC即可证明：取BC中点D连结AD PD/ PA=PB / APB=60 PAB为正三角形同理 PAC为正三角形设 PA=a在 RTA BPC中, PB=PC=aBC= .2aPD=，在 A ABC中2AD= .ABBD/ aD+p&=a2=aPA APD为直角三角形即AD丄DP 又 AD丄 BC AD丄平面PBC平面ABCL平面PBC122. 如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的

23、交线也垂直于这个平面。已知：B丄a, 丫丄a,B丫 =a求证：a丄a解析：利用线面垂直的性质定理证明：设a3 =AB,a 丫 =CD在平面B作L1丄AB在平面丫作L1丄CDa丄L1丄a同理L2丄aL1/L2L1 3L1/a- a 丄a123. 已知SA SB SC是共点于 S的且不共面的三条射线，/BSAN ASC=45 , / BSC=60，求证：平面BSAL平面 SAC解析：先作二面角B-SA-C的平面角，根据给定的条件，在棱S上取一点P,分别是在两个平面作直线与棱垂直C证明：在SA上取一点P过 P 作 PRL SA交 SC于 R过P作PQL SA交SB于Q/ QPF为二面角 B-SA-C

24、的平面角设PS=a/ PSQ=45，/ SPQ=90 PQ=a SQ=/2 a同理 PR=a sr=72 a/ PSQ=60 , SR=SQ= 2 a RSQ为正三角形则 RQ=、2 a / pR+pQ=2a2=QR/ QPQ=90二面角 B-SA-C 为 90°平面 BSAL平面 SAC124.设 S 为 ABC 平面外的一点，SA=SB=SC ASB 2 , BSC 2 , ASC 2，若2 2 2sin sin sin ，求证：平面 ASC 平面ABC解析：(1)把角的关系转化为边的关系(2)禾U用棱锥的性质(三棱锥的侧棱相等，则顶点在底面上的射影为底面三角形的外心)证明：设D

25、为AB的中点SA SBASDsinADSAAB2SABC .AC冋理sin,sin2SB2SCSA SB SC 且 si n2si n2si n2AB2 BC2 AC2即 ABC为Rt ABC且S在平面上的射影 O为 ABC的外心 则O在斜边AC的中点。SO 平面ABCSO 平面SAC平面ASC平面ABC125. 两个正方形 ABC和ABEF所在的平面互相垂直，求异面直线AC和BF所成角的大小.解析：作BP/ AC交DC延长线于P,则/ FBR或补角)就是异面直线 BF和AC所成的角，设正方形边长为a, 厂1PF 6a在厶BPF中，由余弦定理得 cos FBP ，异面直线 AC和BF成60&#

26、176;角.2126. 二面角a - a- 3的值为e (0 ° < e <180° )，直线I丄a,判断直线l与平面卩的位置关系，并证明 你的结论.解析：分两种情况，e =90°, e 90°当BM90°时，I必与卩相交，也可用反证法证明.127. 已知平面a丄平面卩，交线为AB C, DAB AC BC 4J3 , E为 BC的中点，ACL BD BD= 8.求证：BDL平面 求证：平面 AEDL平面BCD 求二面角 B- AC D的正切值.解析：AB是AC在平面卩上的射影，由 ACL BD得 AB丄BDa 丄卩.二 DBL a

27、 .由AB=AC且E是BC中点，得 AE! BC又AE! DB故AE!平面BCD因此可证得平面 AEDL平面BCD在 Rt BFD中, tg BFDBD 4BF 3128.如图， ABCA DBC所在的两个平面互相垂直，且AB=BC=BD / ABC/DBC120。，求(1) A、D连线和直线BC所成角的大小；二面角A- BD- C的大小解析：在平面ADC乍AHL BC H是垂足，连 HD因为平面ABCL平面BDC所以AHL平面BDC HD是 AD在平面BDC勺射影.依题设条件可证得 HDL BC由三垂线定理得 ADL BC即异面直线 AD和 BC形成的角为90°在平面BDC乍HFL

28、 BD R是垂足，连 AR HR是 AR在平面BDC的射影，二 AFL BD / ARH是二面角 A BDC的平面角的补角，设 A事a,可得，AH设F是AC中点，连BF, DF.由于 ABC是正三角形，故 BFL AC又由DBL平面a ,贝U DFLAC / BFD 是二面角 B- AC D的平面角，tg ARH 如 2.HR面角 A BD- C的大小为n arctg2 .129.正方体ABCD- ABCD中，E、F分别是BB, CC的中点，求异面直线 AE和BF所成角的大小.解析：取DD的中点G可证四边形 ABFG是平行四边形，得出 BF/ AGGEB1D1.2a, AEAG5 a .2在厶

29、AEG中,由余弦定理得cosGAE2AG AE2 22 GE2554412 AGAE2 j_5 _552 2GAE1 arccos.5则/ GAE是异面直线AE与BF所成的角连 GF,设正方体棱长为 a,130.矩形ABCD AB=3, BC=4沿对角线BD把厶ABD折起，使点A在平面BCD上的射影 A'落在BC上，求.面角A-BD-C的大小的余弦值.E 4團5A0 =AB* ADBD0Ay 二匚'E =E 匚厶CED*而BC =BDtgZCBB = 2720在 Rt AA O中，/ AA 0=90°,AO 16所UXcosZAOA j-即所求的二面角A - ED -

30、 C的大小的余弦值为:.10131. 已知：如图12, P是正方形 ABCD所在平面外一点， PA=PB=PC=PD=aAB=a求：平面APB与平面CPD相交所成较大的二面角的余弦值.m 12分析：为了找到二面角及其平面角，必须依据题目的条件，找出两个平面的交线.解：因为 AB / CD CD U平面CPD AB英平面CPD所以 AB /平面CPD又 P 平面 APB 且P平面 CPD因此平面APBA平面 CPD=I,且P l .所以 二面角B-I-C就是平面APB和平面CPD相交所得到的一个二面角.因为 AB /平面 CPD AB 1平面 APB 平面 CPDT平面 APB=I ,所以 AB

31、 / I .过 P 作 PEL AB, PEL CD因为 I / AB/ CD因此PE 丄 l , PF丄 l ,所以/ EPF是二面角B-l-C的平面角.因为PE是正三角形APB的一条高线，且 AB=a,所以羽PE = a.2同理9=密因为E, F分别是AB, CD的中点，所以EF=BC=a.cosZEPFFEPF' -EF*2 冥 FExPF在厶EFP中,所以平面APE禾呼面CPL4目交所成较大的二面角的余弦值为-132.在四面体 ABCD中，AB= AD= BD= 2, BC= DC= 4，二面角 A BD- C的大小为60°,求 AC的长.解析：作出二面角A BD-

32、C的平面角1在棱BD上选取恰当的点1AB= AD BC= DC解：取BD中点E,连结AE EC/ AB= AD BC= DC AE± BD ECL BD / AEC为二面角 A- BD- C的平面角 / AEC= 60 °AD= 2 , DC= 4AE= .3 , EC= .15据余弦定理得：AO 18 3 5 133.河堤斜面与水平面所成角为60°,堤面上有一条直道 CD它与堤角的水平线 AB的夹角为30°,沿着这条直道从堤角向上行走到10米时，人升高了多少（精确到 0.1米）？解析：已知所求II河堤斜面与水平面所成角为60°E到地面的距离利

33、用E或G构造棱上一点F以EG为边构造三角形解：取CD上一点E,设CE= 10 m，过点E作直线AB所在的水平面的垂线 EG垂足为 G则线段EG的长 就是所求的高度.在河堤斜面，作 EF丄AB垂足为F,连接FG由三垂线定理的逆定理，知FGL AB因此，/ EFG就是河堤斜面与水平面 ABG所成的二面角的平面角，/ EFG= 60 °由此得：EG= EFsin60 °=CEsin30 ° sin60=10x 1 x 3 4.3 (m2 2答：沿着直道向上行走到10米时，人升高了约 4.3米.卩的距离分别为a, b.求：P到棱134.二面角a a卩是120 °

34、的二面角，P是该角的一点.P到a a的距离.解析:设PAL a于A PB丄卩于B.过PA与PB作平面r与a交于AQ与3交于OBPAL a , PEL 3，二 a 丄 PA 且 a丄 PBa丄面r , a丄PO PO的长为P到棱a的距离.且/ AOB是二面角之平面角，/ AOB=120 / APB= 60 ° , PA = a , PB = b .AB v'a2 b2 2abcos60<'a2 ab b2ABsin APBPO，PO 甘 a2 ab b2 .135.如图，正方体ABCB A1B1CD 中,E、F分别为AB CC的中点，则异面直线AC与EF所成角的余

35、弦值(A)于(B)丄3解析：选哪一点，如何作平行线是解决本题的关键，显然在EF上选一点作AC的平行线要简单易行，观察图形，看出F与AQ确定的平面 ACC 恰是正方体的对角面，在这个面，只要找出AC的中点0,连结OF这条平行线就作出了，这样，/ EFO即为异面直线 AC与EF所成的角.容易算出这个角的余弦值是2，答案选B.3136.在60°的二面角 M-a- N有一点P, P到平面M、平面N的距离 分别为1和2,求P点到直线a的距离.解析：本题涉及点到平面的距离，点到直线的距离，二面角的平面角 等概念，图中都没有表示，按怎样的顺序先后作出相应的图形是解决 本题的关键可以有不同的作法，下

36、面仅以一个作法为例，说明这些 概念的特点，分别作 PAL M M是垂足，PBL N, N是垂足，先作了两 条垂线，找出P点到两个平面的距离，其余概念要通过推理得出：于301便02是PA PB确定平面a，设a n M=AC a n N=BC c a.由于PALM贝U PAL a,同理PB丄a,因此a丄平 面a,得a丄PC这样，/ ACB是二面角的平面角， PC是P点到直线a的距离，下面只要在四边形 ACBP2< 21利用平面几何的知识在厶 PAB中求出AB再在 ABC中利用正弦定理求外接圆直径 2R=，即为P点到直线a的距离，为2-21137.已知空间四边形 ABCDK AB = BC =

37、CD= AD = BD = AC E、F分别为 AB CD的中点,(1) 求证：EF为AB和CD的公垂线(2) 求异面直线AB和CD的距离解析：构造等腰三角形证明 EF与AB CD垂直，然后在等腰三角形中求 EF解；连接 BD和 AC AF和 BF, DE和 CE设四边形的边长为 aAD= CD= AC= a ABC为正三角形DF= FCAF DC且 AF=-a2同理BF= A2BF FA即厶AFB为等腰三角形在厶AFB中，/ AE = BE FE AB同理在 DEC中EF DC EF为异面直线AB和CD的公垂线在 AFB中/ EF AB且 AFAE -AB 丄aa '22EF . A

38、F2 AE2a2EF DC,EF ABEF为异面直线 AB和CD的距离AB和 CD的距离为厶2.正方形ABCD中，以对角线 BD为折线，把 ABD折起，使二面角 Ax -BD-C为60°,求二面角 B-A x C-D 的余弦值解析：要求二面角B-Ax C-D的余弦值，先作出二面角的平面角，抓住图形中Ax B=BCA，D=DC的关系，采用定义法作出平面角/ BED（E 为AC的中点）然后利用余弦定理求解解：连BD AC交于0点贝U A' 0丄 BD COLBD / A' OC为二面角 A' -BD-C的平面角 / A' OC=60设正方形ABCD勺边长为

39、a A O=OC=4a2/ A OC=60Ca2取A C的中点，连DEBE/ A B=BC BEL A C同理DEI A C/ DEB为二面角 B-A' C-D的平面角在 BA C中BE= BA2 AE2a2、14a4同理de4 a4在 A BED中, BD已 2a2 2BE DE cos Z BED=2BE ?DEBD2、14a414a422a面角B-A' C-D的余弦值为-丄7.如图平面SACL平面ACB A SAC是边长为4的等边三角形，A ACB为 直角三角形，Z ACB=90 , BC=4j2，求二面角S-AB-C的余弦值。解析：先作出二面角的平面角。由面面垂直可得线

40、面垂直，作SD丄平面ACB然后利用三垂线定理作出二面角的平面角解：过S点作SD丄AC于D,过D作DM丄AB于M 连SM 平面SACL平面ACB SD丄平面ACB SMLAB又 DML AB Z DMS为二面角S-AB-C的平面角在 A SAC中 SD=4X在 A ACB中过C作CHL AB于H/ AC=4, BC=4、.2 AB=4、. 3/ S=1/2AB CH=1/2AC- BCAC?BC 4?4 一 24 一 2-CH=AB 4屈 品/ DM/ CH且 AD=DC DM=1/2CH= '3/ SD丄平面 ACB DM 平面 ACB SDL DM在 RTA SDM中SM= SD2

41、DM 2 cos / DMS=dMSM140.已知等腰 ABC中, AC= BC= 2 ,ACB= 120都等于4，求直线PC与平面ABC所成的角。ABC所在平面外的一点 P到三角形三顶点的距离解析：解：设点P在底面上的射影为 0,连OB OC则OO PC在平面ABC勺射影， PCC是 PC与面ABC所成的角。/ PA= PB= PC点P在底面的射影是 ABC的外心，注意到 ABC为钝角三角形，点0在 ABC勺外部, / AC= BC 0是 ABC的外心, 0CXAB在 0BC中, 0C= OBOCB= 60OBC为等边三角形， 0C= 2在 Rt POO中, cos PCOOCPCPB, P

42、A丄 a，且 PA=AD MN依次PCO= 60。141.如图在二面角 a - l- B 中，A、Ba, C、D l , ABCD为矩形, 是AB PC的中点求二面角a - l - B的大小求证明：MNL AB求异面直线PA与MN所成角的大小解析： 用垂线法作二面角的平面角 只要证明AB垂直于过MN的一个平面即可过点A作MN的平行线，转化为平面角求解解：连PD/ PAla, AD丄 I PD丄 I / PDA为二面角a - I- B的平面角在RTA PAD中/ PA=PD/ PDA=45二面角 a - I - B 为 45°设E是DC的中点，连ME NE/ M N E分别为AB PC

43、 D的中点 ME/ AD, NE/ PD MEL I , NEL I I丄平面MEN/ AB/ I AB丄平面MEN/ MN 平面 MNE MN AB设Q是DP听中点，连NQ AQ贝U NQ/ DC 且 NQ=1/2DC/ AM/ DC 且 AM=1/2AB=1/2DC QN/ AM QN=AM QNM为平行四边形 AQ/ MN / PAQ为PA与MN所成的角设 VA= a，则 VA=VC= AC= a， VO在 Rt VO沖，sinVBOVBa2/ PAQ=45即PA与 MN所成角的大小为45 °142.如图： ABC的 ABC 90 , V是平面ABC外的一点，VA= VB= V

44、C= AC 求VB与平面 ABC所成的 角。解析：1、要求VB与平面ABC所成的角，应作出它们所成的角。2、要作出VB与平面ABC所成的角，只要找出VB在平面ABC的射影就可以了。3、 作斜线在平面的射影，只要在斜线上找一点作直线垂直于平面，即找此点在平面的射影，显然找V点,V点在平面的射影在何处？由条件可知，射影为 ABC的外心。解：作V0平面ABC于Q 则0B为VB在平面ABC的射影， VBC为VB与平面ABC所成的角。连OA OB 0C则OA OB 0C分别为斜线段 VA VB VC在平面ABC的射影。VA= VB= VC OA= OB= OC OABC为外心 ABC为直角三角形，且AC

45、为斜边r O为AC的中点VBO= 60 VB与平面ABC所成的角为60。143.已知：平面a门平面卩=直线a. 平行于直线b.3同垂直于平面Y,又同求证：（I旧丄丫；（n）匕丄丫.证明：证法一（I ）设aQ Y =AB卩n Y =AC在Y任取一点P并于丫作直线 PMIL AB PN丄AC 1 分 PMIL a .而 a a , PML a.同理PNL a.又 PM y , PN- a丄 y (n )于a上任取点Y丄a,4分Y ,6分Q过b与Q作一平面交a于直线 ai,交B于直线a2.7分同理b II a2.8分/ ai, a2同过Q且平行于b,/ ai, a2重合.又 ai a , a23 ,

46、 ai, a2都是a、3的交线，即都重合于 a.10分/ b I ai,. b/ a.而a丄y , b丄 y i2 分注：在第n部分未证明b/ a而直接断定b丄丫的，该部分不给分.证法二（I ）在a上任取一点P,过P作直线a'丄y i分T a 丄 y, P a,同理a' 卩.一一3分可见a'是a,卩的交线.因而a'重合于a.5分又a'丄丫，a丄 丫.6 分(n )于a任取不在a上的一点，过b和该点作平面与 d.t b II a , b II 3 . b I c, b/ d.刃该点作平面与咬于直线一同进过作平面与a交于直线c .同法过b作平面与3交于直线7分又 c 3 , d 3,可见c与d不重合.因而c / d.于是c / 3 .c I 3 , c a , aA3 =a,c / a.10 分b I c, a/ c, b 与 a 不重合(b a, a a ),b I a.11 分12分注：在第n部分未证明 b/ a而直接断定b丄丫的，该部分不给分.144.设 S 为 ABC 平面外的一点，SA=SB=SC ASB 2 , BSC 2 , ASC 2，若2 2 2sin sin sin ，求证：平面 ASC 平面ABC 解析：(1)把角的关系转化为边的关系(2)利用棱锥的性质(三棱锥的侧棱