立体几何平行证明问题讲义教师

1、立体几何平行证明问题讲义（一）平行的问题一“线线平行”与“线面平行”的转化问题（一）中位线法：当直线上没有中点，平面内有一个中点的时候，（如例1求证：PB/平面AEC P、B为顶点，平面AEC内E为中点）采用中位线法。具体做法：如例1,平面AEC的三个顶点，除中点E夕卜，取AC的中点0,连接EQ再 确定由直线 PB和中点E、O D确定的 PBD（连接 PBD的第三边BD），在 PBD中，E0为 PB的中位线。a规范写法：a/b,a ,b , b/b例1如图，在底面为平行四边形的四棱锥求证：PB/平面AEC ；P ABCD中，点E是PD的中点.例2三棱柱ABC ABiG中，D为AB边中点。求证:

2、AG / 平面 CDB,;AB1B【习题巩固一】1. （2011天津文）如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为平行四边形，0为AC中点 M为PD中点.（I）证明：PB/平面ACM ;ACB21. （2013年高考课标U卷（文）如图,直三棱柱ABC-ABG中,D是AB的中点.（1）证 明BC/ 平面 AiCD;2. （2011 四川文）如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1 中，/ BAC=90° AB=AC=AAi=1 ,延长 AiCi至点P,使C1P = A1C1，连接AP交棱CC1于D . 求证：PB1/平面BDA1；（二）平行四边形法：当直线上有一个中点 （如例1证明：F

3、O/平面CDE ； O为中点）采用 平行四边形法。具体做法：FO先与E连接（原因是 ECD的三个顶点E、C D中只有E与已知平行条件 EF/BC有关）,再与 ECD的另两个顶点CD的中点M相连，构成平行四边形 FOE（原因是 EF/OM, EF=OM,从而 FO/EM。规范写法（如图）：EF/GH,EF GH , EFGH 是平行四边形EH/FG,EH ,FG , EH /例1【天津高考】如图，在五面体 ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱EFBC . （1）证明：FO/平面CDE ;2例2 (2013年高考福建卷(文)如图，在四棱锥P ABCD中，PCL

4、平面ABCQ AB/ DC AB 丄AD BC= 5, DC= 3, AD= 4,Z PA 60° .若 M 为 PA 的中点,求证：DM /面PBC ;例3 (2010陕西文)如图，在四棱锥 PABCD中，底面 ABCD是矩形，PA丄平面ABCD,AP=AB, BP=BC=2，E，F 分别是 PB,PC 的中点.(I )证明：EF/平面 FAD; (II)若 H 是 AD 的中点，证明：EA/平面PHC【习题巩固二】1. 【2010 北京文数】如图，正方形 ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直EF/AC, AB=/2 ,CE=EF=1 (I)求证：AF/ 平面 BDE2. (

5、2013年高考山东卷(文)如图,四棱锥P ABCD中，AB/ CD, AB 2CD ,E为PB的中点(I )求证:CE/平面PAD ；3. （2012广东）如图5所示，在四棱锥P ABCD中，AB 平面PAD , AB/CD,PD AD ,1E是PB中点，F是DC上的点，且DF AB，PH为 PAD中AD边上的高。（3）证明：2EF/平面 PAD.图5 “线面平行”与“面面平行”的转化问题中截面法：当直线上有两个中点（如例1证明：MN /平面BCC& ）采用中截面法，如例1只要做出平面BCC&的中截面。MP NP 贝U面 MNP/平面 BCGB,具体做法：取AC中点P,连接,b

6、/【如下图】或者Tep1:a,b,aI b O,a',b',a/a',b/b'/【如上图】Tep2: /aa/（面面平行 线面平行）;例1三棱柱ABC A1B1C1中，M,N分别是AB , AC的中点.求证:MN / 平面 BCC ;C例2 （2013年辽宁卷（文）如图,AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点.（II） 设Q为PA的中点，G为 AOC的重心，求证： QG/平面PBC.【习题巩固三】1.如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD BC，E,F分别为棱AB,PC的中点.求证：EF II平面PAD .D2.如图,长方体

7、ABCD- A1B1C1D1中,M、N分别是AE、CD,的中点。（I）求证：MN /平面ADD1A1 ;3. （2012辽宁文科）如图，直三棱柱ABC A/B/C/，点M,N分别为Ab和BC，的中点。（I ）证明：MN /平面AACC ；立体几何经典题精选题重点复习题型篇（一）平行的问题参考答案一 “线线平行”与“线面平行”的转化问题（一）例1证明：连接BD AC BD=O连接E0,在 PBD中，OD=OJB E0为PB的中位线，EO/PB,又E0 面AEC, PB 面AEC , PB/面AEC例2证明：连接BSQC BE 0，连接OD在 ABC!中，OB 00 , 0D为AG的中位线，OD/

8、AC,又 0D 面 CDBAC, 面 CDB, AC,/ 面 CDB,【习题巩固一】1证明：连接BD，M0 ,在平行四边形ABCD中，因为0为AC的中点，所以0为BD的中 点，又M为PD的中点，所以PB/MO。因为PB 平面ACM，M0 平面ACM，所以 PB/平面 ACM。2. 证明：连接AC, A,C AC, 0,连接OD在 ABC,中，OA OC,，OD为BC,的中位线，OD/ BCi,又OD 面CDA, BC, 面CDA, BC,/面CDA,3. 连结 AB,与 BA,交于点 O,连结 OD, v CD /平面 AA,A,C, / AP, / AD=PD，又 AO=B,O, OD /

9、PBj 又 OD 面 BDAj PB,面 BDA,A PB, / 平面 BDA（二）例,证明：取CD的中点 M 连接OM EM EF/OM, EF=OM FOEMfe平行四边形，从 而 FO/EM,又EM 面CDE,FO 面CDE , F0/面CDE例2证明：取PB中点N ,连结MN , CN在 PAB中，M是PA中点, MN PAB , MN AB 3,又 CD PAB , CD 3 /. MN PCD , MN CD 2四边形MNCD为平行四边形，二DM PCN又DM 平面PBC, CN 平面PBC DM P平面PBC例3证明：（I ）在厶PBC中, E, F分别是PB PC的中点， EF

10、/ BC又 BC/ AD EF/ AD 又 T AD 平面 PADEF 平面 PAD EF/平面 PAD （II）连接FH易证EAFH是平行四边形，所以EA/FH,从而得证。【习题巩固二】1. 证明：（I）设AC, BD交于点G 因为EF/ AG且EF=1, AG=1 所以四边形AGEF为平行四边形，所以AF/ EG因为EG 平面BDE,AF 平面BDE所以 AF/平面BDE/4/因为CD 1ab，所以CE DM，2. 证明：取PA中点M，连结MD , ME 因为E是PB的中点，所以ME / 1 AB。2所以四边形MDCE是平行四边形，CE / DM ,又 CE 面 PDA,DM面 PDA，

11、CE/面 PDA3. 证明：取PA中点M，连结MD，ME。因为E是PB的中点，所以ME / 1 AB。因为DF / 1 AB，所以ME/ DF，2 2所以四边形MEDF是平行四边形，EF / DM ,又EF 面PDA, DM 面PDA， EF/面PDA“线面平行”与“面面平行”的转化问题 例1略例2连0G并延长交AC于M，连接QM，Q0,由G为AAOC的重心，得M为AC中点.由Q为PA中点，得QM /PC.又O为AB中点，得OM /BC.因为 QM n MO = M , BC n PC= C,所以平面 QMO /平面 PBC.因为QG 平面QMO，所以QG /平面PBC.【习题巩固三】1思路：取PB的中点M，连接ME、EF,证明面 MEF/面PAD