§8-1-多元函数的概念-副本Word版

1、第八章 多元函数微分学在自然科学和工程技术中，遇到的函数往往不只有一个自变量，通常它依赖于两个甚至更多个自变量.对于自变量多于一个的函数称为多元函数.一元函数微分学中的许多概念、方法与理论都可以推广到多元函数，同时也会产生许多新问题.由二元函数推广到二元以上的函数时不会发生什么困难.因此，本章主要以二元函数为研究对象来讨论和分析.8.1 多元函数的概念、极限与连续8.1.1多元函数的概念定义8.1.1设是平面上的一个非空点集，为三个变量若对于中任意一点，按照某一对应法则，总有唯一确定的数值与之对应，则称是的二元函数，记为其中称为自变量，称为因变量；集合称为函数的定义域；变量取值的集合称为该函数

2、的值域二元函数在点处所取得的函数值记为或类似地,可以定义三元函数以及三元以上的函数一般地，可以定义个变量的函数二元及二元以上的函数统称为多元函数例8.1.1已知，则.例8.1.2设求.解:将第一变量用，第二变量用来代，有=.8.1.2二元函数的定义域求二元函数定义域的方法与一元函数相类似：在数学上，对用解析式表达的二元函数，使该二元函数的表达式有意义的点的集合称为二元函数的定义域；实际问题中的二元函数，则要根据自变量的具体意义及问题本身对自变量取值的限定范围来确定其定义域例8.1.3求下列函数的定义域，并用图形表示.(1) ；（2）.解:(1)要使函数的解析式有意义，必须满足，所以函数的定义域

3、是，即以原点为圆心、半径为的圆内及圆周上一切点构成的集合，如图8-1所示.(2)要使函数的解析式有意义，必须满足，所以函数的定义域是(如图8-2所示).二元函数的定义域，在数学上常表示为的不等式或不等式组；在几何上则常常是一条或几条线及一些点来界定平面的一部分1 / 32设X是一平面点集,如果对于X内的任意两点,都可用含于X内的一条折线相连结,则称点集X是连通的,称连通的点集为区域.例如,图8-1、图8-2所示的都是区域.通常区域是由一条或几条曲线所围成，围成区域的曲线称为区域的边界；包括边界在内的区域称为闭区域，不包括边界在内的区域称为开区域；区域内的点称为内点，边界上的点称为边界点.如果区

4、域能含于一个以原点为中心，半径适当大的圆内，则称该区域是有界区域，否则，称为无界区域8.1.3二元函数的图形取定空间直角坐标系后，从二元函数的定义域中任取一点，把所对应的函数值作为竖坐标，就在空间得到了一个对应点，当点遍取上所有的点，对应点的全体形成空间的一张曲面，曲面称为函数的图形，而也就是曲面的方程.曲面在平面上的投影即为函数的定义域的图形，如图8-3所示例如，的一次函数的图形是一个平面；函数的图象是球心在原点、半径为的上半球面；函数的图象是上半椭球面8.1.4二元函数的极限定义8.1.2设函数在点的某空心邻域内有定义，如果当点以任意方式趋向于点时，总趋向于一个确定的常数，那么就称是二元函

5、数当时的极限，记为或.在定义中应注意点趋向于点的方式是任意的，即趋向于常数与的方式无关.与一元函数相类似，二元函数的极限也有四则运算法则，同样地，一元函数求极限的方法也可以推广到求二元函数极限.例8.1.4求下列极限：(1) ；(2) .解：(1) 原式=(2) 令，有.例8.1.5证明：函数当时极限不存在证明:当沿直线趋于时，有=,显然，当沿不同斜率的直线(即不同的)趋于时，趋于不同的值，根据二元函数极限的定义，有当时极限不存在.8.1.5二元函数的连续定义8.1.3设函数在点的某邻域内有定义，如果，则称函数在处连续，称为函数的连续点如果在区域内的每都一点连续，则称它在区域内连续显然，如果函

6、数在处连续，则必须同时满足三个条件：1.在点的某邻域内有定义；2.极限要存在；3.若以上三条中有一条不满足，点就称为间断点，称函数在点处间断.例如,函数，当时极限不存在，所以在点处间断.又例如,函数，因为在抛物线上的每一点都无定义，所以抛物线上的每一点都是函数的间断点也称抛物线 是函数的间断线.相应于闭区间上连续函数的性质，在闭区域上连续的函数也有如下性质.性质1（最大值和最小值定理）在有界闭区域上连续的函数必有最大值和最小值。性质2（介值定理）在有界闭区域上连续的函数必取得介于函数最大值和最小值之间的任何值.习题8-11.设函数，试求:(1)；(2)；(3).2.确定并画出下列函数的定义域D

7、：(1)；(2)z=.（3）； （4）；（5）； （6）.3.求下列极限：(1)；(2)4.求下列函数的间断点或间断曲线：(1) ；(2)；(3) ；(4) .8.2偏导数前面已经学习了一元函数的导数，它定义为函数的增量和自变量增量的比值的极限，现在将导数的概念推广到多元函数，从而得到偏导数的概念.8.2.1 一阶偏导数1.一阶偏导数的概念在研究多元函数时，经常需要考察多元函数关于其中某一个变量的变化率，而其余变量暂时看作常量，先看一个实例.例8.2.1一定量的理想气体的压强、体积和热力学温度之间，遵循波义耳-马略特定律，即这三者之间存在如下的函数关系： (比例系数是常数)当温度一定(=常数)

8、时，压强关于体积的变化率为；当体积一定(=常数)时，压强关于温度的变化率为.定义8.2.1设函数在点的某一邻域内有定义，当自变量保持不变，而自变量有增量时，函数相应地有关于的增量（偏增量）,如果极限存在，则称极限值为函数在点处关于的偏导数，记作或 或 或即=类似地，可以定义函数在点处关于的偏导数：= 2.一阶偏导函数如果函数在区域内每一点处对或的偏导数都存在，那么求偏导数的结果还是的函数，称为函数对自变量或的偏导函数，记作, , , 或 , , ,有了函数的偏导函数，在某点处的偏导数是相应偏导函数在处的函数值在不会引起混淆的地方，也把偏导函数简称为偏导数注意偏导函数和中仍然是变量，求偏导数和时

9、，暂时只让或变动, 另一个变量相对地看做常量，求偏导完成后，仍然是变量二元函数偏导数的概念可以推广到二元以上的多元函数.3.偏导数的求法 由偏导数的定义可以知道，对某一变量求偏导数，就是将其他变量看作常数，对该变量进行求导，求偏导数与求一元函数的导数的方法相同.例8.2.2求函数的偏导数和，并求和.解:将看作常量，有,将看作常量，有,于是；.例8.2.3求函数的偏导数和.解:将看作常量，有,将看作常量，有.例8.2.4求函数的两个偏导数.解:将看作常量，有,将看作常量，有.例8.2.5设函数，求其三个偏导数解:此函数为三元函数，求函数对某一自变量的偏导数，应将其它两个自变量看作常量.从而有，.

10、8.2.2 二阶偏导数二元函数的两个一阶偏导数一般仍为的二元函数，如果这两个偏导数 仍存在对的一阶偏导数，则可以继续对它们求一阶偏导，并称求偏导数的结果为函数的二阶偏导数依照对变量的不同求导次序，二元函数的二阶偏导数有下列四个：；.分别用下列记号来表示：=；=；=；=.其中，称为二阶混合偏导数.例8.2.6求函数的四个二阶偏导数解:因为, ，所以=6xy2；.由例8.2.6可见，两个二阶混合偏导数，虽然对和的求导次序不同，但它们是相等的，即一般地，有如下定理：定理8.2.1如果函数的两个二阶混合偏导数和在其定义区域内连续，则在内这两个二阶混合偏导数一定相等，即有.这个定理说明，只要两个二阶混合

11、偏导数连续，则它们与求导次序无关.习题8-21.求下列函数对和的偏导数（1）；（2）；（3）；（4）;(5)；（6）；（7）2. 设，求，.3. 设，求.4. 设函数，证明.5. 设函数，求其四个二阶偏导数.6. 设函数，求偏导数.8.3全微分及其应用在求一元函数的增量时，可以用微分来近似表示.当很小时，用微分作为的近似值，所产生的误差为的高阶无穷小.将此方法推广到二元函数上，建立和微分概念类似的全微分概念.8.3.1 全微分的定义1.全微分的概念一般地，设函数在点的某邻域内有定义，分别给自变量以改变量，,则称为函数在点处相对于自变量的改变量的全增量定义.设函数在点的某邻域内有定义，如果在点处

12、相对于自变量的改变量、的全增量能表示成，其中是与无关的数，为的高阶无穷小，则称函数在点处可微，且称为在点处的全微分，记作或或，即.可以证明：定理8.3.1若在点可微，则二元函数的两个偏导数和一定存在，且有和.所以，.定理8.3.2若二元函数的两个偏导数和在点存在且连续，则 在点一定可微.现将二元函数在点处的微分推广到任一点处的微分，有.习惯上分别记作和，于是二元函数的全微分又可记为.二元函数全微分的概念可以推广到三元和三元以上的函数。例如，如果三元函数的三个偏导数都连续，则.例8.3.1求函数的全微分.解：，.的定义域为，在定义域内都是连续函数，因此存在，且有.例8.3.2求函数在处当、时的全

13、微分.解：，所以.8.3.2 全微分在近似计算中的应用设函数在点 处可微，则函数的全增量与全微分之差是比高阶的无穷小，所以当和都很小时，全增量可以近似地用全微分代替，即例8.3.3有一正圆锥体，其底面半径r由60cm增大到60.1cm，高h由90cm减小到89.5cm，求体积V改变量的近似值解:圆锥体体积公式为 ,.记 ， ,， . 即此圆锥体的体积约减少了240 例8.3.4求的近似值 解:设，取,.因此，.习题8-31. 求函数在点处当时的全增量及全微分2. 求下列函数的全微分(1) ；(2) ；(3)（）；(4).3求下列近似值（1）；（2）.4.设有一无盖的圆柱形容器，其侧壁和底的厚度

14、都是，内径为，深为，求此容器外壳体积的近似值.8.4多元复合函数的微分法在一元函数微分学中，复合函数的链式求导法则是最重要的求导法则之一，它解决了很多比较复杂的函数的求导问题对于多元函数，也有类似的求导法则.8.4.1多元复合函数的求导法则1.二元复合函数求导法则与一元复合函数求导相比，二元复合函数的求导问题要复杂的多.对于二元函数，中间变量和都可以是和的二元函数；也可以只是某一个变量的函数，还可能中间变量和分别是不同个数自变量的函数，譬如是的函数，而只是的函数；等等.下面讨论二元复合函数的求导法则，对二元以上的多元函数的求导法则可类似推出定理8.4.1设函数是的函数，若在点处偏导数都存在，在

15、对应点处可微，则复合函数在点处关于的两个偏导数都存在，且 (8-1)借助于复合函数的函数结构图对复合函数求偏导数的过程进行分析.函数的结构图，如图8-4所示.从函数结构图可以看出，和的函数关系可以由两条路径得到.一条是经中间变量到达自变量，还有一条是经中间变量到达自变量的.从公式(1)的第一式可以看出，和的函数关系有两条路径，对应公式中就有两项，其中每一项由两个因子的乘积表示，两个因子的乘积都是函数关于中间变量的偏导数和中间变量关于自变量的偏导数的乘积构成.例8.4.1设，求和解：令，则 函数结构图，如图8-5所示.=+=,=+=.例8.4.2设，求和解：令，则，函数结构图，如图8-5所示.=

16、+=,=+=.2.二元复合函数求导法则的推广和变形多元复合函数的中间变量可能是一个，也可能多于一个，同样，自变量的个数可能只有一个，也可能是两个或者更多.可以对定理8.4.1进行推广和变形，分以下几种情形讨论：（1）当函数有两个中间变量，而自变量只有一个，即函数结构图，如图8-6所示.因此(8-1)变形成为因为复合结果和中间变量都是的一元函数，应该使用一元函数的导数记号；为了与一元函数的导数相区别，我们称复合后一元函数的导数为全导数当函数有三个中间变量，而自变量只有一个，即,函数结构图，如图8-7所示.因此公式(8-1)可以推广成为（2）当函数有一个中间变量，而自变量有两个.例如.函数结构图，

17、如图8-8所示.此时(8-1)变形成为在上面第一个式中，表示在复合函数中，把看作常量，求得的对的偏导数；表示在复合函数中，把看作常量，求得的对的偏导数，因此和表示的含义不同，在求偏导数是一定要注意，记号上不能混淆.例如，函数结构图，如图8-9所示.此时(8-1)变形成为(3)当函数有两个中间变量，而自变量有三个，即函数结构图，如图8-10所示.公式(8-1)推广成为(4) 当函数有三个中间变量，而自变量有两个，例如函数结构图，如图8-11所示.公式(8-1)推广成为例8.4.3设,求解:=例8.4.4,求解: 设中间变量。函数结构图，如图8-12所示。+=.例8.4.5若函数，证明.证明：令，

18、则,从而有.复合函数求偏导数时要注意：函数关系要明确，复合层次要清晰，最好画出函数结构图；在求偏导数的过程中，要注意求导数与偏导数的区别，要注意记号与的区别.一般情况下，如果复合函数的层次只有两层，那么中间变量有几个，则其偏导数（全导数）在形式上必由几项的和构成，其中每一项由两个因子的乘积表示，两个因子的乘积都是函数关于中间变量的偏导数（导数）和中间变量关于自变量的偏导数（导数）的乘积构成.8.4.2二元隐函数的求导公式在一元函数微分学中，求由方程确定的隐函数的导数，是通过方程两边同时对求导，并注意到是的函数，的函数是的复合函数.现在利用多元函数求偏导数的方法求隐函数的导数，并将此结果推广到多

19、元隐函数的求偏导数的情况.1.由方程确定是的函数将代入方程，得到，函数结构图，如图8-13所示，等式两边对求全导数得,便得到F(=0所确定隐函数的求导公式：.这就是利用多元函数求偏导数的方法求隐函数的导数公式.例8.4.6求由方程确定的隐函数的导数.解:设，则，,由隐函数求导公式.2.方程确定的隐函数即,函数结构图,如图8-14所示，方程两端分别关于求偏导数，把原方程中的看做中间变量根据复合函数求导法则，可得=0, =0，在0的区域内，得到隐函数的两个偏导数为和 ,这就是二元隐函数求偏导数的公式例8.4.7由方程确定为和的函数，求，解:设.则, ，所以,.习题8-41. ,，求, 2. (1)

20、设，求, (2)设，求.3. (1)设，而，求.(2)设，求.(3)设，求，.4. 证明可微函数满足5. 设,求 6.(1)设，而，求.(2)设，求.7. 设，而，求.8. (1)设，求.(2)函数由方程确定，求.*8.5偏导数的几何应用8.5.1空间曲线的切线和法平面定义.设是空间曲线上的一点，是上与邻近的点当点沿趋于点时，若割线存在极限位置，则称为曲线在点处的切线，如图8-15所示，过点与垂直的平面，称为曲线在点处的法平面设空间曲线G的参数方程为点对应的参数，即，点对应的参数，的方向向量为=,则割线的方程为各式分母同除以Dt，得现设在处可导，且导数不同时为0，则当时，存在极限方程为.曲线G

21、在点处切线的方向向量称为G在点处的切向量在点处的法平面以为法向量，根据平面方程的点法式，可得法平面方程为.例8.5.1求曲线在点处的切线及法平面方程解: 点所对应于的参数,所求的切线方程，法平面方程,即.8.5.2曲面的切平面和法线通过曲面上一点，在曲面上可以作无数多条曲线，若每一条曲线在点处都有一条切线，可以证明这些切线落在同一个平面上，称该平面为曲面上一点处的切平面。过与切平面垂直的直线称为曲面在点处的法线，如图8-16所示.设曲面的方程为,是曲面上的一点.可以证明向量可以作为曲面在点处的法线的方向向量，从而也可以作为曲面在点处切平面的法向量.因此，曲面在点处切平面方程为.在点M0处的法线

22、方程为.例8.5.2求球面上一点处的切平面方程和法线解:令，则,于是球面在处的切平面的法向量为，所以切平面方程为,即 ,法线方程为 ,即 .习题8-51. (1)求曲线在点处的切线与法平面方程. (2)求曲线在处的切线和法平面方程.2. 求出曲线上的点，使在该点的切线平行于平面.3. (1)求椭球面上平行于平面的切平面方程. (2)求曲面的切平面方程，使它垂直于已知直线.8.6多元函数的极值和最值学习一元函数的导数应用时，借助于导数解决了某些极值和最值问题.本节介绍如何利用偏导数解决有关多元函数的极值和最值问题.本节的内容和方法和一元函数相对应，是一元函数极值和最值的推广.8.6.1 二元函数

23、极值的概念1.二元函数极值定义定义.设是函数的定义域内一点，若存在的一个包含在内的邻域，对于该邻域内所有异于点的点，都有 或,则称是函数的极大值(或极小值)，称为的极大值点(或极小值点)极大值和极小值统称为极值；极大值点和极小值点统称为极值点例如：在点处取得极小值4.在的任意邻域内，既能取正值，也能取负值，所以不是的极值点如果函数在处取得极值，从极值的定义可以得到一元函数在处取得极值.根据函数极值存在的必要条件，如果函数的导数存在，则导数在处的值一定等于零，即.同理，如果函数在处取得极值，从极值的定义可以得到一元函数在处取得极值。根据函数极值存在的必要条件，如果函数的导数存在，则导数在处的值一

24、定等于零，即.因为，从而有如下定理.2.极值存在的必要条件定理8.6.1(极值必要条件)如果函数在点处两个偏导数都存在，且函数在P0处取得极值，则必有,使同时成立的点，称为函数的驻点. 注意：驻点仅是取得极值的必要条件，即函数在驻点不一定取得极值例如是函数的驻点，但并不是极值点3.极值的充分条件定理8.6.2(极值存在的充分条件)设为函数的驻点，且函数在点的某邻域内有二阶连续偏导数记, ,则(1) 当时，是函数的极值点；且若，为极小值点，若，为极大值点；(2) 当时，不是函数的极值点；(3) 当时，不能判定是否是函数的极值点例8.6.1求函数的极值解：解方程组，得驻点,所以在驻点处，有，则，又

25、，由取得极值的充分条件，可知点为极小值点，极小值为. 例8.6.2求函数极值 解：解方程组，得驻点, 对于驻点，有，则 ，可知驻点不是极值点.对于驻点，有，则 ，且顾由取得极值的充分条件，可知点为极小值点，极小值为.8.6.2 多元函数的最值对于一元函数而言，在闭区间上连续的函数必有最值.对于二元函数也有类似的结论：在有界闭区域上连续的函数必定存在最大值和最小值.对于二元可微函数，如果该函数的最值在区域内部取得，这个最值点必在函数的驻点之中；如果函数最值在区域的边界上取得，则它一定也是函数在边界上的最值.因此，求函数的最值的方法是：将函数在所讨论的区域内的所有驻点求出来，将函数在驻点处的函数值

26、与函数在边界上的最大值和最小值进行比较，其中最大者就是函数在闭区域上的最大值，其中最小者就是函数在闭区域上的最小值. 例8.6.3求函数在闭区域上的最大值和最小值. 解：函数在闭区域上是连续的，最大值和最小值一定存在.，令，得驻点，且.考虑函数在区域边界上的情况.区域边界是一个圆，在边界上，函数成为的一元函数,.对此函数求导，有，令，得到函数在上的驻点为，此时相应的函数值为，又，所以函数在闭区域上的最大值为，它在点和处取得；最小值为，它在点处取得.在实际问题中，常常从问题的本身能断定它的最值肯定存在且在问题考虑范围的内部达到，这是如果函数在定义区域内仅有唯一一个驻点，那么该驻点的函数值就是函数

27、的最大值或最小值例8.6.4欲做一个容量一定的长方体容器，问应选择怎样的尺寸，才能使此容器的材料最省？解:设箱子的长,宽,高分别为，容量为，则，箱子的表面积为要使使用的材料最少，则应求S的最小值由于，所以，令 ，求得唯一的驻点根据问题的实际意义可知一定存在最小值，所以可以断定即为的最小值点，即当时，函数取得最小值此时，所以长方体实际上是正方体这表明在体积固定为长方体中，以正方体的表面积最小，最小值*8.6.3条件极值以上讨论的极值问题，自变量在定义域内可以任意取值，没有受到任何限制，通常称这样的极值问题为无条件极值问题.但是，在实际问题中，求极值或最值时，对自变量的取值往往要附加一定的约束条件

28、，这类附有约束条件的极值问题，称为条件极值.条件极值问题的一般提法是：求目标函数在约束条件下的极值.求解这一条件极值问题的常用方法是拉格朗日乘数法.拉格朗日乘数法求极值的具体步骤如下：(1) 构造辅助函数；(2) 求函数的驻点，即联立解方程组：得到驻点；(3) 判别求出的是否为极值点，通常根据实际问题的实际意义去判定.例8.6.5试用条件极值的方法解决例8.6.4的问题解:设箱子的长、宽、高为，要求容量为，表面积为问题归结为在约束条件下，求的极小值 令 ，解方程组 得因为实际问题有极小值，而可能达到极值的点又唯一，所以极小值必定在此点达到，即当时表面积最小，最小值习题8-61.函数在适合条件时

29、的极大值.2.从斜边长为的一切直角三角形中，求周长最大的直角三角形.3.求下列函数的极值.(1) (2)；(3）求在条件下的极小值.4.求函数的极值.5.求函数在区域上的最大值和最小值.6.求曲面上在第一卦限中的一点，使它到原点的距离为最小.8.7软件应用8.7.1在中作二元函数的图形1定义多元函数在中多元函数的定义方式与一元函数相同，如定义二元函数的命令格式：x_，y_：=.2二元函数的作图用内建函数来实现二元函数的作图，命令格式：二元函数表达式，变量，下限，上限，变量，下限，上限，可选项，例8.7.1画出函数z=sin(x y)的图形.解:如图8.7-1所示.图8.7-18.7.2偏导数在中用内建函数D来求偏导数，它的命令格式：(1),或，表示计算函数f关于x的偏导数；(2),，表示计算函数f关于，,的混合偏导数；(3). ,，表示计算函数f关于x的n阶偏导数.例8.7.2设，求，.解：如图8.7-2所示.图8.7-2例8.7.3设，求对，