平新乔课后习题详解第16讲--一般均衡与福利经济学的两个基本定理

1、平新乔微观经济学十八讲第16讲一般均衡与福利经济学的两个基本定理1.考虑一种两个消费者、两种物品的交易经济，消费者的效用函数与禀赋如下1e1=718,422ux,X2=lnx2lnX2e=3,6(1)描绘出帕累托有效集的特征(写出该集的特征函数式)；(2)发现瓦尔拉斯均衡。解：(1)由消费者1的效用函数u1(x,x2)=(/x2j,可得 MU1=2x1x22,MU2=2x；x2,1_21MU12x1x2_x2MU2-2x12x2-x1在帕累托有效集上的任一点，每个消费者消费两种物品的边际替代率都相同，即:12MRS12=MRS12从而有:12x2x22x12x1又因为 x2=10-x2,x2=

2、21-x1,把这两个式子代入式中，就得到了帕累托有效集的特征函数:x1210-x；x；一42一2乂(2)由于瓦尔拉斯均衡点必然位于契约曲线上，所以在均衡点式一定成立。此外在均衡点处，预算线和无差异曲线相切(如图16-1所示)，这就意味着边际替代率等于预算线的斜率，即:联立、两式，解得：x；=58/4,x2=58/11。故消费者1的边际替代率为MRS112同理可得消费者2的边际替代率为 MRS2二工一2月2x1=MRS112x1P4x2P2x；-18进而有 x；=21-父=26/4,x2=10-x1=52/11。2 .证明：一个有n种商品的经济，如果(n_1)个商品市场上已经实现了均衡，则第n个

3、市场必定出清。证明：假设第k种商品的价格为pk,kwl,2,，n。系统内存在I(I为正整数)个消费者，第i个消费者拥有第 k 种物品的初始禀赋为 ek,而第i个消费者对第 k 种商品的消费量为 xk,根据瓦尔拉斯定律可知系统中的超额的市场价值为零，即:nPkrixk-xek=0k土i.ii.i当前n-1个商品市场已经实现均衡，即前n-1个商品市场的超额需求为零，这时有:n_1PkXxk-xek-Pnxk-vek=0k1i三IidI闫PnXxk-xek=0i-Ii-I、xk=0,有：ED3tP=4tP2-2tp3-2=4P2-2P3-2=ED3PtP1tP1P1P1所以 ED2和 ED3关于 P

4、1、P2与 P3是零次齐次的。(2)根据瓦尔拉斯法则可知，均衡时每种商品的超额需求的价值之和为零，即：ED1+ED2+ED3=0如果 ED2=ED3=0 由可知 ED1=0,把 ED?和 ED3的表达式代入式中，可以解得：当市场达到均衡时，必有 ED2=ED3=0,即：3 旦-2=-1P1P14 贬-2-P3=2P1P1解得:P2Q二 3P1m2Pi10P2i=1,2Pi30Pi20P2Pi-P22P2-20=01的马歇尔需求函数为:5P1P1-P2消费者2的马歇尔需求函数为:肛喏喏 I 喈23P1-1=ED2PED1=3比一2公P1P1-1-4反-2-2=3P1PP1(3)于是pl=曳且=5

5、P2P2Pl35 .考虑一种两人、两物品的纯粹交易经济。消费者的效用函数与禀赋如下22ux,x2=xx28x9x2e=10,10求：(1)对两种物品的超额需求函数。(2)为该经济决定均衡价格比率。解：(1)由题设所给的效用函数可以得出每个消费者的马歇尔需求函数为：15p2111plx1p,P2=-21x2P1,P292P12P221P2219Plx1IP1，P2=-9x2I：P1，P2=12P12P2所以两种商品的超额需求函数为：ED1=x；+x：8-10=5+21旦+1+9匹-18=30史-152pl2P1P1ED2=x；+x2-10-30=口父包+91P十140=15&-302P2

6、2P2P2(2)当经济达到均衡时，每个市场的超额需求为零，即：P2P13015=15-30=0P2解得：艮=2。P26 .判断下列命题，并给出理由：(1)如果知道了契约线，则我们就知道了任何交易的结果。(2)如果已达到了帕累托有效，则就无法使任何人的状况再得以改善。答：(1)错误。理由如下：契约线是埃奇沃斯方框图中所有帕累托有效的分配点的集合，但是对于一个具体的交易而言，其最终结果还依赖于每个消费者的初始禀赋，如图16-2所示，其中A和B是初始禀赋点，可见不同的初始禀赋导致不同的均衡结果。1ux,x2=x&12x13x21e=8,30图16-2不同的初始禀赋导致不同的均衡(2)错误。理

7、由如下：帕累托有效是指在不损害其他任何人的利益的条件下，不能使经济系统中某些人的境况变得更好。但是如果允许损害某些人的利益，那么对帕累托有效的配置而言，就有可能使某些人的境况变得更好。比如在一个包括两个消费者和一种商品的经济中，其中一个人拥有全部的商品，而另一个人一无所有，这是一个帕累托有效的配置；但是现在让情况反过来，使得原来一无所有的人拥有全部商品，那么这个人的境况就得到了改善。7 .请证明：在两物品、两个消费者的纯粹交易经济里，帕累托有效的一个必要条件是.u1;X；u2:X这里，上标表本人，下标表木物。证明：根据定义，帕累托有效的资源配置可以通过以下最大化问题得到:1111max2ux1

8、,x2x1，x1，x2，x2，、F222st.uxi,x2=u12xi+x=ei=1,2构造这个问题的拉格朗日函数:效用最大化的一阶条件为:11二X2”22-2.r,Z.Z.二x1I2,Lu从而可得到:8 .在一个岛上，有200磅粮食要在两个孤立无援的水手之间分配。第一个水手的效用函数为u=户，其中E是由第一个水手消费的数量。对于第二个水手，其粮食消费的效用函数为七=1F202(1)如果粮食在两个人之间平均分配，他们各自的效用是多少？(2)如果他们的效用相等，粮食应如何分配？(3)要使两个人的效用之和最大，应如何分配粮食？(4)假设第二个水手的能够求生的效用水平是5,如果想要在第二个水手得到最

9、低效用水平的前提下使效用之和最大化，应如何分配粮食？.u1?x2：u2灰L(,x2,x2,x|心1(x；,x2u-u2(X12,x2，H(x；+x；-01)-(x2+x|-e2)-i：Xi-1.xn1;u-2=0(5)假定两个水手都赞成的社会福利函数为W=u11/2u21/2。那么，在两个水手之间应怎样分配粮食才能使社会福利最大化？解：(1)如果粮食在两个人之间平均分配，即 F1=F2=100。他们各自的效用分别是:u1三 9,耳=100=10(2)如果使两个水手的效用相等，即，可、庐时，解得 F1=0.25F2。又因为 F1+F2=200,从而解得 F1=40,F2=160。故他们的效用相等

10、，则第一个水手消费40磅粮食，第二个水手消费160磅粮食。(3)两个人的效用和最大化问题为：mcJX.F10.5.F2s.tF1+F2=200从约束条件中解出 F2,并把它代入目标函数式中，就有:050.5omaxoF1u.50.5200-F1从一阶条件解得：F1=160,F2=40。要使两人效用之和最大，第一个水手和第二个水手分别消费粮食160磅、40磅。(4)这相当于求解如下最优化问题：maxF10.5,F2s.tR+F2=200F2.100从式 F1+F2=200 中解出 F2,并把它代入目标函数式中，就有:25嘴乐户+0.520由于目标函数式在 E=160 时，取得惟一的最大值。所以，

11、当 F1E160 时，目标函数式的值随着匕的增加而增加，又因为 F2A100。所以满足题目条件的解为 F1=100,从而 F2=100。故如果想要在第二个水手得到最低效用水平的前提下使效用之和最大化，两个水手各消费100磅粮食。(5)将两个水手的效用函数代入社会福利函数中，可得：WF1,F2=-22E14F24又 F+F2=200,则W(F1,F2尸 W(F1)=-yF1114(200-F1J/4,社会福利最大化的一阶条件为：解得：F=100,因此 F2=200-F=100。故要使社会福利最大化，两个水手各消费100磅粮食。9.甲有6瓶汽水，1块面包；乙有1瓶汽水，4块面包。两人对汽水与面包的

12、效用函U21=2,F2H5.100=5dW.2dF18-yF114200-F134=0数一样，都为u=xy,x为汽水瓶数，y为面包块数。现在相互交换汽水与面包，但只能整瓶与整块地换。甲先提议：“我要用A瓶汽水换你B块面包”。问；(1)A与B各为多少时，交换才可能成功，且对甲最有利？(2)如果u=(1/a(lnx+lnyA与B又将是多少？解：(1)甲的起始效用是6,乙的起始效用是4。如果甲用A瓶汽水换B个面包，则交换后，甲的净增效用为：6-A1B；-6=6B-A-AB乙的净增效用为：1A4-B-4=4A-B-AB下面对A和B所有可能的值进行枚举，得到表16-1,特别地，表中只列出了两个人的净增效

13、用都大于零的组合(每一方格中的第一个数字是甲的净增效用，第二个数字是乙的净增效用)。表16-1交换带给每个人的净增效用1 12 234 451 14,24,22,52,50,80,82 29,09,06,26,23,43,40,60,63 3观察上表可知，对甲最有利的交换是：甲用1瓶汽水交换乙的2块面包。(2)由于ur=-lnu,每个人的新的效用函数只是原来效用函数的单调变换，根据单调a变换的性质可知新的效用函数表示的每个人的偏好并没有变化。因此对甲最有利的交换仍然是：甲用1瓶汽水交换乙的2块面包。10.设有两种产品，鱼6吨和肉9吨，分给甲、乙两人。甲分到A吨鱼，B吨肉；乙分到C吨鱼，D吨肉。

14、甲、乙的效用函数分别为11u甲=A2B311u乙=C2D4(1)请推导：当分配方案达到帕累托最优时，A、B所满足的关系式。(注：表示成A=f(B)的形式。)(2)如果有三种产品，鱼6吨、肉9吨和蛋12吨，分给甲、乙两人。甲分到A吨鱼,B吨肉，C吨蛋；乙分到D吨鱼，E吨肉，F吨蛋。甲、乙的效用函数分别为111u?=AB3C；111ui=DE；F当分配方案达到帕累托最优时，两个人的边际替代率相等，即:3B2E2A一D2c3F请推导：当分配方案达到帕累托最优时,A、B、C所满足的关系式。（注：表示成A=f（B）,A=g（C）的形式。）11解：（1）由甲的效用函数由 uAB3可得,AMU甲D11JMU=A2B3。故甲关于3A鱼和肉的边际替代率为：MRSAB=吗MU甲1111A?B3212底细年33BO2