差分方程模型讲义综述

1、差分方程模型一.引言数学模型按照离散的方法和连续的方法，可以分为离散模型和连续模型。1.1.确定性连续模型1）微分法建模（静态优化模型），如森林救火模型、血管分支模型、最优价格模型。2）微分方程建模（动态模型），如传染病模型、人口控制与预测模型、经济增长模型。3）稳定性方法建模（平衡与稳定状态模型），如军备竞赛模型、种群的互相竞争模型、种群的互相依存模型、种群弱肉强食模型。4）变分法建模（动态优化模型），如生产计划的制定模型、国民收入的增长模型、渔业资源的开发模型。2.2.确定性离散模型1）逻辑方法建模，如效益的合理分配模型、价格的指数模型。2）层次分析法建模，如旅游景点的选择模型、科研成果的

2、综合评价模型。3） 图的方法建模， 如循环比赛的名次模型、 红绿灯的调节模型、 化学制品的存放模型。4）差分方程建模，如市场经济中的蛛网模型、交通网络控制模型、借贷模型、养老基金设置模型、人口的预测与控制模型、生物种群的数量模型。随着科学技术的发展，人们将愈来愈多的遇到离散动态系统的问题，差分方程就是建立离散动态系统数学模型的有效方法。在一般情况下，动态连续模型用微分方程方法建立，与此相适应，当时间变量离散化以后，可以用差分方程建立动态离散模型。有些实际问题既可以建立连续模型，又可建立离散模型，究竟采用那种模型应视建模的目的而定。例如，人口模型既可建立连续模型（其中有马尔萨斯模型 Malthu

3、s、洛杰斯蒂克 Logistic 模型），又可建立人口差分方程模型。这里讲讲差分方程在建立离散动态系统数学模型的的具体应用。二.差分方程简介在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的数学模型也是离散的，譬如，像政治、经济和社会等领域中的实际问题。有些时候，即使所建立的数学模型是连续形式，例如像常见的微分方程模型、积分方程模型等。但是,往往都需要用计算机求数值解。这就需要将连续变量在一定的条件下进行离散化，从而将连续型模型转化为离散型模型。因此，最后都归结为求解离散形式的差分方程解的问题。关于差分方程理论和求解方法在数学建模和解决实际问题的过程中起着重要作用。1 1 . .差分方程的

4、定义给定一个数列,把数列中的前门+1项、。=0,1,21力）关联起来得到的方程，则称这个方程为差分方程。2 2 . .常系数线性齐次差分方程常系数线性齐次差分方程的一般形式为或者表小为F(n,Xn,Xni,Xnk)=0其中k为差分方程的阶数，其中 ai,a2,，ak为差分方程的系数，且 ak=0（kWn）对应的代数方程kk-1k-2a11a2ak=0称为差分方程（1）的对应的特征方程。（2）式中的k个根%,%,，称为（1）式的特征根。2.12.1 差分方程的解常系数线性齐次差分方程的解主要是由相应的特征根的不同情况有不同的形式。下面分别就特征根为单根、重根和复根的情况给出方程解的形式。2.1.

5、12.1.1特征根为单根（互不相同的根）(2)设差分方程（1）有k个单特征根（互不相同的根小儿,人,则nnnxn=G11c22-2ckk为该差分方程(1)的通解。其中 G,C2,，Ck为任意常数，且当给定初始条件Xi=x)，(i=1,2,，k)(3)时，可以确定一个特解。例 1 1 在信道上传输三个字母a,b,c且长度为 n 的词，规定有两个 a 连续出现的词不能传输，试确定这个信道允许传输的词的个数。解：令 Xn表示允许传输且长度为为 n 的词的个数，n=1,2,3,，通过简单计算可得 x1=3,(a,b,c),x2=8(即 ab,ac,bc,bb,cc,ba,ca,cb)当n之3时，若词的

6、第一个字母是b或 c,则词可按 Xn种方式完成；若词的第一个字母是 a,则第二个字母是 b 或 c,该词剩下的部分可按4/种方式完成。于是得差分方程Xn=2xnJ-2xn_2(n=3,4,)其特征方程为九一2九一2=0,特征根为%=1+3,九2=1-3则通解为xn=G(13)nC2(1-3)n,(n=3,4,)利用条件 x1=3,x2=8求参数 C1,C2,即由J&(1+V3)+c2(1-Q)=3c1(1+V3)2+c2(1-百)2=8,解得23-23G 二,c2-2323故得到原差分方程的通解为23n-2Xn=(1+y3)n+(1-V3)n,(n=1,2,3,4，)232,32.1.

7、22.1.2 特征根为重根设%，兀是k阶差分方程 Xn+a1Xn+a2XnN+HkXn=0的il(1lWk)个根，重数分别为 m1,m2,b,ml,且工mi=k,则该差分方程的通解i1m2mii-1n-i_1ni_1nXn二GE1yC2in2-Clin同样的，有给定的初始条件(3)可以唯一确定一个特解。例 2 2 设初始值为 X0=1,Xi=0,X2=1,X3=2,解差分方程Xn+xnJL3%二5x2x=0,(n=4,5，)解：该差分方程的特征方程为432九十九一3九一5九一2=0,解得其根为-1,-1,-1,2,故通解为Xn=G(-1)nc2n(-1)nqn2(-1)nc42n代入初始条件X

8、0=1,X1=0,X2=1,X3=2,得42G=，G=52故该差分方程的满足初始条件的解为297一,c3=一,c45252105242/八n29/记72、n10onXn=(-1)-n(-1)n(-1)2525252522.1.32.1.3 特征根为复根设 k 阶差分方程 Xn+a1Xn4+a?Xni+akXn4=0 的一对共腕复根九1,%=口土iP和相异的k-2个单根%Jx%Jx, ,儿，则该差分方程的通解为Xn=GPncosn日+c2Pnsinn8+qK+c4九4+cke-arctanlarctan。ct同样由给定的初始条件（3）可以唯一确定一个特解。另外，对于有多个共腕复根和相异实根，或共

9、腕复根和重根的情况，都可类似的给出差分方程解的形式。1 1 . .常系数线性非齐次差分方程常系数线性非齐次差分方程的一般形式为XnaXna2XnNakxn=f（n）（4）其中k为差分方程的阶数，其中 ai,a2,，ak为差分方程的系数，且 ak=0（kWn）,f（n）为已知函数。在差分方程（4）中，令f（n）=0,所得方程XnaXna2XnN-，akXnJk=0（5）称为非齐次差分方程（4 4）对应的齐次差分方程，即与差分方程（1）的形式相同。求解非齐次差分方程通解的一般方法：首先求对应的齐次差分方程（5 5）的通解 X；,然后求非齐次差分方程（4 4）的一个特解X；0）,则Xn=XnXn0）

10、为非齐次差分方程（4）的通解。关于求 Xn的方法同求差分方程（1）的方法相同。对于求非齐次方程（4）的特解X；0）的方法，可以用观察法确定，也可以根据f（n）的特性用待定系数法确定，具体方法可参照常系数线性非齐次微分方程求特解的方法。2 2 . .差分方程的平衡点及其稳定性在应用差分方程研究问题时，一般不需要求出方程的通解，在给定初值后，通常可用计算机迭代求解，但常常需要讨论解的稳定性。对于差分方程 F（n,Xn，Xn+，XnG=0,若有常数 a 是其解，即有F（n,a,a,a）=0则称 a 是差分方程 F（n,Xn,Xn由，Xn卡）=0 的平衡点，又对该差分方程的任意由初始条件确定的解 Xn

11、=x(n),均有limxn=an_.则称这个平衡点 a 是稳定的；否则是不稳定的。下面给出一些特殊差分方程的平衡点和稳定性。2一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程的一般形式为Xn书+aXn=b,(6)其中a,b为常数，且a1,0。它的通解为Xn=C(-a)na1易知上是方程(6)的平衡点，由(7)式知，当且仅当a1a二1时，上是方程(6)的稳定的平衡点。a12二阶常系数线性差分方程二阶常系数线性差分方程的一般形式为Xn2aXn1bXn=r,(8)其中a,b,r为常数，当r=0时，它有一特解*X=0,当r=0,且a+b+100时，它有一特解*rX=,ab1不管是哪种情形，X是方程(8)的

12、平衡点。设方程(8)的特征方程为2:a；“b=0的两个根分别为九=%,九=%,则昀当九1,均是两个不同的实根时，方程(8)的通解为Xn=X*+&(%)+C2(%)n；昀当心=入2=K 是两个相同实根时，方程(8)的通解为xn=x(C1C2n)n当儿,2=P(cos9+isine)是一对共腕复根时，方程(8)的通解为*nXn=x:(Cicosn?C2sinn)易知，当且仅当特征方程的任一特征根1 时，平衡点 x*是稳定的4.34.3 一阶非线性差分方程一阶非线性差分方程的一般形式为xn1=f(xn)其平衡点x由代数万程x=f(x)解出。为了分析平衡点x的稳定性，将方程(9)的右端 f(x

13、n)在x点作泰勒展开,只取一次项，得到xn1：f(x)区-x)f(x).、.-一.(10)是(9)的近似线性方程，x是(10)的平衡点，根据一阶常系数线性差分方程(6)xn+axn=b的稳定性判定的相关结论，得:当f(x)1时,方程(9)的平衡点是不稳定的1)1)模型的建立时间欠银行款初始Ao一个月后 A,二与(1r)-x二个月后 4=A(1r).x三个月后A=A(1r)-xaiain 个月后 An=An(1+r)-x由上表可得相邻两个月的递推关系式An=Ani(1r)-x模型的求解：(1)差分方程求解方法先求其特解。令 An=An,=y，则y=y(1+r)-x,得特解为y=r再求对应齐次方程

14、 A=An式 1+r)的通解。对应的特征方程为九-(1+r)=0,得九=(1+r)。齐次方程的通解为：c(1+r)n因此原方程的通解为：An=c(1r)n-r又因为n=0时An=儿，得c=Ao-Xr故n.n(1十rn一1An=Ao1r-xr(2)递推法:n【一n1-n(1+4-1An=A0(1r)-x11r广，门rA01r-xA。=60000,A30O=0,n=300,r=0.01x 二n=3001rn-110.01300-10.01因此，该居民每月应偿还 632 元。又 6320,其中 r 相当于x=0时的增长率，称为固有增长率，记当前(即t=0时)种群数量为 x0,时刻 t 种群数量为x(

15、t)0若利用统计数据可知 xm,r,%,则1)1)设x(t)为连续、可微函数，请给出未来时间里种群数量满足的数学模型。2)2)由于某些种群是在固定的一段时间内进行繁殖，所以可用种群繁殖周期作为时间段来研究其增长状况。请给出未来时间里这类种群数量应满足的离散数学模型。二.问题分析与模型建立1.1.由于r(x)为单位时间内种群数量的增长量与当时种群数量的比，所以 t 到t+&时间内种群数量的增量为x(tt)-x(t)=r(x)x(t)：t(1)r又由于r(x)=r-sx,而当 x=xm时增长率应为苓，即 r(xm)=0,所以s=,xm则,、rr(x)=r-x,xm，、，、，r、，、x(t：

16、t)-x(t)=(r一)x(t)：txm此方程两边同除 At,并令MT0，加上初始条件 x(0)=%可得未来任意时刻 t 种群数量所满足的数学模型为：dx二x=r1x，出xml凶0)=xo2 2.由于是利用种群繁殖周期作为时段来研究种群增长状况，则令人=1,r-、t 视为整数及r(x)=r-x代入方程(1)得：xmrx(t1)-x(t)=(r)x(t)xm加上初始条件 x(0)=x。得任意时刻 t 种群数量所满足的离散型数学模型为x(t1)=(r1-r)x(t)xmx(0)=x通过这个差分方程就可以很容易得到任意时刻 t 种群的数量三.模型求解. .利用Mathematica求解方程(1),可

17、得任意时刻 t 种群数量为x(t)=1+xm-1elx。)Mathematica源程序为:DSolvqx(t)_r*(1-xt/xm)*xt=0,xt,t. .根据方程(2),只要给出初值 x就可以很容易进行递推而得到任意时刻 t 种群的数量四.结果分析. .上面方程（3）有时称为阻滞增长模型或Logistic模型，它有着广泛的应用。例如传染病在封闭地区的传播，耐用消费品在有限的市场上的销售等现象，都可以合理的、简化的用把它代入方程(1)得:(2)xm这个模型来进行描述。但它存在不足，因为随着环境的变迁，最大种群容量可能会发生变化，而且最大种群容量也不容易准确得到。. .一方面，用离散化的时间

18、来研究问题有时是很方便的，尤其出现了计算机以后，人们可以很方便的对问题进行求解；另一方面，对这个种群数量问题，由于许多种群实际上是由单一世代构成的，在相继的世代之间几乎没有重叠，所以种群的增长是分步进行的。这种情况下，为了准确的描述种群的数量动态就不能用微分方程，而应利用离散的模型来描述。4.4.人口的控制与预测模型.问题的提出常见的两个常微分方程模型（马尔萨斯（MalthusMalthus）模型和洛杰斯蒂克（LogisticLogistic）模型）没有考虑到社会成员之间的个体差异，即不同年龄、不同体质的人在死亡、生育方面存在的差异。完全忽略了这些差异显然是不合理的。但我们不可能对每一个人的情

19、况逐个加以考虑，故仅考虑年龄的差异对人口的变动的影响，即假设同一年龄的人具有相同的死亡率和生育能力，这样建立的模型不但使我们能够更细致的预测人口总数，而且能够预测老年人口、劳动力人口、学龄人口等不同年龄组的人口信息.下面来建立离散的差分数学模型来表现人口数量的变化规律。.模型的建立与求解设 Xk（t）为第 t 年年龄为k的人口数量，k=0,1,2,100,即忽略百岁以上的人口。如果知道了第 t 年各年龄组的人口数，各年龄组人口的生育及死亡状态，就可以根据人口发展变化规律推得第t+1年各年龄组的人口数。首先引入k岁人口的死亡率和k岁育龄妇女的年生育率这两个概念，他们的含义和记号如下:k岁人口的年

20、死亡率:第t+1年k+1岁的人口数就是第t年k岁人口数扣除它在该年的死亡人数,即Xk+(t+1)=(1dk)Xk(t),令 pk=1dk称为k岁人口的存活率，故各年龄组人口随时间的变化规律可用递推公式Xki(t1)=PkXk(t),(k=0,1,99)来表示。再考虑到零岁的人数100Xo(t+1)=bkUk(t)Xk(t),k=0其中 UkXk(t)为第 t 年k岁的妇女人数，Uk(t)为第 t 年k岁人口的女性比(占全部k岁人口数)，bkUk(t)Xk就是第 t 年k岁妇女所生育的婴儿数.由此得到的人口模型是:100X0(t1)-bkUk(t)Xk(t)k=0t+1)=PkXk(t),k=0

21、,1，99根据人的生理特征和人口学中的习惯， 妇女的育龄区间一般取为 15 岁至 49 岁之问， 即当k49时，bk=0,令X(t)=(%(t),X1(t),t),X100(t)Tuo(t)boU(t)“U2(t)b2U99(t)b99u1oo(t)b1ooPoooooL=0P1ooo-W-W-.-、ooop99ok岁妇女的年生育率:bkdk一年内k岁的死亡人数这年内k岁的人口数一年内k岁妇女生育的婴儿数这年内k岁妇女人数则人口模型(1)的矩阵形式为x(t1)=Lx(t)(2)其中L称为莱斯利(Lwslie)矩阵.当第 to年的人口状况已知时，从式(2)就可以推得第 t 年的人口为x(t1)=

22、Lto).5.5.市场经济中的蛛网模型在自由竞争的市场经济中， 商品的价格是由市场上该商品的供应量决定的， 供应量越大，价格就越低。另一方面，生产者提供的商品数量又是由该商品的价格决定的，价格上升将刺激生产者的生产积极性，导致商品生产量的增加。反之,价格降低会影响生产者的积极性，导致商品生产量的下降。在没有外界干扰的情况下，这种现象将如此反复下去。这样的需求和供应关系决定了市场经济中商品的价格和数量必然是振荡的。这种振荡越小越好，如果振荡太大就会影响人民群众的正常生活。(1)商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定？(2)当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定？下面用差分方程理论建模，讨论市

23、场经济趋于稳定的条件，再用图形方法建立蛛网模型”对上述现象进行分析，对结果进行解释，然后作适当推广。模型的假设和符号说明记第 n 时段商品数量为 xn,价格为 yn,n=1,2,。这里我们把时间离散化为时段，1 个时段相当于商品的 1 个生产周期，如蔬菜、水果可以是 1 年，肉类可以是一个饲养周期。在 n 时段商品的价格 yn取决于数量 Xno设 yn=f(Xn)。它反映消费者对这种商品的需求关系，称为需求函数。因为商品的数量越多，价格越低。需求函数在图 1 中用一条下降的曲线f表示，f称为需求曲线。在n+1时段商品的数量 Xn书由上一时段的价格 yn决定，用 Xn+=g(yn)表示。它反映生

24、产者的供应关系，称为供应函数。因为价格越高，生产量越大。供应函数在图 1 中用一条上升的曲线g表示，g称为供应曲线。图 1 1 商品供求关系曲线模型的建立与求解设需求曲线f和供应曲线g相交于点 P()(x0,y0),在 P0附近取函数f和g的线性近似，即需求曲线 f:yn-丫0=(XnXo),a0(11)供应曲线 g:Xn书-Xo=P(yn-yo),00(12)由式(11)(12)消去 yn,得到一阶线性差分方程xn书=-aPxn+(1+o(0)xo,n=1,2,(13)因此 Xo是其平衡点，即 P0是平衡点。对式(13)进行递推，得Xn书=(Tp)nX1十1(-aP)nXo，n=1,2,由此

25、可得，平衡点稳定的条件是：P1o下面用图形解释此模型。若对某一个k有 Xk=%,则由(11)式得， 当n2k时 Xn=%,从而 yn=yo,即商品的数量和价格将永远保持在 Po(Xo,yo)点。但是实际生活中的种种干扰使得 Xn,yn不可能停止在 Po(Xo,yo)上。不妨设 X1偏离 Xo(见图 2,图 3),我们来分析随着 n 的增加,Xn,yn的变化情况。0 0X X2 2X Xo oX X3 3X Xi i图 2 2Po点是稳定的数量制给定后，价格 y1由曲线f上的 P 点决定，下一时段的数量 X2由曲线g上的巳点决定，这样得到一序列的点以卬%）,P2（x2,y2）,B（x3,y3）,

26、P4（x4,y4）,，在图 2 上，这些点将按照箭头所示方向趋向 Rix。，）,表明兄（,丫0）是稳定的平衡点，意味着市场经济 0 品的数量和价格）将趋向稳定。但是如果需求函数和供应函数由图 3 的曲线所示， 则类似的分析发现， 市场将按照 F （xi，yJ,Pad*）,Psd*）,PJ4,y4），的规律变化为远离 F0（x0,y。），即 P0（x0,y。）是不稳定的平衡点，市场经济趋向不稳定。图 2 和图 3 中折线 PP2P3P4形似蛛网，于是这种用需求曲线和供应曲线分析市场经济稳定性的图示法在经济学中被称为蛛网模型。实际上，需求曲线f和供应曲线g的具体形式通常是根据各个时段商品的数量和价

27、格的一系列统计资料得到的。一般地说，f取决于消费者对这种商品地需要程度和他们地消费水平，g则与生产者的生产能力，经营水平等因素有关。下面来解释此模型的实际意义。首先来考虑参数的含义。需求函数f的斜率 a（取绝对值）：表示商品供应量减少 1 个单位时价格的上涨幅度；供应函数g的斜率P：表示价格上涨 1 个单位时（下一时期）商品供应增加量。a的值反映消费者对商品需求的敏感程度。如果这种商品是生活必需品，消费者处于持币待购状态，商品数量稍缺，人们立即蜂拥购买，那么a会比较大；反之，若这种商品非必需品，消费者购物心理稳定，或者消费水平低下，则a会比较小。P的数值反映生产经营者对商品价格的敏感程度。如果

28、他们目光短浅，热衷于追逐一时的高利润，价格稍有上涨立即大量增加生产，那么P会比较大；反之，若他们目光长远，则P会比较小。根据P的意义很容易对市场经济稳定与否的条件作出解释。当供应函数g的斜率P固定时，口越小，需求曲线越平，表明消费者对商品需求的敏感程度越小，越有利于经济稳定。当需求函数f的斜率a固定时，P越小，供应曲线越陡，表明生产者对价格的敏感程度越小，越有利于经济稳定。反之，当5P较大，表明消费者对商品的需求和生产者对商品的价格都很敏感，则会导致经济不稳定。经济不稳定的解决方案当市场经济趋向不稳定时，政府有两种干预办法：一种办法是控制价格，无论商品数量多少，命令价格不得改变，于是a=0；不管曲线g如何，总是稳定的；另一种办法是控制市场上的商品数量，当上市量小于需求时，政府从外地收购或调