复数的几何意义及应用

1、复数的几何意义及应用一、教学目标：(一)知识与技能：通过学习复平面上点的轨迹，进一步使学生掌握复数及减法的代数、几何、向量表示法及彼此之间的关系。(二)过程与方法：1、通过问题导引，探究学习，提高学生数学探究能力；2、提高数形结合能力；培养对应与运动变化的观点；3、提高知识之间的理解与综合运用能力。(三)情感、态度、价值观：通过复数、平面上点及位置向量三者之间联系及转化的教学,对学生进行事物间普遍联系及转化等辩证观点的教育。二、教学重点：复平面内两点间距离公式的应用三、教学难点：复平面内两点间距离公式的应用四、教学工具：计算机、投影仪五、教学方法：探究式教学法、问题解决教学法六、教学过程：(一

2、)设置情境，问题引入问题1:复数z的几何意义？设复平面内点Z表示复数z=a+bi(a,bCR),连结OZ,则点Z,OZ,复数z=a+bi(a,bCR)之间具有一一对应关系。直角坐标系中的点Z(a,b)_对应必 R04对应*-对应一复数z=a+bi向量CZ问题2：IzI的几何意义？若复数z=a+bi(a,bCR)对应的向量是OZ,则向量是OZ0Z=|a+bi|=Va2b2(a,bCR)。问题3:Izi-z2I的几何意义？两个复数的差z1z2z所对应的向量就是连结乙22并且方向指向(被减数向量)的向量，dziz2Z2Z1，(xiX2)2(yiy2)2(二)探索研究根据复数的几何意义及向量表示，求复

3、平面内下列曲线的方程：的模叫做复数z=a+bi(a,bCR)的模，忆|=1.圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)设Z(x,y)以Zo(xo,yo)为圆心，r(r0)为半径的圆上任意一点,则ZZ0r(r0)(1)该圆向量形式的方程是什么？五。r(r0)(2)该圆复数形式的方程是什么？zz0r(r0)(3)该圆代数形式的方程是什么？(xx0)2(yy0)2r2(r0)2 .椭圆的定义:平面内与两定点Zi,Z2的距离的和等于常数(大于Z1Z2)的点的集合(轨迹)设Z(x,y)是以Zi(xi，y2)Z?(x2,y?)为焦点，2a为长轴长的椭圆的上任意一点，则|ZZ1|ZZ2|2a(2

4、a|乙Z2)(1)该椭圆向量形式的方程是什么？函囱2a(2aZ1Z2)(2)该椭圆复数形式的方程是什么？zz1zz22a(2aZ1Z2)变式：以乙(0y2)Z2(x2,y2)为端点的线段(1)向量形式的方程是什么？忆乙|忆Z2a(2aZ1Z2)(2)复数形式的方程是什么？zz1zz22a(2aZ1Z2)3 .双曲线的定义：平面内与两定点Z1,Z2的距离的差的绝对值等于常数(小于乙Z2)的点的集合(轨迹)设Z(x,y)是以Z1(xy2)Zz(x2,y2)为焦点，2a为实轴长的双曲线的上任意一点，则|ZZ1ZZ2|2a(2a乙Z2)(1)该双曲线向量形式的方程是什么？|zZ7|ZZ7|2a(2aZ

5、|Z2)(2)该椭圆复数形式的方程是什么？|zz1zz2|2a(2a乙Z2)变式：射线(1)向量形式的方程是什么？苕曰2a(2a乙Z2)复数形式的方程是什么？|z4zz2|2a(2aZ1Z2)变式：以Zi(xi，y2)Z2(x2,y2)为端点的线段的垂直平分线(1)该线段向量形式的方程是什么？|互|ZZ2|2a(2a0)即红1互(2)该线段复数形式的方程是什么？|zz1zz2|2a(2a0)即zz1zz2(三)应用举例例1.复数z满足条件Iz+2I-Iz-2I=4,则复数z所对应的点Z的轨迹是()(A)双曲线(B)双曲线的右支Z的轨迹是两条射线，复数z应满足什么条件？Z的轨迹是线段，复数z应满

6、足什么条件？Z的轨迹是双曲线的右支，复数z应满足什么条件？Z的轨迹是双曲线，复数z应满足什么条件？Z的轨迹是椭圆，复数z应满足什么条件？Z的轨迹是线段的垂直平分线，复数z应满足什么条件?例2.若复数z满足条件z1,求z2i的最值。解法1：(数形结合法)由z1可知，z对应于单位圆上的点Z;(C)线段答案：(D)一条射线(D)射线变式探究：(1)若复数(2)若复数(3)若复数(4)若复数(5)若复数(6)若复数z所对应的点z所对应的点z所对应的点z所对应的点z所对应的点z所对应的点z2i表示单位圆上的点Z到点P(0,2)的距离。由图可知，当点Z运动到A(0,1)点时，z2imin1,此时z=i；当

7、点Z运动到B(0,点时，|z2imax3,此时z=-i。解法2:(不等式法)忆1z2|4z2乙z2Iz2i|z2i|zI2iz1,2i2,1z2i3解法3：(代数法)设zxyi(x,yR),则x2y21z2ixyi2iVx2(y2)2&4yy1,即1y1当y1,即zi时，z2imin1；当y1,即zi时，z2i3=3,max解法4：(性质法)|z2i2(z2i)(z2i)(z2i)G2i)(z2i)(z2i)zz2(zz)i454yiy1,即1y1当y1,即zi时，z2imin1；当y1,即zi时，z2i3,max,1表示以原点为圆心，以1为半径的圆;2i1表示以（0,2）为圆心，以1为半径的圆。z2的最大值为两圆上距离最大的两点间的距离为变 式 探究:(1)minmax；0;2(2)minmax(3)2imin2imax1;2.2(4)minmax例3.已知z1、zzCC，且z1若z1z2(A)6(B)5解法2:2；,21,z2的最大值是(C)4(D)z1z2z1z1)2z1imaxz2的最大值是4z1z22iz12iz22iz21Wz22i（四）反馈演练：1 .复数z满足条件Iz+i1+1z-i1=2,则Iz+i-1I的最大值是庭最小值是.12 .复数z满足条件Iz-2I+Iz+iI=V5,则IzI的取