高等数学上册不定积分4-2-1全ppt课件

1、二、第二类换元法二、第二类换元法一、第一类换元法一、第一类换元法设设),()(ufuF 那那么么.)()( CuFduuf假如假如)(xu （可微）（可微） CxFdxxxf)()()( )()(xuduuf 由此可得换元法定理由此可得换元法定理 )()(xdxf xxuFd)()( )(dxF xxxfd)()( )(xu 设设)(uf具具有有原原函函数数， dxxxf)()( )()(xuduuf 第一类换元公式第一类换元公式说明说明使用此公式的关键在于将使用此公式的关键在于将)(xu 可可导导，则有换元公式则有换元公式定理定理1 1凑凑 dxxg)()()()()()(xuxuduufd

2、xxxf 难难易易(也称配元法也称配元法 , 凑微分法凑微分法)例例1 1 求求.231dxx 解解dxx 231dxxx)23(23121 duu 121Cu ln21.)23ln(21Cx 一般地一般地 baxuduufabaxdbaxfadxbaxf)(1)()(1)()23(23121xdx dxx8)12()12()12(218 xdx12 xu令令原式原式.)12xCuduu 例例2 2 求求 dxx8)12(解解例例3 3 求求.2sin xdx解一）解一） xdx2sin )2(2sin21xxd;2cos21Cx 解二）解二） xdx2sin xdx

3、xcossin2 )(sinsin2xxd ;sin2Cx 解三）解三） xdx2sin xdxxcossin2 )(coscos2xxd .cos2Cx 例例22 22 求求.12321dxxx 原式原式 dxxxxxxx 123212321232dxxdxx 12413241)12(1281)32(3281 xdxxdx .121213212133Cxx )1, 0()(2 madxbaxxm baxdbaxam2221baxu 2令令 duuam21原式原式一般地，有一般地，有 .)1(1111baxdbaxfnadxbaxfxnnnn例例4 4 求求解解原式原式 .)1(2112Cba

4、xmam Cumam 1)1(21 dxxx2ln xxd lnln2xuln 令令 .ln3131332CxCuduu原式原式一般地，有一般地，有 .lnlnln1xdxfdxxfx dxxex21.111Cexdexx 一般地，有一般地，有.11112 xdxfdxxxf例例5 5 求求例例6 6 求求 xdxtan dxxxcossin一般地，有一般地，有 .coscossincos,sinsincossin xdxfxdxxfxdxfxdxxf.coslntanCxxdx 所以所以类似地类似地.sinlncotCxxdx 例例7 7 求求.coslnCx xdxcoscos1常用的几种

5、配元形式常用的几种配元形式: 1)()df axbx()f axb)(dbxa a112)()dnnf xxx)(nxfnxdn113)()dnf xxx)(nxfnxdn1nx14)(sin )cos dfxx x )(sin xfxsind5)(cos )sin dfxxx )(cosxfxcosdxxxfdsec)(tan)62)(tan xfxtandxfxxde )(e)7)(exfxedxxxfd1)(ln)8)(ln xfxlnd例例8 求求.)ln21 (dxxxxln21xlnd解解: 原式原式 =xln2121)ln21 (dxCx ln21ln21例例9. 求求.de3x

6、xx解解: 原式原式 =xxde23)3d(e323xxCx3e32例例10 10 求求.)11(12dxexxx 解解,1112xxx dxexxx 12)11()1(1xxdexx .1Cexx 222d)(2123xax例例12. 求求.d)(23223xaxx解解: 原式原式 =23)(22ax22dxx21222)(aax21)(2122ax)(d22ax 23)(2222axa)(d22ax 22ax 222axaC P207 2 (4) , (5) , (9) , (10),(11) ,(14), (16) , (19) , (21) , 作业作业思考与练习思考与练习1. 下列各

7、题求积方法有何不同? xx4d) 1 (24d)2(xxxxxd4)3(2xxxd4)4(2224d)5(xx24d)6(xxxxx4)4(d22221)(1)d(xx22214)4(dxxxxd441241xx2121xd2)2(4x)2(dxxxxd11) 1322. 求下列积分:) 1(d113133xxCx1323xxxxd2132)22xxxd2125)22(x2221)21d(xxxx 52) 1(2 x) 1d( x2212xx Cx21arcsin53.求不定积分解：解：.dsin2sin1cossin222xxxxx利用凑微分法 ,xx22sin2sin1原式 =)sin1

8、(d2x令xt2sin1tttd1222ttd)111 (22t 2Ct arctan2Cxx22sin1arctansin12得dxxddxxddxxx22cossincossin2 例例12. 求求.e1dxx解法解法1xxe1dxxxxde1e)e1 (xdxxe1)e1 (dxCx)e1ln(解法解法2 xxe1dxxxde1exxe1)e1 (dCx)e1ln()1(elne)e1ln(xxx两法结果一样两法结果一样 dxex11 dxeexx1 111xxede例例13 13 求求 .1lnCex dxax221对被积函数进行恒等变形，再使用换元积分法的例：对被积函数进行恒等变形，

9、再使用换元积分法的例：由于由于 .112121122 axaxaaxaxaxaxaax dxaxaxadxax1121122解解所以所以例例14 14 求求 dxaxaxadxax1121122 axdaxaxdaxa1121 Caxaxa lnln21.ln21122Caxaxadxax 所以所以类似地类似地.ln21122Caxaxadxxa 2211axdxa axdaxa2111.arctan122Caxaxadx 22xadx所以所以.arctan1Caxa 22xadx例例15 15 求求解解想到公式想到公式21duuCu arctan dxxx522 dxxx55522 dxx5

10、512.5arctan5Cxx 例例16 16 求求例例17 17 求求.25812dxxx 解解dxxx 25812dxx 9)4(12dxx 13413122 341341312xdx.34arctan31Cx 0122 adxxa dxaxa2111.arcsin122Caxdxxa 所以所以例例18 18 求求.arcsinCax axdax211 21duu想到想到Cu arcsin 下面再举一些含三角函数的积分的例子，有时需下面再举一些含三角函数的积分的例子，有时需要先用三角公式作恒等变形，化成容易积分的形式。要先用三角公式作恒等变形，化成容易积分的形式。常用的三角公式有：常用的三

11、角公式有：同角公式：同角公式：;csccot1,sectan1, 1cossin222222xxxxxx .coscos21coscos,coscos21sinsin,sinsin21cossinxxxxxxxxxxxx 积化和差：积化和差：倍角公式：倍角公式：;22cos1cos,22cos1sin, 12cos22sin212sin2coscos222222xxxxxxxxx dxxcos1 xxd2sin1sin（由公式）（由公式） Cxx22sin1sin1ln21.tanseclnsecCxxxdx 所以所以类似地类似地.cotcsclncscCxxxdx xdxsec例例19 19

12、 求求 dxxx2coscosCxx sin1sin1ln21.tanseclnCxx Cxx 2cossin1ln21xxdcscCx2tanlnxxxsindsin11sin1121 xx2sin1sindxsin1ln21Cxsin1lnCxxsin1sin1ln21xxtansec解法解法 2 xxdsecxxdsecxxtansec )tan(secxxxxxxxxdtansectansecsec2)tan(secdxxCxxtansecln特殊类型三角函数的积分：特殊类型三角函数的积分：1. 1. 形如形如,sinsin,cossin nxdxmxnxdxmx.coscos nxd

13、xmx积化和差积化和差. . xdxx2cos3cosCxx 5sin51sin21.5sin101sin21Cxx 例例14 14 求求 dxxx5coscos21.sin71sin52sin31753Cxxx 例例20 20 求求dxxx 52cossin xxdxsincossin42 xdxxsinsin1sin222 xdxxxsinsinsin21sin422解解 xdxxcossin4又如又如 xxdsinsin4.sin515Cx dxxx 52cossin2. 2. 形如形如.cossin xdxxnm2. 2. 形如形如.cossin xdxxnm(1) m(1) m，n

14、n中有一个为奇数：中有一个为奇数： ,coscoscossin xdxfxdxxmnm为正奇数为正奇数(2) m, n(2) m, n均为正偶数：均为正偶数： .sinsincossinxdxfxdxxnnm为正奇数为正奇数22cos1sin,22cos1cos22xxxx 由由降幂降幂说明说明当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分. .4sin3212sin4183Cxxx 例例21 21 求求解解 xdx4cos xdx4cos dxxx2cos2cos21412Cxxxx 4sin321812sin4141 dxxxx4cos1214

15、12sin4141 dxx22cos121.cossin42 xdxx又如又如dxxx2)22cos1(22cos1 dxxx )2cos1)(2cos1(812dxxx )2cos1)(24cos11(81dxxx )2cos1)(4cos1(161dxxxxx )2cos4cos2cos4cos1(161dxxxxdxxdxdx )6cos2(cos212cos4cos161Cxxxx 6sin1212sin414sin41161.sec31sec52sec71357Cxxx 解解 xdxx35sectan xdxx35sectan xxdxsecsec1sec222 xxdxxsecsec1sec2sec224例例22 22 求求 xxdxsecsectan24P197-193. 3. 形如形如.sectan xdxxInm(m,n为正整数为正整数)3. 3. 形如形如.sectan xdxxInm(m,n为正整数为正整数)(1) m为奇数时为奇数时 xxdxInmsecsectan11(2) n为偶数时为偶数时 xxdxInmtansectan2(m为偶数且为偶数且n为奇数时，可用分部积分法为奇数时，可用分部积分法) .secsec xdxf .tantanxd