高等数学第十章第3节格林公式及应用ppt课件

1、Gyxo 1LQdyPdx则则称称曲曲线线积积分分 LQdyPdx在在G内内与与路路径径无无关关, ,一、曲线积分与路径无关的定义 2LQdyPdx1L2LBA如果在区域如果在区域G G内内 否否则则与与路路径径有有关关. .，有，有、曲线曲线的任两条的任两条终点在终点在在在及起点及起点、任两点任两点21LLBABA,二二. 平面曲线积分与路径无关等价条件平面曲线积分与路径无关等价条件定理定理2. 设设D是单连通开区域是单连通开区域 ,),(,),(yxQyxP在D内具有一阶连续偏导数 ,(1) 沿 D 中任意分段光滑闭曲线 L , 有LydQxdP0(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L ,

2、曲线积分(3)ydQxdP),(yxuydQxdPyxud),(4) 在D内每一点都有xQyPLydQxdP与路径无关, 只与起止点有关. 函数则以下四个条件等价在D内是某一函数的全微分, 即 (1) 沿 D 中任意分段光滑闭曲线 L , 有LydQxdP0(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L , 曲线积分LydQxdP与路径无关, 只与起止点有关. 证明证明 (1) (2)设21, LL21LLydQxdPydQxdP1LydQxdP2LydQxdP)(21LLydQxdP0AB1L2L2LydQxdP1LydQxdP为D内任意两条由A到B的有向分段光滑曲线,那么(3) 在D内是某一函数 的

3、全微分, 即 (2) 对D 中任一分段光滑曲线 L , 曲线积分LydQxdP与路径无关, 只与起止点有关. ydQxdP),(yxuydQxdPyxud),(证明证明 (2) (3)在D内取定点),(00yxA因曲线积分),(),(),(yxyxydQdxPyxu00),(),(yxuyxxuux),(),(yxxyxydQdxP那么),(),(yxxyxdxPxyxxP),( xuxuxx0lim),(limyxxPx 0),(yxP同理可证yu),(yxQ因此有ydQxdPud),(yxB),(00yxA。),(yxxC。和任一点B( x , y ) ,与路径无关 , 设(3) 在 D

4、内是某一函数 的全微分, 即 ydQxdP),(yxuydQxdPyxud),(4) 在D内每一点都有xQyP证明证明 (3) (4)设存在函数 u ( x , y ) 使得ydyuxdxuudydQxdP那么),(, ),(yxQyuyxPxuxyuxQyxuyP22,P, Q 在 D 内具有连续的偏导数xyuyxu22从而在D内每一点都有xQyP(1) 沿 D 中任意分段光滑闭曲线 L , 有LydQxdP0(4) 在D内每一点都有xQyP设L为D中任一分段光滑闭曲线, 所围区域为,DD (如图 ), 因此在 上DxQyP利用格林公式 , 得ydxdyPxQQdyPdxLD)(DDL证明证

5、明 (4) (1)0二二. 平面曲线积分与路径无关等价条件平面曲线积分与路径无关等价条件定理定理2. 设设D是单连通开区域是单连通开区域 ,),(,),(yxQyxP在D内具有一阶连续偏导数 ,(1) 沿 D 中任意分段光滑闭曲线 L , 有LydQxdP0(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L , 曲线积分(3)ydQxdP),(yxuydQxdPyxud),(4) 在D内每一点都有xQyPLydQxdP与路径无关, 只与起止点有关. 函数则以下四个条件等价在D内是某一函数的全微分, 即 yx说明说明: 若在某区域内有,xQyP那么(2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算,(3) 求全微

6、分 Pdx+Qdy 在域 D 内的原函数:Dyx),(00及动点,),(DyxydyxQxdyxPyxuyxyx),(),(),(),(),(00 xxxdyxP00),(或yyydyxQyxu00),(),(0y0 x则原函数为yyydyxQ0),(xxxdyxP0),(若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;取定点(1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;1例例,)()(LyxdyyxdxyxI22计算计算的的弧弧到到从从上上是是曲曲线线其其中中),(),(0101222BAxyL解：因为 22yxyxyxP),(22yxyxyxQ),(yPyxxyyxxQ222222)(),(),(

7、00yx即不含原点的单连通域，积分与路径无关。 取新路径 的的上上半半单单位位圆圆弧弧到到为为从从),(),(*0101BAL122 yx其参数方程为 0变到变到从从 ttytx,sin,cos）（LyxdyyxdxyxI22)(dttttttt0 cos)sin(cos)sin)(sin(cos0 dt例例2. 验证验证ydyxxdyx22是某个函数的全微分, 并求出这个函数. 证证: 设设,yxQyxP22那么xQyxyP2由定理2 可知, 存在函数 u (x,y) 使ydyxxdyxud22),(),(),(yxyydxxdyxyxu0022。)0 , 0(。),(yx)0 ,(xxxd

8、x00ydyxy02ydyxy022221yxoxy例例3. 验证验证22yxydxxdy在右半平面 ( x 0 ) 内存在原函数,并求出它. 证证: 令令2222yxxQyxyP,那么)()(022222xyQyxxyxP由定理 2 可知存在原函数),(),(),(yxyxydxxdyyxu0122010 xd)(arctan0 xxy)0,(x)0, 1(。),(yx。), 1(yyyxydx022oxy)0,(x)0, 1(。),(yx。), 1(y),(),(),(yxyxydxxdyyxu0122yyyd021yxyyarctanarctanarctan1yxarctan2 xyar

9、ctanxyxxdy122或故积分路径可取圆弧例例4. 设质点在力场设质点在力场xyrkF,2作用下沿曲线 L :xycos2 由),(20 A移动到, ),(02 B求力场所作的功W. ( 其中 )22yxr解解:dsFWL)(Lyxdxdyrk2令,22rxkQrykP则有)()(022422yxxQryxkyP曲线积分在除原点外的单连通开区域上与路径无关, :ABBAyLOx)(2yxdxdyrkWAB dk)cos(sin2022考虑：积分路径是否可以取考虑：积分路径是否可以取 为什么？为什么？ ?OBAO):(sin,cos0222 yxk2 5例例设函数 平面上具有一阶连续偏导数，

10、曲线积分 xoyyxQ在在),(LdyyxQxydx),(2与路径无关，并且对任意t恒有 ),(),(),(),(),(),(ttdyyxQxydxdyyxQxydx10010022).,(yxQ求求解：由积分与路径无关的条件知 xxyyxQ22)(待待定定)()(),(yCyCxyxQ2),(),(),(1002tdyyxQxydx102dyyCt)(102dyyCt)(),(),(),(tdyyxQxydx1002tdyyC01)(tdyyCt0)(tdyyCtdyyCt0102)()(两边对t求导得 1212ttCtCt)()(所所以以12 yyC)(122yxyxQ),(内容小结内容小

11、结1. 格林公式LQdyPdx2. 等价条件在 D 内与路径无关yPxQ在 D 内有ydQxdPuddxdyyPxQDLQdyPdx对 D 内任意闭曲线L0LQdyPdx在 D 内有设 P, Q 在 D 内具有一阶连续偏导数 , 则有153310P习题习题7546432524321211),)(),)()(),(,),)(),(D思考与练习思考与练习1. 设,4:, 1:222412yxlyxL且都取正向, 问下列计算是否正确 ?Lyxydxxdy224) 1(lyxydxxdy224lydxxdy441o2y1x2LlDd5415Lyxydxxdy22)2(lyxydxxdy22ldxyxd

12、y41Dd2412提示:022 yx时yPxQ) 1(yPxQ)2(2. 设设,56,4),(grad42234yyxxyxyxu求).,(yxu提示提示:),(yxudxdxyx)4(34ydyyx)56(422),()0 , 0(),(yxyxuCyox),(yx)0 ,(xxdxx04ydyyxy0422)56(C551x322yxCy 5xdxyx)4(34ydyyx)56(422一、一、 填空题填空题: :1 1、 设闭区域设闭区域D由分段光滑的曲线由分段光滑的曲线L围成围成, , 函数函数),(,),(yxQyxP及在及在D上具有一阶连续偏导数上具有一阶连续偏导数, ,则则有有 D

13、dxdyyPxQ)(_；2 2、 设设D为 平 面 上 的 一 个 单 连 通 域为 平 面 上 的 一 个 单 连 通 域 , , 函 数函 数),(,),(yxQyxP在在D内有一阶连续偏导数内有一阶连续偏导数, ,则则 LQdyPdx在在D内与路径无关的充要条件是内与路径无关的充要条件是_在在D内处处成立；内处处成立；3 3、 设设D为由分段光滑的曲线为由分段光滑的曲线L所围成的闭区域所围成的闭区域, ,其面其面积为积为 5,5,又又),(yxP及及),(yxQ在在D上有一阶连续偏上有一阶连续偏导数导数, ,且且1 xQ, ,1 yP, ,则则 LQdyPdx_. .练练 习习 题题二、

14、二、 计算计算 Ldyyxdxxxy)()2(22其中其中L是由抛物线是由抛物线2xy 和和xy 2所围成的区域的正向边界曲线所围成的区域的正向边界曲线, ,并并验证格林公式的正确性验证格林公式的正确性 . .三、三、 利用曲线积分利用曲线积分, ,求星形线求星形线taytax33sin,cos 所所围成的图形的面积围成的图形的面积 . .四、证明曲线积分四、证明曲线积分 )4,3()2, 1(2232)36()6(dyxyyxdxyxy在整个在整个xoy面面内与路径无关内与路径无关, ,并计算积分值并计算积分值 . .五、利用格林公式五、利用格林公式, ,计算下列曲线积分计算下列曲线积分:

15、:1 1、 Ldyyxdxyx)sin()(22其中其中L是在圆周是在圆周 22xxy 上由点上由点(0,0)(0,0)到点到点(1,1)(1,1)的一段弧；的一段弧；2 2、求曲线积分、求曲线积分 AMBdyyxdxyxI221)()(和和 ANBdyyxdxyxI222)()(的差的差. .其中其中AMB是过原点和是过原点和)1,1(A, ,)6,2(B且其对称轴垂直于且其对称轴垂直于x轴的抛物线上的弧段轴的抛物线上的弧段, , AMB是连接是连接BA ,的线段的线段 . .六、计算六、计算 Lyxydxxdy22, ,其中其中L为不经过原点的光滑闭曲为不经过原点的光滑闭曲 线线 .( .

16、(取逆时针方向取逆时针方向) )七、验证七、验证yxxdxxyyx23228()83( dyyey)12 在整在整个个xoy平面内是某一函数平面内是某一函数),(yxu的全微分的全微分, ,并求这并求这样一个样一个),(yxu. .八八、试试确确定定 , ,使使得得dyryxdxryx 22 是是某某个个函函数数),(yxu的的全全微微分分, ,其其中中22yxr , ,并并求求),(yxu. .九九、设设在在半半平平面面0 x内内有有力力)(3jyixrkF 构构成成力力场场, ,其其中中k为为常常数数, , 22yxr . .证证明明在在此此力力场场中中场场力力所所作作的的功功与与所所取取的的路路径径无无关关 . .练习题答案练习题答案一、一、1 1、 LdyQPdx； 2 2、xQyp ； 3 3、10.10.三、三、301. . 四、四