数字信号处理课件 线性移不变系统

1、 系统系统在数学上定义为将输入序列在数学上定义为将输入序列x x( (n n) )映射成输出序映射成输出序列列y y( (n n) )的唯一性变换或运算。这种映射是广义的，实际的唯一性变换或运算。这种映射是广义的，实际上表示的是一种具体的处理，或是变换，或是滤波。上表示的是一种具体的处理，或是变换，或是滤波。 一个一个离散时间系统离散时间系统是将输入序列变换成输出序列的是将输入序列变换成输出序列的一种运算。以一种运算。以TT表示这种运算，则一个离散时间系统表示这种运算，则一个离散时间系统可用下图来表示可用下图来表示1.2 1.2 线性移不变系统线性移不变系统 Linear Shift Inva

2、riant System (LSI)离散时间系统离散时间系统TT(运算运算) )x(n)x(n)输入序列输入序列y(n)y(n)输出序列输出序列一、一、线性系统线性系统 概念概念：满足叠加原理的系统为线性系统。满足叠加原理的系统为线性系统。 (1)可加性可加性 设设y y1 1(n)=Tx(n)=Tx1 1(n)(n)，y y2 2(n)=Tx(n)=Tx2 2(n)(n) 如果如果y y1 1(n)+y(n)+y2 2(n)=Tx(n)=Tx1 1(n)+Tx(n)+Tx2 2(n)=Tx(n)=Tx1 1(n)+ x(n)+ x2 2(n)(n) 说明系统说明系统TT 满足可加性。满足可加

3、性。(2)比例性比例性(齐次性齐次性) 设设y y1 1(n)=Tx(n)=Tx1 1(n)(n) 如果如果 a a1 1y y1 1(n) = a(n) = a1 1TxTx1 1(n) =Ta(n) =Ta1 1x x1 1(n)(n) 说明系统说明系统TT 满足比例性或齐次性。满足比例性或齐次性。综合综合(1)(1)、(2)(2)，得到叠加原理的一般表达式：，得到叠加原理的一般表达式： NiiiNiiinxaTnya11)()(说明：说明：(1)(1)叠加原理的一个直接结果是叠加原理的一个直接结果是零输入产生零输出零输入产生零输出。(2)(2)在证明一个系统是否为线性系统时，应证明系统既

4、在证明一个系统是否为线性系统时，应证明系统既 满足满足可加性可加性，又满足，又满足比例性比例性。例：验证下面的系统是否为线性系统：例：验证下面的系统是否为线性系统：y(n)=4x(n)+6y(n)=4x(n)+6方法一：验证系统是否满足叠加原理。方法一：验证系统是否满足叠加原理。 可加性分析：可加性分析：若：若：x x1 1(n)= 3(n)= 3，则：则：y y1 1(n)=4(n)=4 3+6=183+6=18 x x2 2(n)= 4(n)= 4，则：则：y y2 2(n)=4(n)=4 4+6=224+6=22而：而：x x3 3(n)= x(n)= x1 1(n)+x(n)+x2 2

5、(n)=7 (n)=7 ，有：有：y y3 3(n)=4(n)=4 7+6=34407+6=3440得到：得到：y y1 1(n)+ y(n)+ y2 2(n)=18+22=40(n)=18+22=40得证：由于该系统不满足可加性，故其不是线性系统。得证：由于该系统不满足可加性，故其不是线性系统。方法二：利用线性系统的方法二：利用线性系统的“零输入产生零输出零输入产生零输出”的特性验证。的特性验证。 因为当因为当x(n)=0 x(n)=0时，时，y(n)=60y(n)=60，这不满足线性系统的这不满足线性系统的“零零输入产生零输出输入产生零输出”的特性，因此它不是线性系统。的特性，因此它不是线

6、性系统。例：证明由线性方程表示的系统例：证明由线性方程表示的系统是非线性系统是非线性系统111( )( )( )y nT x nax nb证：设222( )( )( )y nT x nax nb1212 ( )( ) ( )( )T x nx na x nx nb12( )( )y ny n该系统是非线性系统12( )( )ax nax nb不满足可加性 增量线性系统增量线性系统 线性系统x(n)y0(n)y(n)( )( )y nax nb二、二、时不变系统时不变系统( (移不变系统移不变系统) ) 概念概念：若系统的若系统的响应响应与与激励加于系统的时刻激励加于系统的时刻无关无关，则该，则

7、该 系统为时不变或移不变系统。系统为时不变或移不变系统。 即即：若有：若有y(n)=Tx(n)y(n)=Tx(n)，则则y(n-m)=Tx(n-m)y(n-m)=Tx(n-m)成立。成立。例：证例：证y(n)=4x(n)+6y(n)=4x(n)+6是移不变系统。是移不变系统。证：证：y(n-m)=4x(n-m)+6y(n-m)=4x(n-m)+6 Tx(n-m)=4x(n-m)+6 Tx(n-m)=4x(n-m)+6 y(n-m)=Tx(n-m) y(n-m)=Tx(n-m) 该系统是移不变系统该系统是移不变系统说明：乍一看该例，似乎说明：乍一看该例，似乎y(n-m)y(n-m)和和Tx(n-

8、m)Tx(n-m)很容易就得很容易就得 到了一样的结果，而实际上它们是通过到了一样的结果，而实际上它们是通过不同的途不同的途 径径得到的。得到的。y(n-m)y(n-m)是将是将y(n)=4x(n)+6y(n)=4x(n)+6表达式中的所表达式中的所 有出现有出现n n的地方用的地方用n-mn-m去替换；而去替换；而Tx(n-m)Tx(n-m)是将所是将所 有有x x函数的函数的自变量自变量替换为替换为自变量自变量- -m m。例：验证以下两个系统的移不变特性。例：验证以下两个系统的移不变特性。(1)(1) nmmxny)()( nmkmxknxT)()( knmknmmxmxkmm)() (

9、令令 knmmxkny)()(因为因为y(n-k)y(n-k)与与Tx(n-k)Tx(n-k)相同，所以该系统是移不变系统。相同，所以该系统是移不变系统。说明：在该例题中可以清楚地看到，说明：在该例题中可以清楚地看到，y(n-k)y(n-k)和和Tx(n-k)Tx(n-k)是是 从两条不同的途径得到了相同的结果。从两条不同的途径得到了相同的结果。 m m=m-k=m-k，m m从从- - n n m m应从应从- - - -k kn-kn-k由于由于- - 是很大很大的，是很大很大的，所以所以- - - -k k就相当于就相当于- - (2)(2) nmmxny0)()( nmkmxknxT0

10、)()( knkmknkmmxmxkmm)() (令令 knmmxkny0)()(因为因为y(n-k)y(n-k)与与Tx(n-k)Tx(n-k)不相同，所以该系统不是移不变系统。不相同，所以该系统不是移不变系统。说明：从上面两个类似的例题中，我们除了知道移不变系统的说明：从上面两个类似的例题中，我们除了知道移不变系统的 证明方法外，还可以学习到一些基本的换元方法。证明方法外，还可以学习到一些基本的换元方法。 m m=m-k=m-k，m m从从0 0n n m m应从应从- -k kn-kn-k例：验证系统例：验证系统y(n)=nx(n)y(n)=nx(n)的移不变特性。的移不变特性。法一：用

11、概念法一：用概念Tx(n-k)=nx(n-k)Tx(n-k)=nx(n-k)y(n-k)=(n-k)x(n-k)y(n-k)=(n-k)x(n-k)因为因为y(n-k)y(n-k)与与Tx(n-k)Tx(n-k)不同，不同，故不是移不变系统。故不是移不变系统。法二：找反例法二：找反例设：设：x x1 1(n)=(n)= ( (n)n)，则则TxTx1 1(n)=n(n)=n ( (n)=0n)=0 x x2 2(n)=(n)= ( (n-1)n-1)，则则TxTx2 2(n)(n) =n=n ( (n-1)= n-1)= ( (n-1)n-1) 可以看出，当输入移位可以看出，当输入移位 ( (

12、n)n) ( (n-1)n-1) 时，输出并不是时，输出并不是也移位了，而是也移位了，而是 0 0 ( (n-1)n-1) ，故不是移不变系统。，故不是移不变系统。三、三、单位抽样单位抽样( (冲激冲激) )响应响应h(n)h(n) 概念概念：同时具有线性和移不变性的离散时间系统称为同时具有线性和移不变性的离散时间系统称为LSILSI系统。系统。 LSI(Linear Shift Invariant)SystemLSI(Linear Shift Invariant)System 线性移不变系统可用它的单位抽样相应来表征。线性移不变系统可用它的单位抽样相应来表征。 单位抽样单位抽样( (冲激冲激

13、) )响应响应h(n)h(n)： 当输入为当输入为 ( (n)n)时，系统的输出用时，系统的输出用h(n)h(n)表示。表示。 h(n)=Th(n)=T ( (n)n) 卷积卷积： 当一个系统是当一个系统是LSILSI系统时，它的输出系统时，它的输出y(n)y(n)可以用输入可以用输入x(n)x(n)与与 单位抽样响应单位抽样响应h(n)h(n)的卷积来表示。的卷积来表示。 y(n)=x(n)y(n)=x(n)* *h(n)h(n) 证明证明：在前面我们学过，任一序列：在前面我们学过，任一序列x(n)x(n)可以写成：可以写成： mmnmxnx)()()(系统的输出为：系统的输出为： mmnm

14、xTny)()()( )()(mnTmxm 利用线性的特性利用线性的特性)()(mnhmxm 利用移不变的特性利用移不变的特性)()(nhnx 说明说明：注意在证明：注意在证明y(n)=x(n)y(n)=x(n)* *h(n)h(n)的过程中用到了线性和移不的过程中用到了线性和移不 变的特性，这说明只有变的特性，这说明只有LSILSI系统才有上式。系统才有上式。四、四、线性移不变系统的性质线性移不变系统的性质 1 1、交换律、交换律y(n) = x(n)y(n) = x(n)* *h(n) = h(n)h(n) = h(n)* *x(n)x(n)h(n)h(n)x(n)x(n)y(n)y(n)

15、x(n)x(n)h(n)h(n)y(n)y(n)等效于等效于 2 2、结合律、结合律x(n)x(n)* *h h1 1(n)(n)* *h h2 2(n) (n) = x(n)= x(n)* *h h1 1(n)(n)* *h h2 2(n)(n)= x(n)= x(n)* *h h2 2(n)(n)* *h h1 1(n) (n) = x(n)= x(n)* *hh1 1(n)(n)* *h h2 2(n) (n) h h1 1(n)(n)x(n)x(n)y(n)y(n)h h2 2(n)(n)h h2 2(n)(n)x(n)x(n)y(n)y(n)h h1 1(n)(n)h h1 1(n)

16、(n)* *h h2 2(n)(n)x(n)x(n)y(n)y(n)三者等效三者等效 3 3、分配律、分配律x(n)x(n)* *hh1 1(n)+h(n)+h2 2(n) = x(n)(n) = x(n)* *h h1 1(n)+x(n)(n)+x(n)* *h h2 2(n)(n)h h1 1(n)+h(n)+h2 2(n)(n)x(n)x(n)y(n)y(n)两者等效两者等效h h1 1(n)(n)x(n)x(n)y(n)y(n)h h2 2(n)(n)例：例：x(n)=u(n)x(n)=u(n)，h h1 1(n)=(n)= ( (n)-n)- ( (n-4)n-4)，h h2 2(n

17、)=a(n)=an nu(n)u(n)，求：求： y(n)=x(n)y(n)=x(n)* *h h1 1(n)(n)* * h h2 2(n)(n) 解：解：)()4()()4()()4()()()()()()()(4011nRnunumnmnmnmnmumnhmxnhnxnwmmm )3()2()1()()3()2()1()()(*)3()2()1()()(*)4()()(*)()()()(321222222242 nuanuanuanuanhnhnhnhnhnnnnnhnununhnRnhnwnynnnn 结果：结果： 0 0 n0 n0 1 1 n=0 n=0 y(n)= 1+a y(n

18、)= 1+a n=1 n=1 1+a+a 1+a+a2 2 n=2 n=2 a an n+a+an-1n-1+a+an-2n-2+a+an-3n-3 n3 n3 说明：说明： 0000)()()()()()()(mmmnmnnnumnnumnmxnx1)()()()()(*)(00000 nmnnnmnnxnmnmxnnnxm时，时，因为只有当因为只有当五、五、因果系统因果系统1 1、定义、定义 因果系统是指：因果系统是指：某时刻的输出只取决于此时刻和此时刻以前某时刻的输出只取决于此时刻和此时刻以前 的输入的系统。的输入的系统。即：即：n=nn=n0 0时的输出时的输出y(ny(n0 0) )

19、只取决于只取决于nnnn0 0的输入的输入x(n)|x(n)|nn0nn0的系的系 统为因果系统，否则为非因果系统。统为因果系统，否则为非因果系统。例：判断下面的系统是否为因果系统。例：判断下面的系统是否为因果系统。(1) (1) y(n)=nx(n)y(n)=nx(n)是是(2) (2) y(n)=x(n+2)+ax(n)y(n)=x(n+2)+ax(n)不是不是(3) (3) y(n)=x(ny(n)=x(n3 3) )不是不是(4) (4) y(n)=x(-n)y(n)=x(-n)不是不是(5) (5) y(n)=x(n)sin(n+2)y(n)=x(n)sin(n+2)是是2 2、线性

20、移不变系统是因果系统的充分必要条件是：、线性移不变系统是因果系统的充分必要条件是： h(n)=0h(n)=0，n0n0证：充分条件证：充分条件若若n0n0时，时，h(n)=0h(n)=0，有：有： 0)()()()()()()()(00nmnmmmnhmxnymnhmxmnhmxny 从上式看出，从上式看出，y(ny(n0 0) )只与只与m nm n0 0时刻的时刻的x(m)x(m)有关，有关，这满足因果系统的定义这满足因果系统的定义我们将我们将n0n0，x(n)=0 x(n)=0的的序列称为因果序列序列称为因果序列n-m0,h(n)0n-m0,h(n)0 m=nm=n 必要条件必要条件(

21、(反证法反证法) ) 若已知一系统是因果系统，但当若已知一系统是因果系统，但当n0nn mn 时的一个时的一个x(m)x(m)值有关，而这又与设定的另一值有关，而这又与设定的另一个条件：因果系统相矛盾，所以说明设定条件有误。个条件：因果系统相矛盾，所以说明设定条件有误。mnmnn-m0n-m0mnmnn-m0n-m0 注意：当利用该性质验证一个系统为因果系统时，应首先注意：当利用该性质验证一个系统为因果系统时，应首先 确定系统是确定系统是LSILSI系统，并求出其单位冲激响应系统，并求出其单位冲激响应h(n)h(n)。六、六、稳定系统稳定系统1 1、定义、定义 稳定系统是指：稳定系统是指：有界

22、输入产生有界输出的系统。有界输入产生有界输出的系统。 即：即： 如果如果| |x(n)|x(n)|M ，则有：则有： | |y(n)|y(n)|P 。2 2、一个、一个LSILSI系统是稳定系统的充分必要条件是：系统是稳定系统的充分必要条件是：单位抽样响应单位抽样响应 绝对可和。绝对可和。 qnhn)(证明：充分条件：证明：充分条件：若若| |h(n)|h(n)|q ，且且| |x(n)|x(n)|M 则则y(n)y(n)为：为： MqkhMmnhMmnhmxmnhmxnynknmnmm)()()()()()()(即证：若即证：若| |h(n)|h(n)|q ，且且| |x(n)|x(n)|M

23、 ，存在：存在： | |y(n)|y(n)| ， 即该即该LSILSI系统确实为稳定系统。系统确实为稳定系统。只有只有LSILSI系统才有系统才有y(n)=x(n)y(n)=x(n)* *h(n)h(n) 必要条件：必要条件：( (反证法反证法) )已知一已知一LSILSI稳定系统，设存在：稳定系统，设存在： mmh)(我们可以找到一个我们可以找到一个有界的输入有界的输入x(n)x(n)： 0)(10)(1)(nhnhnx mmmmhmhmhmxy)()()0()()0( y(n) y(n)在在n=0n=0时为时为 ，即得到即得到无无界的输出界的输出y(n)y(n)，而这不符合而这不符合稳定系统的假设，所以说明上面的假设不成立，故得证。稳定系统的假设，所以说明上面的假设不成立，故得证。3 3、证明一个系统是否稳定的方法：、证明一个系统是否稳定的方法： 若若LSILSI系统的系统的h(n)h(n)已直接给出，或间接求出，则可以用已直接给出，或间接求出，则可以用 h(n)h(n)是否绝对可和是否绝对可和来证明系统的稳定性。来证明系统的稳定性。 若系统是以若系统是以 y(n)=Tx(n) y(n)=Tx(n) 的形式给出的，则应该直接的形式给出的，则应该直接 利用稳定系统的