概率论与数理统计浙江大学第四版答案第一章

1、概率论与数理统计第一章习题参考解答1、写出下列随机试验的样木空间。(1) 枚破币连掷三次，记录正而出现的次数。(2) 记录某班一次考试的平均分数(百分制记分)(3) 对某工厂出厂的产品进行检验，介格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如 连续査出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检査，记录检査的结果。(4) 在单位圆内任取一点，记录它的坐标。解：(1) S = 0,1,2,3,(2 ) S -k/n: k=O,l,2, - ,100n. Jt1!1 n 为班级人数，(3) S = 00,100,0100.0101,0110.1100,1010,1011,0111,1101.1110,1

2、 ill,其屮 0 表示次品，1表示正品。(4) S =炽”十 + 尸 <12、设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关系表示下列各事件(1) A、E、C中至少有一个发生(2) A、B、C中恰好有一个发生(3) A、E、C都不发生(4) A、B、C中不多于一个发生(5) A、B、C中不多丁俩个发生解：(1) Au BuC(2) ABCABCuABC(3) ABC错»(ABC=AJ'BJC(4) 即至少有两个不发生ABuACkjB C (5 )即至少有一个不发生ABC=AJB(JC2、指出卜列命题中哪些成立，哪些不成立。(1)成立，(2)不成立， (3)不成立， (4)

3、成立(5) 成立， (6)成立 (7)成立 (8)成立4、把AuBuC表示为互不相容爭件的和。解：(A - AB)u(B - BC)u(C - CA)u ABC答案不唯一5、设A、B是两事件，且P (A) =O6P(B尸0.7。问<1)在什么条件下P(AB)取到最大 值?最大值是多少? (2)在什么条件下P(AB)取到最小值?最小值是多少?（1） Ac Bill，P（AB） = 0.6为最人值,因为A、B-定相容，相交所以A和B匝介越人时P （AB）越人(2) AuB = S 时，P (AB) =0.3 为最小值6、若爭件A的概率为0.7,是否能说在10次实验中A将发生7次？为什么？答：

4、不能。因为M件A发生的频率只仃波动性，在一次试验中得出的频率并不一定正好等 J爭件A发生的概率。7、从-批山1100件正品，400件次品组成的产品中任取200件。（1）求恰有90件次品的概率（2）求至少有两件次品的概率。8、在房间里令10个人，分别佩带从1号到10号的纪念章，任选3人记录具纪念章的号码。（1）求瑕小号码为5的概率。（2）求号码全为偶数的概率。（1）垠小号码为5,即从6、7、8、9、10里选两个，所求概率为-Sl = c；。12C3 1（2）号码全为偶数.即从2. 4, 6. 8, 10里选三个，所求概率为一=一C' 12vio丄乙9、在0, 1, 2, 3, ,9共10

5、个数字中，任取4个不同数字排成一列，求这4个数字能 组成一个偶数四位数的概率。解:设事件“组成一个偶数四位数”为A任取4个不同数字排成一列其有，鳩种解法一组成一个偶数四位数有首位奇：.4+4187 _ 41首位偶：£绘Ao10-9-8-7 90解法二 分末位0和末位不为0两种，组成一个偶数四位数有C；C； +霍种心）=呼生Ao4190错误:认为样本空间也为四位数,实际只要求是一列.10、求10人中至少有两人出生于同一月份的概率。 解：io人屮至少仃两人出生r同刀份的概率为：C；?10»1210=0.99611. 从5双不同的鞋中任取4只.求这4只鞋子中至少有两只配成一双的概

6、率。 解：从5双鞋屮取4只，至少配成-双的概率为：C；C討+ C；C4?41-泮或V10g-C；12、将3个球随机的放入4个杯了中，求杯子中球的加人个数分别为1, 2, 3的概率。A3 6解：杯中最多有-个球时，概率为才=花;c2clcl杯屮最多右两个球时，概率为916CzCl 1杯屮最多有三个球时，概率为耳±=厶；4 1613、某货运码头近能容一船卸货，而甲乙两船在码头卸货时间分别为1小时和小时。设甲乙 两船在24小时内随时间可能到达,求它们中任何一船都不需等待码头空出的概率解：设X、丫分别为甲乙两船到达的时刻而甲到乙未到应满足Y-Xk而乙到甲未到应满足X-Y>2所以它们中任

7、何一船都不石等待码头空出的概率为24x24-2x22x22-丄 x 23x23P =0.879324x2414、从区间（0, 1）内任取两数，求这两个数的枳小1/4的概率。解：设从区间（0, 1）所取两数为X、Y1331X X X 耍便XY P = 一=0.5641或者P = 1 x丄+ C丄厶=丄+ 11124 号 4x 4 215、随机地想半圜Ovy为正帘数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概 率与区域的面积成匸比，求从原点到该点的连线与x轴正向的夹角小兰的概率。4解：如图半圆区域为样本空间S对平方移项(xa)2+y2=a2书件“与原点连线与Ox轴的夹角小J：兰”为A4A为如图阴影部分（蓝

8、色）其中加（S）=1CTTT 2m(A)=QT1 .7T+CT2.P(A)=也丄+丄m(s) 2 n16、已知P(兀)=0.3,P(B)=0.4, P(AB)= 0.5,求P(|AoF)解： P(AB) = P(A) P(力耳)=0.705=0.2nzo 4 亦' P(AB)P(AB)0.2/. P(B A<J B) =- = -0.25P(AS) P(A) + P(B)- P(AB) 0.7 + 0.6一0.518、三个人独工地去破译一份密码，L1知各人能译出的概率分别为丄丄丄。求密码被破译5 3 4 的概率。解:设£ =”第i个人能破译”,则所求为P(A"

9、")_4 2 3P(& o A3) = 1-P(&)P(AJP(&) = 1 x x = 0.65 3 419：设有4张卡片分别标以数字1, 2, 3, 4,今从中任取一张。设A表示质件“取到标有 1或2的卡片”，B表示爭件“取到标白1或3的卡片”，C表示出件“取到标有1或4的卡 片”。验证P(AB) = P(A)P(B), P(AC) = P(A)P(C), P(BC) = P(B)P(C)P(A)P(B)P(C) h P(ABC) 解：显然 P(A) = P(B) = P(C)=丄, P(AB)=丄,P(BC)=丄，P(ABC)=2444p(w(*)4，p

10、(g"(wc)斗 Pg)= P(时0 冷而 P(A)P(B)P(C) = -# P(ABC)820、某人忘记了电话号码的垠后一个数字，因而他随意地拨号。求他拨号不超过三次而接通 所需电话的概率。解：设A= “在三次内能拨通电话”，&J第1次能拨通电话“=1, 2, 3.则 A = & u AlA2 up(a)= p(a)+p(Aaj+p(AAa)=p(A)+p(A)ps|A)+p(a)p(X|a)p(4|44)1919813= 1 X| X X=10 10 9 10 9 81021、一批零件共loo个，其中次品io个每次从英中任取一个零件，取出的零件不再放回, 求第三

11、次才取到正胡的概率；（2）求第三次取到正品的概率.解：设"第】次取到正品”1，2, 3,A= “第三次才取到正品”，B= “第三次取到正品”（1）所求为 p（a）= p（A 心3）解法一心)-古。：心- 81 - 0.00831 - 3Afoo99-98解法二P（瓦心）=署浄解法二用乘法公式 p(A AA) = p(人 1A A.)P(A 4)= P(A,|A 可)P(兀 | 瓦)P(瓦)-90 X 9 X 10 - 0.0083498 99 100解法一育接计算法样木空间的取法：c；ooC：c；8 b = A44 U A4A U AA>A U. p（b）= p（&a,

12、3 uuu 人人人）然后利用加法公式和乘法公式厂1 厂1 厂1厂1 z-tl 厂1厂1 厂1 厂1厂1 厂1厂1Di pi90S9S3丄 901039丄 109089丄 10990A onn尸3）= ri ri ri+ ri ri ri+ ri ri ri十 ri riri =°892100999310099981009995100999S解法二用全概率公式：一、二两次取球情况幻A4，人4，人兀，A兀，构成了样本空间的一个划分令 B> = A A：, B： = AtA2, B、= AjAz, B。= AtA2 P(B) = P(BJP(A|BJ+ P(BJP(A|g)+ P(B

13、JP(A|B,)+ P(E)P(A|E)厂I 厂1厂1厂1 厂1厂1厂I 厂I厂1厂1 厂1厂11009998 V100e99V9S 1009998 100999822、设仃中、乙两袋，中袋中装有/I貝白球5 只红球;乙袋中装有N只白球、M只红球。 今从屮袋中任意取一只球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一只球。求从乙袋中取到白球的概率。解:设A“从甲袋中取出白球一只”,B“从乙袋中取到白球”用全概率公式：P()= P(AB)+P(帀)=p(a)p(b|a)+p(a)p(b|a)一 C；C.打 | C； C；MN +1) + 加Nc爲 C+A/+1C爲 C爲卄 (加 + n)(N + M +1)23

14、、如图丄2,3,4,5表示继电器接点.假设每一继电器接点闭介的概率为p,且设并继电器接点闭合与否相互独立，求L至R是通路的概率.解法一：设事件“L至R是通路”为AB,为事件“i接点闭合*1,2,5P(A) = P(A I BJP(BJ+P(A I 瓦)P(瓦)其中 PC=1 P(瓦)P(瓦)1 - P(瓦)P(瓦)= 1-(1-P)2 ： = /r(2 - p)2P(力 | 瓦)= 1-P(砸)P(证)» =l-(l-/r)2 = 2p2 一 p4 .p(A) = p2 -p)4 + (2, _ /)(1 _ p) = 2/ _ 切 + 2p，+ 2解法二：A",同解法一A

15、 = (B, o B4)(B2 u BJ) B出,Bq B2 B、- B2B4 B1 BsB、. P(A) = P(Qu®)(毘 u$)-P(3厶币(的厲厶的)=P(B BJP(B? o B5) - 2p2Q - pF= 1-(1-p)2 2 - 2p2(l - p)3 = 2p5 - 5 p4 + 2p3 + 2 p224、甲、乙、丙同时向E机射击,三人中命中率分别为0.4,0.5,0.7。E机被一人击中而被击 落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6,若被三人击中，飞机必定被击落.求飞机被击 落的概率.解:设Af="飞机被i人击中", 1=1, 2.

16、3B= “飞机被击落”用全概率公式P(B) = P(A1B u A.B) = P( AB) + P( AB) + P(AQ=P(A)P(科 A)+ P(人)P(B|人)+ P(Aj)P(B 肉)(1)设Dk “ E机被甲击中”,D乙“ E机被乙击中”,D丙“ E机被丙击中”则 p（A）=P（D甲D乙D丙o D甲D乙D丙D甲D乙D丙）=P（DpD乙 £丙）+ p （叭 d乙 %）+ P（D甲 D乙DQ山J甲乙丙的射击是和互独立的， P（&） =PQ屮）PQ乙）P（DQ+尸（£）尸（匹）尸（耳）+ P（鸟）P（耳）P（D 丙）-0.4 x 0.5 x 0.3 + 0.6 x 0.5 x 0.3 + 0.6 x 0.5 x 0.7 = 0.36同理求得 P（A2） = 0.41 P（AJ = 0.14彳弋入（1）式P（3） = 0.36x0.2 + 0.41x0.6 + 0.14xl = 0.45825、已知男人屮仃5%是色肓患者，女人屮有0.25%是色肓患者.今从男女人数相等的人群中 随机地挑选一人,恰好是色盲患者，求此人是男性的概率.解:设A”抽出的是男性”，B"抽出的是色有”所求为P（AB）用贝叶斯公式1 5P样籍=務將