专题七-函数、导数与零点、恒成立问题(整理)

1、专题 函数、导数与零点、恒成立问题函数、导数与零点问题 例1、 已知函数是实数集R上的奇函数，函数是区间一1，1上的减函数 (I)求a的值； (II) 若在x一1，1上恒成立，求t的取值范围 () 讨论关于x的方程的根的个数。变式1、若问是否存在实数m，使得y= f（x）=的图象与y=g（x）的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.变式2、已知函数f(x)=x+8x,g(x)=6lnx+m（）求f(x)在区间t,t+1上的最大值h(t);（）是否存在实数m，使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；，若不存在，说明

2、理由。例2、已知函数f(x)=ax3+bx23x在x=±1处取得极值. （）求函数f(x)的解析式； （）求证：对于区间1，1上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|4； （）若过点A（1，m）（m2）可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围.变式3奇函数的图象E过点两点. （1）求的表达式； （2）求的单调区间； （3）若方程有三个不同的实根，求m的取值范围.例3已知是二次函数，不等式的解集是且在区间上的最大值是12。（I）求的解析式；（II）是否存在自然数使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。变式4已知

3、函数的一个极值点. （）求a； （）求函数的单调区间； （）若的图象与x轴有且只有3个交点，求b的取值范围.例4已知函数 （）若，求的极大值； （）若在定义域内单调递减，求满足此条件的实数k的取值范围.变式5、已知两个二次函数：与，函数yg（x）的图像与轴有两个交点，其交点横坐标分别为（1）试证：在（1，1）上是单调函数（2）当>1时，设，是方程的两实根，且，试判断，的大小关系变式6 设函数其中 （1）求函数的最值； （2）判断，当时，函数在区间内是否存在零点。函数、导数与零点问题答案 例1、解：（I）是奇函数，则恒成立.（II）又在1，1上单调递减，令则. （III）由（I）知令，当上

4、为增函数；上为减函数，当时，而，、在同一坐标系的大致图象如图所示，当时，方程无解. 当时，方程有一个根. 当时，方程有两个根.变式1、令因为x0，要使函数f（x）与函数g（x）有且仅有2个不同的交点，则函数的图象与x轴的正半轴有且只有两个不同的交点当x（0，1）时，是增函数；当x（1，3）时，是减函数当x（3，+）时，是增函数当x=1或x=3时，又因为当x0时，当所以要使有且仅有两个不同的正根，必须且只须 即m=7或当m=7或时，函数f（x）与g（x）的图象有且只有两个不同交点。变式2、解：（I）当即时，在上单调递增，当即时，当时，在上单调递减，综上，（II）函数的图象与的图象有且只有三个不同

5、的交点，即函数的图象与轴的正半轴有且只有三个不同的交点。当时，是增函数；当时，是减函数；当时，是增函数；当或时，当充分接近0时，当充分大时，要使的图象与轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须即所以存在实数，使得函数与的图象有且只有三个不同的交点，的取值范围为 例2解：（I）f(x)=3ax2+2bx3，依题意，f(1)=f(1)=0， 即 解得a=1，b=0. f(x)=x33x. （II）f(x)=x33x,f(x)=3x23=3(x+1)(x1)，当1<x<1时，f(x)<0，故f(x)在区间1，1上为减函数，fmax(x)=f(1)=2，fmin(x)=f(1)=2对于区

6、间1，1上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|fmax(x) fmin(x)|；|f(x1)f(x2)|fmax(x)fmin(x)|=2(2)=4 （III）f(x)=3x23=3(x+1)(x1)， 曲线方程为y=x33x，点A（1，m）不在曲线上.设切点为M（x0，y0），则点M的坐标满足因，故切线的斜率为，整理得.过点A（1，m）可作曲线的三条切线，关于x0方程=0有三个实根.设g(x0)= ，则g(x0)=6，由g(x0)=0，得x0=0或x0=1.g(x0)在（，0），（1，+）上单调递增，在（0，1）上单调递减.函数g(x0)= 的极值点为x0=0，x0=1

7、关于x0方程=0有三个实根的充要条件是，解得3<m<2.故所求的实数a的取值范围是3<m<2变式3解：（1）为奇函数图象过点、（2）的增区间是，减区间是（1，1）（3）为使方程有三个不等根，则的取值范围是（2，2）例3、解：（I）是二次函数，且的解集是可设在区间上的最大值是由已知，得（II）方程等价于方程设则当时，是减函数；当时，是增函数。方程在区间内分别有惟一实数根，而在区间内没有实数根，所以存在惟一的自然数使得方程在区间内有且只有两个不同的实数根。变式4解：（） （）由（）知由；由函数的单调递增区间为函数的单调递减区间为1，3 （）由（）可知函数在单调递增；函数在1

8、，3单调递减； 函数在3，+单调递增；当x=1或x=3时， 要使的图象与x轴正半轴有且仅有三个不同的交点，只须 即例4解：（）定义域为 令 由由 即上单调递增，在上单调递减时，F(x)取得极大值 （）的定义域为(0+) 由G (x)在定义域内单调递减知：在(0+)内恒成立 令，则 由当时为增函数；当时 为减函数 当x = e时，H(x)取最大值故只需恒成立，又当时，只有一点x = e使得不影响其单调性变式5（1）的图像与轴有两个交点，其交点横坐标分别为，则方程有两个不同的实数根，即有，有或，或即或于是二次函数图像的对称轴在（1，1）的左侧或右侧，故 在（1，1）上是单调函数（2）是方程的两个实

9、根；故有，又 当时，的图像开口向上，与轴的两相交点为；而点，在x轴下方，有变式6解：（1）在上连续，令，得。当时，当时，。所以，当时，取极小值也是最小值。由知无最大值。（2）函数在上连续。而令则在上递增。由得，即，又根据定理，可判断函数在区间上存在零点。恒成立问题1（江苏卷）设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（A）（B）（C）（D）【正确解答】运用排除法，C选项，当a-b<0时不成立。【解后反思】运用公式一定要注意公式成立的条件如果如果a,b是正数，那么2(陕西卷)已知不等式(x+y)( + )9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为( )A.2 B.4 C.

10、6 D.8解析：不等式(x+y)()9对任意正实数x，y恒成立，则9， 2或4(舍去)，所以正实数a的最小值为4，选B3(上海卷)三个同学对问题“关于的不等式25|5|在1，12上恒成立，求实数的取值范围”提出各自的解题思路甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”乙说：“把不等式变形为左边含变量的函数，右边仅含常数，求函数的最值”丙说：“把不等式两边看成关于的函数，作出函数图像”参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即的取值范围是 解：由25|5|，而，等号当且仅当时成立；且，等号当且仅当时成立；所以，等号当且仅当时成立；故；4.（江西卷）若不等式x2ax1³0对于一切xÎ（0，成立，则a的取值范围是（ ）A0 B. 2 C.- D.-3解：设f（x）x2ax1，则对称轴为x若³，即a£1时，则f（x）在0，上是减函数，应