解析几何_柱面、旋转曲面及二次曲面

1、观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程: 定义定义4.1.14.1.1 平行于定直线并沿定曲线移动平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为的直线所形成的曲面称为柱面柱面. .这条定曲线叫这条定曲线叫柱面的柱面的准线准线，动直线叫柱面动直线叫柱面的的母线母线.柱面柱面母线母线准准线线柱面柱面定义定义平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 C 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 L 叫叫柱面的柱面的母线母线.设柱面的准线为设柱面的准线为) 1 (0),(0),(21zyxFzyxF母线的

2、方向数为母线的方向数为X,Y,Z。如果。如果M1(x1,y1,z1)为准线为准线上一点，则过点上一点，则过点M1的母线方程为的母线方程为)2(111ZzzYyyXxx且有且有F1(x1,y1,z1)=0,F2(x1,y1,z1)=0 (3)从（从（2）（）（3）中消去）中消去x1,y1,z1得得F(x,y,z)=0这就是以这就是以（1 1）为准线，母线的方向数为为准线，母线的方向数为X，Y，Z的的柱面的方程。柱面的方程。柱面举例柱面举例xozyxozyxy22 抛物柱面抛物柱面xy 平面平面从柱面方程看柱面的从柱面方程看柱面的特征特征：（其他类推）（其他类推）实实 例例12222 czby椭圆

3、柱面椭圆柱面 母线母线/ 轴轴x12222 byax双曲柱面母线双曲柱面母线/ 轴轴zpzx22 抛物柱面母线抛物柱面母线/ 轴轴y 只含只含yx,而缺而缺z的方程的方程0),( yxF，在，在空间直角坐标系中表示母线平行于空间直角坐标系中表示母线平行于z轴的柱轴的柱面，其准线为面，其准线为xoy面上曲线面上曲线C.1. 椭圆柱面椭圆柱面12222 byaxxyzO2. 双曲柱面双曲柱面12222 byaxxozy例例1、柱面的准线方程为、柱面的准线方程为2221222222zyxzyx而母线的方向数为而母线的方向数为-1-1，0 0，1 1，求这柱面的方程。，求这柱面的方程。例例2、已知圆柱

4、面的轴为、已知圆柱面的轴为21211zyx点点（1,-2,1)1,-2,1)在此在此圆柱面上，求这个柱面的方程圆柱面上，求这个柱面的方程。（2）母线平行于坐标轴的柱面方程）母线平行于坐标轴的柱面方程 、 F(x , y ) = 0 准线准线C: xOy 平面上的曲线平面上的曲线F(x, y) = 0 母线母线L与与z 轴平行；轴平行；、G(x , z) = 0 准线准线C: xOz 平面上的曲线平面上的曲线G(x, z) = 0 母线母线L与与y 轴平行；轴平行；、H( y , z) = 0 准线准线C: yOz 平面上的曲线平面上的曲线H(y, z) = 0 母线母线L与与x 轴平行轴平行.

5、例如抛物柱面例如抛物柱面 y - x2 = 0C: xOy 平面上的平面上的抛物抛物线线 y - x2 = 0L:平行于平行于z 轴轴圆柱面圆柱面 x2 +z2= 1C: xOz 平面上的圆平面上的圆 x2 +z2= 1L:平行于平行于y 轴轴oxyzoxyz空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影 1、概念、概念 C：空间曲线：空间曲线 投影柱面投影柱面S：以：以C为准线，为准线，母线平行于坐标轴的柱面。母线平行于坐标轴的柱面。 投影投影C：投影柱面与投影坐标面的交线。：投影柱面与投影坐标面的交线。oxyzCSC 2、求解步骤、求解步骤 空间曲线空间曲线C的一般方程的一般方程 (1)

6、 投影柱面方程投影柱面方程 (2) 投影曲线方程投影曲线方程 0,0,zyxGzyxF0),(0),(0,zxTzyRyxH或或00,00,00,yzxTxzyRzyxH或或 例例 已知两球面的方程为已知两球面的方程为 求它们的交线求它们的交线C在在xOy面上的投影方程面上的投影方程 解解 消去变量消去变量z，得投影柱面方程，得投影柱面方程于是投影方程为于是投影方程为 1111222222zyxzyx及02222yyx002222zyyx 例例 设一个立体由上半球面设一个立体由上半球面 与锥面与锥面 所围成，求它在所围成，求它在xOy面上的投影面上的投影 解解 半球面与锥面的交线半球面与锥面的

7、交线C:224yxz)( 322yxz)( 342222yxzyxz消去变量，得投影柱面方程消去变量，得投影柱面方程投影曲线方程投影曲线方程所求立体在所求立体在xOy面上的投影就是该圆在面上的投影就是该圆在xOy面上面上所围成的区域所围成的区域 122 yx0122zyx0122zyx旋转曲面旋转曲面一、一、. 旋转曲面旋转曲面1、 定义定义: 以一条平面曲线以一条平面曲线C绕其平面上的一绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做条直线旋转一周所成的曲面叫做旋旋转曲面转曲面, 这条定直线叫旋转曲面的这条定直线叫旋转曲面的轴轴.曲线曲线C称为放置曲面的称为放置曲面的母线母线oC纬线纬线经线经线二

8、、旋转曲面的方程二、旋转曲面的方程在空间坐标系中，设旋转曲面的母线为：)1 (0),(0),(:21zyxFzyxFC旋转直线为：)2(:000ZzzYyyXxxL其中P0(x0,y0,z0)为轴L上一定点，X，Y，Z为旋转轴L的方向数。设M1(x1,y1,z1)为母线C上的任意点，则M1的纬圆总可以看成是过M1且垂直于旋转轴L的平面与以P0为中心，|P0M1|为半径的球面的交线。所以过M1的纬圆的方程为()()()()()() 3 (0)()()(zzyyxxzzyyxxzzZyyYxxX 当点M1跑遍整个母线C时，就得到所有的纬圆，这些纬圆就生成旋转

9、曲面。又由于M1在母线上，所以又有：)4(0),(0),(:11121111zyxFzyxFC从（3）（4）的四个等式中消去参数x1,y1,z1,得到一个三元方程：F(x,y,z)=0这就是以C为母线，L为旋转轴的旋转曲面的方程。例1、求直线0112zyx绕直线x=y=z旋转所得旋转曲面的方程。解：设M1(x1,y1,z1)是母线上的任意点，因为旋转轴通过原点，所以过M1的纬圆方程是：2121212221110)()()(zyxzyxzzyyxx又由于M1在母线上，所以又有：0112111zyx即 x1=2y1,z1=1,消去x1,y1,z1得所求旋转曲面的方程：2(x2+y2+z2)-5(x

10、y+yz+zx)+5(x+y+z)-7=0。下面特殊的旋下面特殊的旋转曲面转曲面曲线曲线 C 00),(xzyfCy zo绕绕 z轴轴曲线曲线 C 00),(xzyfxCy zo绕绕z轴轴.曲线曲线 C 00),(xzyf旋转一周得旋转一周得旋转曲面旋转曲面 SCSMN), 0(11zy zz 1zPMPy |11y1zy zo绕绕 z轴轴.22yx f (y1, z1)=0M(x,y,z).x S曲线曲线 C 00),(xzyf旋转一周得旋转一周得旋转曲面旋转曲面 SxCSMN), 0(11zyzz 1zPMPy |11y1z0),( 22 zyxfS：.绕绕 z轴轴.22yx f (y1,

11、 z1)=0M(x,y,z)f (y1, z1)=0f (y1, z1)=0.y zo S三、母线在坐标面而旋转轴为坐标轴的旋转曲面：三、母线在坐标面而旋转轴为坐标轴的旋转曲面： 已知yoz面上一条曲线C, 方程为f (y, z) = 0, 曲线C绕 z 轴旋转一周就得一个旋转曲面.设M1(0, y1, z1)是C上任意一点, 则有f( y1, z1) = 0当C绕 z 轴旋转而M1随之转到M (x, y, z)时, 有|1221yyxzz221yxy将z1 = z, 代入方程f( y1, z1) = 0, xozy0),( zyf), 0(111zyM Md同同理理：yoz坐坐标标面面上上的

12、的已已知知曲曲线线0),( zyf绕绕y轴轴旋旋转转一一周周的的旋旋转转曲曲面面方方程程为为 . 0,22 zxyf得旋转曲面的方程:0) ,(22zyxf即规律：规律： 当坐标平面上的曲线C绕此坐标平面的一个坐标旋转时，要求该旋转曲面的方程，只要将曲线C在坐标面里的方程保留和旋转轴同名的坐标，而以其它两个坐标平方和的平方根来代替方程中的另一坐标。xozy解解 yoz面上直线方程为面上直线方程为 cotyz ), 0(111zyM ),(zyxM圆锥面方程圆锥面方程 cot22yxz oxzy 例2: 求直线 z = ay 绕 z 轴旋转所得的旋转曲面方程.zxyz = ay解: 将 y 用

13、代入直线方程, 得22yx)(22yxaz平方得:z2 = a2 ( x2 + y2 )该旋转曲面叫做圆锥面, 其顶点在原点.例例3 3 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程生成的旋转曲面的方程绕绕x轴轴旋旋转转绕绕z轴轴旋旋转转122222 czyax122222 czayx旋转双曲面旋转双曲面（单叶）（单叶）（双叶）（双叶）绕绕x轴轴旋旋转转122222 czyax旋转双叶双曲面旋转双叶双曲面yzoxyzox绕绕z轴轴旋旋转转122222 czayx（1）xOz 面面上上双双曲曲线线12222 czax分分别别绕绕 x轴轴和和 z轴轴；

14、xyoz xyoz旋转单叶双曲面旋转单叶双曲面例4、将圆0)0()(222xabazby绕Z轴旋转，求所得旋转曲面的方程。解：所求旋转曲面的方程为：22222)(azbyx即：(x2+y2+z2+b2-a2)2=4b2(x2+y2)该曲面称为圆环面。yxorR)0()222 rRryRx（ 圆圆绕绕 y轴轴 旋转所成曲面旋转所成曲面5 5z绕绕 y轴轴 旋转所成曲面旋转所成曲面yxo.)0()222 rRryRx（ 圆圆z绕绕 y轴轴 旋转所成曲面旋转所成曲面22222)(ryRzx 环面方程环面方程.生活中见过这个曲面吗？生活中见过这个曲面吗？yxo)(4)( 222222222zxRrRz

15、yx 或或.)0()222 rRryRx（ 圆圆.绕绕y轴轴旋旋转转绕绕z轴轴旋旋转转122222 czxay122222 czayx旋转椭球面旋转椭球面pzyx222 旋转抛物面旋转抛物面（长形）（长形）（短形）（短形）绕绕y轴轴旋旋转转绕绕z轴轴旋旋转转122222 czxay122222 czayx旋转椭球面旋转椭球面xyzxyz（3）yOz 面上抛物线面上抛物线pzy22 绕绕 z轴；轴； pzyx222 旋转抛物面旋转抛物面xyzoxyzo0 p第四节第四节 二次曲面二次曲面二次曲面的定义：二次曲面的定义：三元二次方程三元二次方程相应地平面被称为相应地平面被称为一次曲面一次曲面讨论二

16、次曲面性状的讨论二次曲面性状的平面截痕法平面截痕法： 用用坐标面和平行于坐标面的平面坐标面和平行于坐标面的平面与曲面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌加以综合，从而了解曲面的全貌以下用以下用截痕法截痕法讨论几种特殊的二次曲面讨论几种特殊的二次曲面一、基本内容、基本内容所表示的曲面称之为二次曲面所表示的曲面称之为二次曲面ax2 + by2 + cz2 +dxy + exz + fyz + gx + hy + iz +j = 01 222222 czbyax截痕法截痕法用用z = h截曲面截曲面用用y = m截曲面截曲面用

17、用x = n截曲面截曲面abcyx zo第四节第四节 椭球面椭球面一、性质一、性质 1. 对称性对称性 中心 ： 坐标原点（1个）; 主轴 ： x轴、y轴和z轴（3条）; 主平面： xOy面、yOz面和zOx面（3个）. 2. 截距和顶点截距和顶点x=0, y=0 z有解, 则z 轴上两个顶点； x=0, z=0 则y轴上有两个顶点:z=0, y=0 则x轴上有两个顶点: 1 222222 czbyax椭球面的方程ozyx1222222 czbyax 椭球面与椭球面与三个坐标面三个坐标面的交线：的交线：,012222 yczax.012222 xczby,012222 zbyax椭球面椭球面椭

18、圆截面的大小随平面位置的变化而变化椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.椭球面与平面椭球面与平面 的交线为的交线为椭圆椭圆1zz 同理与平面同理与平面 和和 的交线也是的交线也是椭圆椭圆.1xx 1yy 12122222122221)()(zzzccbyzccaxcz |1zoxyO2 用平面z = k去截割(要求 |k | c), 得椭圆kzckbyax2222221当 |k | c 时, |k |越大, 椭圆越小;当 |k | = c 时, 椭圆退缩成点.二二. 几种常见二次曲面几种常见二次曲面.（一） 椭球面1222222Czbyax椭球面的几种特殊情况：椭球面的几种特殊情况：,)1(b

19、a 1222222 czayax旋转椭球面旋转椭球面 012222yczax由椭圆由椭圆 绕绕 轴旋转而成轴旋转而成z旋转椭球面旋转椭球面与与椭球面椭球面的的区别区别：122222 czayx方程可写为方程可写为与平面与平面 的交线为圆的交线为圆.1zz )| (1cz ,)2(cba 1222222 azayax球面球面.2222azyx .)(12122222 zzzccayx截面上圆的方程截面上圆的方程方程可写为方程可写为3 类似地, 依次用平面x = 0,平面y = 0截割, 得椭圆:,012222xczby.012222yczax特别: 当a=b=c时, 方程x2 + y2 + z2

20、 = a2 , 表示球心在原点o, 半径为a的球面.椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.椭球面与平面椭球面与平面 的交线为的交线为椭圆椭圆1zz 同理与平面同理与平面 和和 的交线也是的交线也是椭圆椭圆.1xx 1yy 12122222122221)()(zzzccbyzccaxcz |1（二）双曲面（二）双曲面单叶双曲面单叶双曲面1222222 czbyax（1）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截)0( zxoy截得中心在原点截得中心在原点 的椭圆的椭圆.)0 , 0 , 0(O 012222zbyax与平面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆.1zz

21、 当当 变动时，这种椭变动时，这种椭圆的圆的中心中心都在都在 轴上轴上.1zz 122122221zzczbyax（2）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截)0( yxoz截得中心在原点的双曲线截得中心在原点的双曲线. 012222yczax实轴与实轴与 轴相合，轴相合，虚轴与虚轴与 轴相合轴相合.xz 122122221yybyczax双曲线的双曲线的中心中心都在都在 轴上轴上.y与平面与平面 的交线为双曲线的交线为双曲线.1yy )(1by ,)1(221by x实轴与实轴与 轴平行轴平行,z虚轴与虚轴与 轴平行轴平行.,)2(221by z实轴与实轴与 轴平行轴平行,x虚轴与虚轴与

22、轴平行轴平行.,)3(1by 截痕为一对相交于点截痕为一对相交于点 的直线的直线.)0 , 0(b,0 byczax.0 byczax,)4(1by 截痕为一对相交于点截痕为一对相交于点 的直线的直线.)0 , 0(b ,0 byczax.0 byczax（3）用坐标面）用坐标面 ， 与曲面相截与曲面相截)0( xyoz1xx 均可得双曲线均可得双曲线.单叶双曲面图形单叶双曲面图形 xyoz平面平面 的截痕是的截痕是两对相交直线两对相交直线.ax 一、概念一、概念在空间直角坐标系中，由方程)0,( 1222222cbaczbyax所表示的曲面，叫做单叶双曲面, 此方程叫做单叶双曲面的标准方程.

23、方程1222222czbyax与1222222czbyax表示的曲面也是单叶双曲面.二、性质二、性质 1. 对称性对称性 中心 ： 坐标原点（1个）; 主轴 ： x轴、y轴和z轴（3条）; 主平面： xOy面、yOz面和zOx面（3个）. 2. 截距和顶点截距和顶点x=0, y=0 z无解, 则z 轴上没有顶点； x=0, z=0 y = b, 则y轴上有顶点:z=0, y=0 x = a, 则x轴上有顶点: （0，b ，0）（2个）；（a，0，0）（2个）.)0,( 1222222cbaczbyax3.主截线主截线012222xczby(1): 双曲线实轴为y轴, 虚轴为z轴;012222y

24、czax: 双曲线实轴为x轴, 虚轴为z轴;(2)(3)012222zbyax: (腰椭圆）.)1(222222czbyax4.平行截线平行截线hzchbyax2222221hzchbychax1)1()1(22222222无论h取何值，此方程组总表示在平面:hz 上的椭圆， 它的两半轴为：221chb与221cha此时椭圆的两轴端点（ ，0， h）221cha与（0， ， h）221chb分别在两条主截线 （双曲线）上， 且所在平面与腰椭圆平行.结论：结论：单叶双曲面可以看成是由一个椭圆变动其大小和位置而产生的，在变动中这个椭圆始终保持：所在平面平行于xOy面，且两轴的端点分别沿着yOz和zOx面上的主截线（双曲线）滑动。三、图形 根据以上讨论，可画出单叶双曲面的图形如下：主双曲线（yoz面） 腰椭圆（xoy面）主双曲