菱形的判定专项练习30题

1、菱形的判定专项练习30 题（有答案）1 如图，梯形ABCD 中， AD BC ， BA=AD=DC=BC ，点 E 为 BC 的中点（ 1 ）求证：四边形 ABED 是菱形；（ 2 ）过 A 点作 AF BC 于点 F ，若 BD=4cm ，求 AF 的长2 如图，四边形ABCD 中，对角线AC、 BD 相交于点O，且 AC BD 点 M ， N 分别在 BD 、 AC 上，且 AO=ON=NC ， BM=MO=OD 求证： BC=2DN 3 如图，在 ABC 中， AB=AC ，D ，E， F 分别是 BC ， AB ， AC 的中点（ 1 ）求证：四边形 AEDF 是菱形；（ 2 ）若 A

2、B=12cm ，求菱形 AEDF 的周长4 如图，在 ?ABCD 中， EF BD ，分别交BC ，CD 于点 P ， Q，交 AB ， AD 的延长线于点E ， F已知 BE=BP 求证：（1）E=F；（ 2 ）?ABCD 是菱形5 如图，在 ABC 中， D 是 BC 的中点， E 是 AD 的中点，过点A 作 AF BC ，AF 与 CE 的延长线相交于点 F ，连接 BF （ 1 ）求证： AF=DC ；（ 2 ）若 BAC=90 °，求证：四边形 AFBD 是菱形6 已知平行四边形ABCD 中，对角线BD 平分 ABC ，求证：四边形ABCD 是菱形7 如图，在一个含30

3、°的三角板ABC 中，将三角板沿着AB 所在直线翻转180 °得到 ABF ，再将三角板绕点 C 顺时针方向旋转60 °得到 DEC ，点 F 在 AC 上，连接AE （ 1 ）求证：四边形ADCE 是菱形（ 2 ）连接 BF 并延长交 AE 于 G，连接 CG 请问：四边形ABCG 是什么特殊平行四边形？为什么？8 如图， 已知四边形 ABCD 是平行四边形， DE AB ，DF BC ，垂足分别是为 E F，并且 DE=DF 求证：四边形 ABCD 是菱形9如图，在 ABC 中， DE BC ，分别交 AB ，AC 于点 D，E ，以 AD ，AE 为边作 ?

4、ADFE 交 BC 于点G， H ，且 EH=EC 求证：（1）B=C；（ 2 ） ?ADFE 是菱形10 如图， 在 ABC 中，ACB=90 °，CD 是 AB 边上的高， BAC 的平分线AE 交 CD 于 F，EG AB于 G（ 1 ）求证： AEG AEC ；（ 2 ） CEF 是否为等腰三角形，请证明你的结论；（ 3 ）四边形 GECF 是否为菱形，请证明你的结论11 如图，在 ABC 中， AB=AC ，点 D 、 E、 F 分别是 ABC 三边的中点求证：四边形ADEF 是菱形12 如图，在四边形ABCD 中， AB=CD ，M 、N 、E、 F 分别为 AD 、 B

5、C 、BD 、AC 的中点，求证：四边形 MENF 为菱形13 已知： 如图，在梯形 ABCD 中，AD BC ，AB=AD ， BAD 的平分线AE 交 BC 于点 E ，连接 DE 求证：四边形ABED 是菱形14 如图，在 ABC中， AB=AC，M、O、N分别是AB 、BC 、CA的中点求证：四边形AMON是菱形15 如图：在 ABC 中， BAC=90 °，AD BC 于 D，CE 平分 ACB ，交 AD 于 G，交 AB 于 E，EF BC于 F求证：四边形AEFG 是菱形16 如图，矩形ABCD 绕其对角线交点旋转后得矩形AECF ， AB 交 EC 于点 N ， C

6、D 交 AF 于点 M求证：四边形ANCM 是菱形17 如图，四边形ABCD 、DEBF 都是矩形， AB=BF ，AD 、BE 交于 M，BC 、DF 交于 N，那么四边形BMDN 是菱形吗？如果是，请写出证明过程；如果不是，说明理由18 已知如图所示， AD 是 ABC 的角平分线， DE AC 交 AB 于 E，DF AB 交 AC 于 F，四边形 AEDF是菱形吗？说明理由19 已知：如图所示，BD 是 ABC 的角平分线， EF 是 BD 的垂直平分线，且交AB 于 E，交 BC 于点F 求证：四边形BFDE 是菱形20 如图，在平行四边形ABCD 中， O 是对角线AC 的中点，过

7、点O 作 AC 的垂线与边AD 、 BC 分别交于 E、F求证：四边形AFCE 是菱形21 如图，在矩形ABCD 中， EF 垂直平分BD （ 1 ）判断四边形 BEDF 的形状，并说明理由（ 2 ）已知 BD=20 ，EF=15 ，求矩形 ABCD 的周长22 如图所示， 在 ?ABCD 中，点 E 在 BC 上，AE 平分 BAF ，过点 E 作 EF AB 求证： 四边形 ABEF为菱形23 已知， 如图，矩形 ABCD 中，AB=4cm ，AD=8cm ，作 CAE= ACE 交 BC 于 E ，作 ACF= CAF交AD 于F（ 1 ）求证： AECF 是菱形；（ 2）求四边形AEC

8、F 的面积24 如图， 平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别交于E、F问四边形AFCE是菱形吗？请说明理由25 如图：在平行四边形ABCD 中， E 、 F 分别是边AB 、 CD 的延长线上一点，且BE=DF ，连接 EF交AC 于O（ 1 ）AC 与 EF 互相平分吗？为什么？（ 2 ）连接 CE 、 AF ，再添加一个什么条件，四边形AECF 是菱形？为什么？26 已知：如图， ABC 和 DBC 的顶点在 BC 边的同侧， AB=DC ，AC=BD 交于 E， BEC 的平分线交 BC 于 O，延长 EO 到 F ，使 EO=OF 求证：四边形 BFCE

9、 是菱形27 如图，在 ABC 中， D 是 BC 边的中点， F， E 分别是 AD 及其延长线上的点，CF BE （ 1 ）求证： BDE CDF ；（ 2 ）请连接 BF ， CE，试判断四边形 BECF 是何种特殊四边形，并说明理由；（ 3 ）在（ 2）下要使 BECF 是菱形，则 ABC 应满足何条件？并说明理由28 如图，在 ABC 中， ACB=90 °， BC 的垂直平分线DE 交 BC 于 D ，交 AB 于 E， F 在 DE 上，并且 AF=CE （ 1 ）求证：四边形ACEF 是平行四边形；（ 2 ）当 B 的大小满足什么条件时，四边形ACEF 是菱形？请回答

10、并证明你的结论29 如图，在 ABC 中， AD 是 BAC 的平分线， EF 垂直平分AD 交 AB 于 E，交 AC 于 F求证：四边形AEDF 是菱形30 如图， ABC 中，点 O 是边 AC 上一个动点，过O 作直线 MN BC ，设 MN 交 BCA 的平分线于点 E，交 BCA 的外角平分线于点F（ 1）探究：线段 OE 与 OF 的数量关系并加以证明；（ 2）当点 O 运动到何处，且 ABC 满足什么条件时，四边形AECF 是正方形？（ 3）当点 O 在边 AC 上运动时，四边形 BCFE 会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由矩形的判定专项练习30 题参考答案：1 1）

11、证明： 点 E 为 BC 的中点， BE=CE=BC ， BA=AD=DC=BC ， AB=BE=ED=AD ， 四边形 ABED 是菱形；（ 2）解：过点 D 作 DH BC ，垂足为 H， CD=DE=CE ， DEC=60 °， DBE=30 °，在 Rt BDH 中， BD=4cm ， DH=2cm ， AF=DH ， AF=2cm 2 AO=ON ， BM=MO ， 四边形 AMND 是平行四边形， AC BD ， 平行四边形 AMND 是菱形， MN=DN ， ON=NC ， BM=MO ， MN=BC ， BC=2DN3（ 1） D， E 分别是 BC ，AB

12、 的中点， DE AC 且 DE=AF=AC 同理 DF AB 且 DF=AE=AB 又 AB=AC ， DE=DF=AF=AE， 四边形 AEDF 是菱形（ 2 ）E 是 AB 中点， AE= AB=6cm ，因此菱形 AEDF 的周长为 4 ×6=24cm 4（1） BE=BP ， E=BPE ， BC AF ， BPE= F， E= F（ 2）EF BD ， E=ABD ， F=ADB ， ABD= ADB ， AB=AD ， 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD 是菱形5 1）证明： E 是 AD 的中点， AE=DE ， AF BC ， 1= 2，在AEF 和DEC

13、中， AFE DCE （ AAS ）， AF=DC ；（ 2 ）证明： D 是 BC 的中点， DB=CD= BC ， AF=CD ， AF=DB ， AF BD ， 四边形 AFBD 是平行四边形， BAC=90 °， D 为 BC 中点， AD= CB=DB ， 四边形 AFBD 是菱形6对角线 BD 平分 ABC ， 1= 2， 四边形 ABCD 是平行四边形， AB DC， 3= 1， 3= 2， DC=BC ，又 四边形 ABCD 是平行四边形， 四边形 ABCD 是菱形7 （ 1） 三角板 ABC 中，将三角板沿着 AB 所在直线翻转 180 °得到 ABF ，

14、 ABC ABF ，且 BAC= BAF=30 °， FAC=60 °， AD=DC=AC ，又 ABC EFC ， CA=CE ，又 ECF=60 °， AC=EC=AE ， AD=DC=CE=AE ， 四边形 ADCE 是菱形；（ 2 ）证明：由（ 1 ）可知： ACD ， AFC 是等边三角形， ACB AFB ， EDC= BAC= FAC=30 °，且 ABC 为直角三角形， BC= AC ， EC=CB ， EC= AC ， E为 AC 中点， DE AC ， AE=EC ， AG BC ， EAG= ECB ， AGE= EBC ， AEG

15、 CEB ， AG=BC ，（7 分） 四边形 ABCG 是平行四边形， ABC=90 °， 四边形 ABCG 是矩形8在 ADE 和CDF 中， 四边形 ABCD 是平行四边形， A=C， DE AB ，DF BC， AED= CFD=90 °又 DE=DF ， ADE CDF （ AAS ） DA=DC ， 平行四边形 ABCD 是菱形9（ 1）在?ADFE 中， AD EF， EHC= B（两直线平行，同位角相等） EH=EC （已知）， EHC= C（等边对等角） ， B= C （等量代换）；（ 2） DE BC （已知）， AED= C， ADE= B B=C，

16、AED= ADE ， AD=AE ， ?ADFE 是菱形10 1）证明： ACB=90 °， AC EC 又 EG AB ， AE 是 BAC 的平分线， GE=CE 在 Rt AEG 与 Rt AEC 中， Rt AEG Rt AEC （ HL ）；（ 2 ）解： CEF 是等腰三角形理由如下： CD 是 AB 边上的高，CD AB 又EGAB ，EG CD ， CFE= GEA 又由（ 1）知， Rt AEG Rt AEC ， GEA= CEA ， CEA= CFE ，即 CEF= CFE ， CE=CF ，即 CEF 是等腰三角形；（ 3 ）解：四边形GECF 是菱形理由如下：

17、 由（1 ）知， Rt AEG Rt AEC ，则 GE=EC ；由（ 2）知， CE=CF ， GE=EC=FC 又EGCD ，即 GE FC ， 四边形 GECFR 是菱形11 D 、E 、 F 分别是 ABC 三边的中点，DEAC ，EFAB ， 四边形 ADEF 为平行四边形又 AC=AB ， DE=EF 四边形 ADEF 为菱形12 M、 E 、分别为 AD 、 BD 、的中点，ME AB ，ME=AB ，同理： FH AB ， FH=AB ， 四边形 MENF 是平行四边形， M F 是 AD ，AC 中点， MF= DC， AB=CD ， MF=ME ， 四边形 MENF 为菱形

18、13 AE 平分 BAD ， BAE= DAE ， （ 1 分）在 BAE 和DAE 中， BAE DAE （ SAS ） （ 2 分） BE=DE ， （3 分） AD BC ， DAE= AEB ， （ 4 分） BAE= AEB ， AB=BE ， （ 5 分） AB=BE=DE=AD ， （ 6 分） 四边形 ABED 是菱形14AB=AC ， M、O、N 分别是 AB、BC 、CA的中点， AM= AB= AC=AN ，M0 AC ，NO AB ，且 MO=AC=AN ，NO=AB=AM （三角形中位线定理） ， AM=MO=AN=NO ， 四边形 AMON 是菱形（四条边都相等的四

19、边形是菱形）15 证法一： AD BC ， ADB=90 °， BAC=90 °， B+ BAD=90 °， BAD+ CAD=90 °， B=CAD ， CE 平分 ACB ，EF BC， BAC=90 °（EA CA ）， AE=EF （角平分线上的点到角两边的距离相等）， CE=CE ， 由勾股定理得：AC=CF ， ACG 和 FCG 中， ACG FCG ， CAD= CFG ， B=CAD ， B=CFG ， GF AB ， AD BC ，EFBC ， AD EF ，即 AGEF ，AE GF， 四边形 AEFG 是平行四边形， A

20、E=EF ， 平行四边形AEFG 是菱形证法二： AD BC ， CAB=90 °，EF BC ，CE平分 ACB ， AD EF ， 4= 5，AE=EF ， 1=180 °90 ° 4 ， 2=180 °90 ° 5 ， 1=2， AD EF ， 2=3， 1=3， AG=AE ， AE=EF ， AG=EF ， AG EF ， 四边形 AGFE 是平行四边形， AE=EF ， 平行四边形AGFE 是菱形16 CD AB， FMC= FAN ， NAE= MCF （等角的余角相等） ，在 CFM 和 AEN 中， CFM AEN （ASA

21、）， CM=AN ， 四边形 ANCM 为平行四边形，在 ADM 和CFM 中， ADM CFM （ AAS ）， AM=CF ， 四边形 ANCM 是菱形17 四边形 BMDN 是菱形 AM BC ， AMB= MBN ， BM FN MBN= BNF ， AMB= BNF ，又 A= F=90 °，AB=BF ， ABM BFN ， BM=BN ，同理， EMD CND ， DM=DN ， ED=BF=AB ， E= A=90 °， AMB= EMD ， ABM EDM ， BM=DM ， MB=MD=DN=BN ， 四边形 BMDN 是菱形18 如图，由于 DE AC

22、 ，DF AB ，所以四边形 AEDF 为平行四边形 DE AC ， 3=2，又1= 2， 1=3， AE=DE ， 平行四边形AEDF 为菱形19 EF 是 BD 的垂直平分线， EB=ED ， EBD= EDB BD 是 ABC 的角平分线， EBD= FBD FBD= EDB ， ED BF 同理， DFBE ， 四边形 BFDE 是平行四边形又 EB=ED ， 四边形 BFDE 是菱形20 方法一： AE FC EAC= FCA （ 2 分）又 AOE= COF ， AO=CO ， AOE COF （5 分） EO=FO 又 EFAC ， AC 是 EF 的垂直平分线 （ 8 分） A

23、F=AE ， CF=CE ，又 EA=EC ， AF=AE=CE=CF 四边形 AFCE 为菱形（ 10 分）方法二： 同方法一， 证得 AOE COF （ 5 分） AE=CF 四边形 AFCE 是平行四边形 （ 8 分）又 EF 是 AC 的垂直平分线， EA=EC ， 四边形 AFCE 是菱形（ 10 分）方法三：同方法二，证得四边形 AFCE 是平行四边形（8 分）又 EFAC ，（9 分） 四边形 AFCE 为菱形21 （1 ）四边形BEDF 是菱形在 DOF 和BOE 中， FDO= EBO ，OD=OB ， DOF= BOE=90 °，所以 DOF BOE ，所以 OE

24、=OF 又因为 EF BD ， OD=OB ，所以四边形 BEDF 为菱形（5 分）（ 2 ）如图，在菱形 EBFD 中， BD=20 ， EF=15 ，则 DO=10 ， EO=7.5 由勾股定理得 DE=EB=BF=FD=12.5 S 菱形 EBFD =EF ?BD=BE ?AD ，即所以得 AD=12 根据勾股定理可得AE=3.5 ，有 AB=AE+EB=16由 2（AB+AD ） =2 （ 16+12 ） =56 ，故矩形 ABCD 的周长为 5622 四边形 ABCD 是平行四边形， AF BE ，又 EFAB ， 四边形 ABEF 为平行四边形，AE 平分 BAF ， BAE= F

25、AE ， FAE= BEA ， BAE= BEA ， BA=BE ， 平行四边形 ABEF 为菱形23 （1 ）证明：在矩形ABCD 中， AB CD， BAC= DCA ，又 CAE= ACE ， ACF= CAF ， EAC= FCA AE CF 四边形 AECF 为平行四边形，又CAE= ACE ， AE=EC ?AECF 为菱形（ 2 ）设 BE=x ，则 EC=AE=8 x，在 Rt ABE 中，AB 2+BE 2=AE 2，即 42+x 2=（ 8 x） 2解之得 x=3 ，所以 EC=5 ，即 S 菱形 AECF =EC ×AB=5 ×4=20 24 四边形A

26、FCE 是菱形，理由是： 四边形 ABCD 是平行四边形， AD BC ， = ， AO=OC ， OE=OF ， 四边形 AFCE 是平行四边形， EF AC ， 平行四边形 AFCE 是菱形25 （1 ） AC 与 EF 互相平分，连接 CE ，AF ， 平行四边形 ABCD ， AB CD ， AB=CD ，又 BE=DF ， AB+BE=CD+DF ， AE=CF ， AE CF ，AE=CF ， 四边形 AECF 是平行四边形， AC 与 EF 互相平分；（ 2）条件： EFAC ，EF AC ，又 四边形 AECF 是平行四边形， 平行四边形 AECF 是菱形26 AB=DC AC

27、=BD BC=CB， ABC DCB ， DBC= ACB ， BE=CE ，又 BEC 的平分线是EF ， EO 是中线（三线合一） ， BO=CO ， 四边形 BFCE 是平行四边形（对角线互相平分），又 BE=CE ， 四边形 BFCE 是菱形27 （1）证明： CF BE ， EBD= FCD ， D 是 BC 边的中点， 则 BD=CD ， BDE= CDF ， BDE CDF （ 2 ）如图所示， 由（ 1 ）可得 CF=BE ，又 CF BE ，所以四边形 BECF 是平行四边形；（ 3 ） ABC 是等腰三角形，即 AB=AC ，理由：当 AB=AC 时，则有 AD BC ，又（