杆件的刚度计算

1、1第一节 圆轴扭转时的变形及刚度计算第七章 杆件的刚度计算杆件的刚度计算第三节 提高构件抵抗变形能力和 强度能力的主要措施第二节 梁的变形及刚度计算2第一节第一节 圆轴扭转时的变形及刚度计算圆轴扭转时的变形及刚度计算一、圆轴扭转时的变形xxGGdddtg1根据虎克定律：根据虎克定律：xGxGGddddAxGAxGATAAAddd ddd d22OpdApGITx dd 3由dxGITdPPlPlGITldxGITd0PGI1、扭转角公式：G 剪切弹性模量剪切弹性模量抗扭刚度抗扭刚度PI截面的极惯性矩截面的极惯性矩T研究段截面上的扭矩研究段截面上的扭矩L研究段的长度研究段的长度式中：式中：第一节

2、第一节 圆轴扭转时的变形及刚度计算圆轴扭转时的变形及刚度计算4mIGTP/18000PGITl2 2、单位长度扭转角：、单位长度扭转角：单位：单位：rad(rad(弧度弧度) )工程中常以工程中常以 为单位来计算，则上式写为：为单位来计算，则上式写为：m/0第一节第一节 圆轴扭转时的变形及刚度计算圆轴扭转时的变形及刚度计算5精密机器轴：精密机器轴：=0.1500.500/m一般传动轴：一般传动轴： =0.5001.00/m精度低的轴：精度低的轴： =1.002.50/m二、圆轴扭转时的刚度计算 PGIT 0180PIGT或：第一节第一节 圆轴扭转时的变形及刚度计算圆轴扭转时的变形及刚度计算6刚

3、度计算的三方面：刚度计算的三方面： 校核刚度：校核刚度： 设计截面尺寸：设计截面尺寸： 计算许可载荷：计算许可载荷： max max GT Ip max pGIT 有时，还可依据此条件进行选材。有时，还可依据此条件进行选材。第一节第一节 圆轴扭转时的变形及刚度计算圆轴扭转时的变形及刚度计算7 例例 图示阶梯圆轴，受力如图。已知该轴大端直径为图示阶梯圆轴，受力如图。已知该轴大端直径为D D=60mm=60mm，小端直径为，小端直径为d d=30mm=30mm，已知，已知G G=80GPa=80GPa， 。试求：。试求：1)1)校核该轴刚度；校核该轴刚度；2)2)A A截面相对于截面相对于C C

4、截截 面的扭转角。面的扭转角。 /m10解：解：1 1内力分析：内力分析： 画扭矩图如图所。画扭矩图如图所。 第一节第一节 圆轴扭转时的变形及刚度计算圆轴扭转时的变形及刚度计算82 2变形分析及刚度条件：变形分析及刚度条件： 说明刚度不够故/m)(4 . 1/m)(35. 11008. 01080105 . 114. 3180180/m)(4 . 11027. 11080105 . 214. 3180180)(m1008. 032103014. 332)(m1027. 132106014. 3320max06932220693111461244246124411PPPPGITGITdIDI第一

5、节第一节 圆轴扭转时的变形及刚度计算圆轴扭转时的变形及刚度计算9rad215. 0)1008. 01105 . 11027. 18 . 0105 . 2(10801)(163639222111222111PPPPBCABACTlTIlTGGIlTGIlT扭转角为：第一节第一节 圆轴扭转时的变形及刚度计算圆轴扭转时的变形及刚度计算10解解：图示状态下,扭矩如 图，由强度条件得： 500400N1N3N2ACB Tx7.024 4.21(kNm)m)(kN0247nN.m第一节第一节 圆轴扭转时的变形及刚度计算圆轴扭转时的变形及刚度计算1116 31TdWt mm46710701434210161

6、63632.Td04 180 32 GTdIp mm801070143702416163631.Td由刚度条件得：由刚度条件得：第一节第一节 圆轴扭转时的变形及刚度计算圆轴扭转时的变形及刚度计算12mm4741108014. 3180421032 180 32492422.GTd mm841108014. 3180702432 180 32492421 GTd mm75 mm8521 d,d综上：综上： 全轴选同一直径时全轴选同一直径时 mm851 dd第一节第一节 圆轴扭转时的变形及刚度计算圆轴扭转时的变形及刚度计算13Tx 4.21(kNm)2.814第一节第一节 圆轴扭转时的变形及刚度计

7、算圆轴扭转时的变形及刚度计算14课堂练习课堂练习第一节第一节 圆轴扭转时的变形及刚度计算圆轴扭转时的变形及刚度计算15第二节第二节 梁的梁的变形及刚度计算变形及刚度计算一、弯曲变形的概念一、弯曲变形的概念 为了确保梁的正常工作，梁除了满足强度条件外，还要求为了确保梁的正常工作，梁除了满足强度条件外，还要求有足够的刚度。如果变形过大，将造成梁不能正常工作，进而有足够的刚度。如果变形过大，将造成梁不能正常工作，进而引起梁的破坏。如：高精度车床轴；桥梁；变速箱传动轴等。引起梁的破坏。如：高精度车床轴；桥梁；变速箱传动轴等。绕曲线绕曲线梁在载荷作用下发生弯曲变形，梁轴线由直线梁在载荷作用下发生弯曲变形

8、，梁轴线由直线 弯曲成一条光滑连续曲线。弯曲成一条光滑连续曲线。 。 161 1、挠度与转角、挠度与转角 ：用：用y y 表示。表示。规定：规定：比如，比如，C 截面的挠度为截面的挠度为 yC表示。表示。规定：规定：比如，比如，C 截面的转角为截面的转角为 Cdxdytgdxdytg,挠度对坐标的一阶挠度对坐标的一阶导等于转角导等于转角第二节第二节 梁的梁的变形及刚度计算变形及刚度计算17假设梁的挠曲线方程为假设梁的挠曲线方程为: : xfy EIM1纯纯弯弯曲曲第六章推导弯曲正应力公式时已知第六章推导弯曲正应力公式时已知不计剪力对变形的影响，上式可以推广到非纯弯曲的情况不计剪力对变形的影响，

9、上式可以推广到非纯弯曲的情况EI)x(M)x(1非非纯纯弯弯曲曲第二节第二节 梁的梁的变形及刚度计算变形及刚度计算1822)(1,)(dxyddxdxdxdsdxds且EI)x(M)x(1EIxMdxydy)(22上式称为挠曲线近似微分上式称为挠曲线近似微分方程。根据弯矩正负号的方程。根据弯矩正负号的规定，等式两边符号一致。规定，等式两边符号一致。第二节第二节 梁的梁的变形及刚度计算变形及刚度计算193 3、积分法求梁的变形、积分法求梁的变形 DCxdxdxxMEIyDdxCdxxMEIyCdxxMEIyxMEIy)(1)(1)(1)(1或 积分常数积分常数C和和D的值可的值可通过梁支承处已知

10、的变形条件来通过梁支承处已知的变形条件来确定，这个条件称为边界条件。确定，这个条件称为边界条件。挠曲线近似挠曲线近似微分方程微分方程挠度公式挠度公式转角公式转角公式用数学语言描述：它用数学语言描述：它们是弯矩们是弯矩M M（x）的函数的函数第二节第二节 梁的梁的变形及刚度计算变形及刚度计算20 以以A为原点，取直角坐标系，为原点，取直角坐标系，x轴向右，轴向右，y轴向上。轴向上。（1） 求支座反力求支座反力 列弯矩方程列弯矩方程由平衡方程得：由平衡方程得：PlMPRAA ,列弯矩方程为：列弯矩方程为：xRMxMAA )()(aPxPl （2）列挠曲线近似微分方程）列挠曲线近似微分方程)(bPx

11、PlyEI 第二节第二节 梁的梁的变形及刚度计算变形及刚度计算21（3） 积分积分)(22cCxPPlxyEI )(6232dDCxxPxPlEIy )(bPxPlyEI （4）代入边界条件，确定积分常数）代入边界条件，确定积分常数在在 x = 0 处：处：00 AAAyy 将边界条件代入将边界条件代入(c)、(d)得：得：0, 0 DC第二节第二节 梁的梁的变形及刚度计算变形及刚度计算22将常数将常数 C 和和 D 代入代入(c)、(d)得：得：)2(2212xlEIPxxPPlxEIy )3(6621232xlEIPxxPxPlEIy （6）求最大转角和最大挠度）求最大转角和最大挠度EIP

12、lEIPlB2,22max2 即即EIPlyEIPlyB3,33max3 即即（5）确定转角方程和挠度方程确定转角方程和挠度方程CxPPlxyEI22DCxxPxPlEIy3262说明：说明：转角为负，说转角为负，说明横截面绕中性轴顺明横截面绕中性轴顺时针转动；挠度为负，时针转动；挠度为负，说明说明B点位移向下。点位移向下。第二节第二节 梁的梁的变形及刚度计算变形及刚度计算23，第二节第二节 梁的梁的变形及刚度计算变形及刚度计算24表表7-1 7-1 几种常见梁在简单几种常见梁在简单作用下的变形作用下的变形梁的简图梁的简图挠曲线方程挠曲线方程截面转角截面转角最大挠度最大挠度包括：包括：教材教材

13、P163P163设计计算时可直接查表应用设计计算时可直接查表应用第二节第二节 梁的梁的变形及刚度计算变形及刚度计算25EIqlEIqlyEIPlEIplyBqBqBPBP68233423EIqlEIPlyyyBqBPB8343 EIqlEIplBqBPB6232 由叠加法得：由叠加法得：直接查表直接查表第二节第二节 梁的梁的变形及刚度计算变形及刚度计算26 maxmaxyy弯曲构件的刚度条件弯曲构件的刚度条件: rad:,单单位位许许用用转转角角许许用用挠挠度度 y第二节第二节 梁的梁的变形及刚度计算变形及刚度计算27将吊车梁简化为如图例将吊车梁简化为如图例 6-12b所示的简支梁。所示的简支

14、梁。计算梁挠度的有关数据为：计算梁挠度的有关数据为： P = 50 + 5 = 55 kN （1）计算变形计算变形 由型钢表查得由型钢表查得 4cm32240)kgf/m4 .80(N/cm04. 8 Iq第二节第二节 梁的梁的变形及刚度计算变形及刚度计算28因因P和和q而引起的最大挠度均位而引起的最大挠度均位于梁的中点于梁的中点C，由表，由表7-1查得：查得：cm116. 032240102038492004. 853845cm38. 13224010204892010005548644633 EIqlyEIPlyCqCP由叠加法，得梁的最大挠度为：由叠加法，得梁的最大挠度为：cm5 . 1

15、116. 038. 1max cqcpyyy26N/cm1020GPa200 E材材料料的的弹弹性性模模量量第二节第二节 梁的梁的变形及刚度计算变形及刚度计算29（2）校核刚度）校核刚度 cm84. 1500920500 ly将梁的最大挠度与其比较知：将梁的最大挠度与其比较知： yy cm84. 1cm5 . 1max故刚度符合要求。故刚度符合要求。吊车梁的许用挠度为：吊车梁的许用挠度为：第二节第二节 梁的梁的变形及刚度计算变形及刚度计算30课堂练习课堂练习第二节第二节 梁的梁的变形及刚度计算变形及刚度计算31第三节 提高构件抵抗变形能力和 强度能力的主要措施一、合理布置梁的载荷一、合理布置梁

16、的载荷ABL2L2M0 xM0 xL-2XxxL-2Xxx4232TT3T2ACBTT3T2ACBTxTxT2T3TT3第三节 提高构件抵抗变形能力和 强度能力的主要措施33二、合理布置梁的支撑合理布置梁的支撑qqABABM0 x8LL53L5L5M0 x405050第三节 提高构件抵抗变形能力和 强度能力的主要措施34三、合理选择梁的截面形状合理选择梁的截面形状 对于平面弯曲梁，从弯曲正应力强度考虑，比较合对于平面弯曲梁，从弯曲正应力强度考虑，比较合理的截面形状是在截面面积理的截面形状是在截面面积A A一定的前提下，使截面具有一定的前提下，使截面具有尽可能大的弯曲截面系数尽可能大的弯曲截面系

17、数W WZ Z , ,比值比值W WZ ZA A越大，截面越经越大，截面越经济越合理。济越合理。在离中性轴较远处，配置较多的材料，将提高材料的利用率。在离中性轴较远处，配置较多的材料，将提高材料的利用率。合理截面形状依次是合理截面形状依次是圆形圆形 矩形矩形 环形环形 槽形槽形 工字形工字形第三节 提高构件抵抗变形能力和 强度能力的主要措施35四、缩短跨距或增加支座缩短跨距或增加支座五、合理使用材料合理使用材料 上述措施只是从强度和刚度角度考虑上述措施只是从强度和刚度角度考虑的，在实际工作中，还应结合工艺要求、结的，在实际工作中，还应结合工艺要求、结构功能等因素作全面的考虑。构功能等因素作全面的考虑。第